2017年数学三真题答案解析.pdf

1、一、选择题 (1) A 数学（三）参考答案 lcos石 解由J(r)j ar , rO,在.,o处连续，得E恩J(x) b. b, X 冬0 又limf(x)- lim lcos五- = lim X - l =b. x-o+ J、-o+ax工于o+2ax、2a 1 所以ab =放应选A. 2 (2) D 解令 名 I =3y - 2xyy2-=0 x =O x-1 x=O x =3 总 - 3x- 2xy 12 = o得y= 0y -1y = 3 y O. 所以函数有四个驻点(0,0),(1,),(0,3),(3,0). 又令A=z:x= 2y ,B =z,v=32x - 2y ,C = z:

2、 v= - 2.1、 则在(0,0)处，AC 13 2=-9 0,且A= -2 O,Cl,l)是极大值点 在(0,3)处，AC-B 2=-90,(0,3)不是极值点 在(3,0)处，AC-B 2=9 CJ, 可得2J(x)J(x) CJ, 即尸(x)J0. 因此尸(x)严格单增，故有勹ex)I严格单增，所以有IJO) I I JCDI. 故应选C. (4) C 解 .1 1 1 1 k k 1 -= +o厂），kln 1-=- +o 1 stn n n n 2 ( n) n 2 n 2 (n 2) 有 1 1 1 +k k 1 1 sm了-kln(1 ;-) = n 勹;z+o(;z), =

3、1 1 又，气sin-;- kln(1一 门收敛，有l+k =O.(否则，级数发散），故k=-1. 故应选C. (5) A 解 因为a为3维单位列向晕，故矿a=l =tr(a矿） 所以，A-a矿的特征值为1,0,o. 所以，IE aaT l=O, 即矩阵E-a矿不可逆 故应选A. (6) B 2017年2017年 解因为A和B都是上三角矩阵，所以特征值都是1,2,2. 今 所以，要判别A和B能否相似对角化，只需考察属于2的线性无关的特征向量的个数即可 对于A,属于2的线性尤关的特征向量的个数3-r(2E A) =3 -1 =2. 对于B,属于2的线性无关的特征向量的个数3-r(2E B)=3

4、2 = 1. 所以，A可以和C相似，但是B不能 故应选B. (7) C 解因为A与C相互独立，B与C相互独立 所以 P(AC)=P(A)P(C)平(BC)=PCB)P(C) 而P(A U B)C =P(AC U BC) =P (AC)+ P CBC) -P (ABC) P(A U B)P(C) =P(A) +PCB)-P(AB)P(C) =P(A)P CC)+ P (B)P CC) -P (AB)P(C) 则AUB与C相互独立 已P(AU B)C = P(A U B)P(C)已P(ABC)= P(AB)P(C) 已AB与C相互独立，故应选C. (8) B 解因为X, NC,1), 所以X, N

5、(O,l), 则ex,尸贮(n),故A正确； ,-1 (X, 一 (n 1)S 2 ,-1 因为z = X气n 1)故C正确； C, 1 因为 X 1 N(, )， n 所以 X 1 N(O,l), 石 则n(又)2x 2 0),故D正确 对于B选项：X X1N(O,Z), X 则n X1 N(O,l), 所以( X ; X1 f 炉 (1)从而B错误 迈 故应选B. 二、填空题 亢3 (9) - 2 解厂rr(sin3x+五二了）dx = J 六 六 sin3xdx +勹了二了dx 因为sin3x是奇函数 ，所以sin勹山=O. 而丘了为偶函数，因此J2 勹 TC -x dx =2 f 互二

6、dx 互二dx表示由x =O,x= TC,y =O,y=石了二产所围成图形的面积， 故有 1 左-x2dx=TC TC2 = 1(3 4 4 . 所以(sin五十五了二）dx=三 一穴2 TC 故应填. 2 (10) A2十t 2 -l 解Y,+1 -2y, = 2 对应的齐次方程为Y,+1-2y, =O, 特征方程为入,+i -211 =O, 特征根为入= 2. 因 y计1- 2y, =O的通解为Y,=A2, 再设y, =k立为Y,+1 -2y, =2的解，代入方程得 k(t + 1)2计1 2k t 2 =2. 1 1 解得k=一 所以 对 =-t2=t 2 -1. 2 2 由差分方程解的

7、结构定理得，原方程的通解为 y, =Y,+对=A2+t2一1. 故应填A2十t2一1 (11) 1+0 Q)e-Q 解平均成本ccQ)=l+e 一汇成本为C(Q) =Q C(Q) =Q +Qe-Q. 边际成本为C(Q)=1 +e-Q -Qe-Q =1 + (1 Q)e-Q. 故应填1+0 Q)e艾 (12) xyeY 解由题意1:cx,y) = ye Y ,J;(x ,y) = x(l +y)e气 所以有f(x,y)=f 1:cx ,y)dx = f ye Ydx= xyeY+C(y). J; Cx ,y) = xyeY +CCy) =x Cl +y)e +c(y) =xCl +y)e, :.

