2019年数学三真题答案解析.pdf

1、数学（三）参考答案 一、选择题 Cl) C 解 tanx的麦克劳林展开式为 X X +- 3 3 + o (x) , 故x tanx-x 3 , 则k =3. 故应选C. 3 CZ) D 解设f(x)=工 5 5x+k, 则厂(x)=5兀 4 5令f 1 Cx) =O, 得x=土1. 当X O; 当-lxl时，_f(x) l时，f 1 (x) 0. 又limf(x)=+=, limf(x)=-=, 结合单调性知，f(-l)O, f(l)O,J(l) =l-5+ k O, 则-4 k 4. 故应选D. (3) D 解由薇分方程通解形式可知，y = CC1 + C2x)e一工为齐次方程的通解， y

2、 =e 工 为非齐次方程的特解， -1为特征方程入 z +a入+b =0的二重根， 得2 1 a + b =O, 且l+a +b=c, a 4b =O, 由此解得a =Z,b =l,c =4. 故应选D. (4) B u 解因为lim I I =O, 且nun绝对收敛 ，由比较判别法可知Un也绝对收敛 n-= nu I nee) 二a 而当2二条件收敛 时,vn的敛散性不定 n n-1 n-1 如果令)in=(-厅及)in= ( l) =)i 时心：二都是条件收敛， ln(n + 1) nl n （沁=co 而)in=(-1)发散，- (-1) Fl ln(n + 1) 收敛，可知(un +l

3、!n)的敛散性是不确定的 n-1nl 则C、D都不正确 = o, 再判断2汇)in的敛散性：由于lim I Un)! n I)/n n-= nu I飞弝了 =O,且nun绝对收敛，由比较判别法 n-1n二, 可知区汇）n是绝对收敛的故应选B. nl (5) A 解由线性方程组Ax =O的基础解系中只有2个向械，则2= 4r(A), 故r(A)=2. 由于当r(A) n l时(n 为A的阶数），r(A补 ） =0. 故应选A. (6) C 解设入是A的特征值，根据A2+A =ZE得：入z+入 2, 解得入l或2. 2019 2019 年年 由于 ） A是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个

4、特征值的积为IA I的值， 故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2, 故二次型x TAx的规范形为Yi丈 丈故应选C. (7) C 解由P(AB)=P(BA)得 p (AB) = p (A) -p (AB) = p (BA) = p (B)P(AB)台P(A)=PCB). 故应选