8、c(y) =O=?C(y) = C. 因此f(X ,y) =xyeY +c, 又f(O,O)=O. 所以C =O. 故f(x,y)=xye汽 故应填xye气 (13) 2 解(Aa1 ,Aa2 ,Aa3) = ACa1 ,a2 ,a3), 因为a1,a2 ,a3线性无关，故矩阵Ca1,a2,a3)可逆， 所以，r(Aa1,Aa2 ,Aa3) =r(A), 易知，rCA) =2. 故应填2. (14) 9 2 解由分布律的归一性可知Pk =l 1 即 +a+b=l, 2 1 又因为EX=O,即 2X +a+3b=O. 2 解得a =b=. 1 4 1 1 而E(X2)=( 2) 2X +12 X

9、+32 X = 1 9 2 4 4 2. 所以DX=E(X勹(EX)2=- 9 2. 三、解答题 (15)解令x-t=u,则t=x u,d t = du. 五二edte五尸du 。 lim = lim 0 x-o+ J. 尸-x-o+ ,q 06)解 (17)解 五 e- du 。 =lim x-o+ ,q 左e勹 = lim x-o+ 3 左 2 2 -. 3 (1 +x 3 +沪） 2 dx dy - = dx厂 (1+ x 3 + y4)2 dy 厂 -1 石 4 o l+x2+y1 dx 。 1 += 1 1 = 4J。 (1 +x2 1 + 2x 2) dx 1 产 过 += 勹(a

10、rctanx / 0 了arctan,/2x。) 2 迈 = 16 兀 n k k n k 杻心： 汇In(1 +-;) -杻 心：In 1 + k 1 k1 k1 n (-;) -; = I Xln(l +X)dx 。 1 1 1 l X 2 了x2 ln (1 + x) / 0 勹t 1 +x dx 1 1 1 1 了 ln 2 了I。(x l+ l+x)dx 1 1 I 1 I - ln2-(x -1)2 ln(l + X) 2 4 1 4 0 2 0 (18)解记f(x) 1 1 , (1 + x) ln气l+x)-x 2 k,x E (0,1, 贝1Jf (x、) lnO+x) x

11、记g(x) = (1 + x) ln气1+x) X Z 则 g(x)=ln气1+ x) + Zln(l + x) -Zx, g(x) = ZlnO+x) x l+x 当x E (0,1时，g(x) O, 所以g(x) g(O). 又g(O)=0, 所以当x E (0,1时，g(x)O,从而g(x)g(O)=O. 综上可知J(x) o, 所以方程fC.do在,间(0,1)内有实根当且仅当 l lnZ lk 0. l 故常数K的取值范IN为(-1, . 1 lnZ 2) (19)解 1 c I)因为ao=l,a1 =O,an+l = (na, +a,_1), 所以0乏an+ll. n+l 记 R为

12、幕级数Un,厂的收敛半径当Ix I = I 及高 十区勹 (22)解(I) EY= -c心 汀(y)dy = 2y2dy=之， 。3 戎 1 点 PY雯EY) =P尸气42ydy =_ 3 9. C II) z的分布函数记为Fz(z),那么 凡(z)=PZz) =PX+Y炙z 1 迈 妒 2 1 祁 =PX =OPX + Y冬zIX =O +PX =2PX +Y冬zlX=2 1 1 =-PY冬z+-PY冬z2. 2 2 当zO时，凡(z) =0; 1 2 当0冬zl时，凡(z)=PY冬z= z 2 2 1 当1冬z2时，凡(z)=; 2 1 1 1 1 当2z3时，凡(z)=+-PY冬z-2=

13、+-(z-2)气 2 2 2 2 当z3时，凡(z)= 1. 所以Z的概率密度为 几(z)r- 2, 2 z 3, 0 其他 Oz L (23)解CI) Z1的分布函数为 F(z)PZ,s;zPIX,-pl ,s;z 厂王） -, o, 所以Z1的概率密度为 f(z)f ;, z歹o, z O. C II) EZ1 =厂叮(z)dz= z 厂ze 三 dz z a. 芦ao v冗 卢1n A -J27r a = EZ1, 令Z=亡让，得6的矩估计最为a = Z. z z zo. z 0, (Ill)记Z1,Zz, , Zn为样本Z1,Zn ，乙的观测值，则似然函数为 n n L位）= JfCz,) = ( 尸 e 卢/ 2 对数似然函数为lnL位）=nln-nlna 一 1 n 2己 J21r 2矿 ,1 dlnL位）n 1 入八 CZ = 3 忒 =0,得 6的最大似然估计值为a = 1 n - 豆，所以6的最大 da a a il 似然估计量为J=上z. n ,! n ;-1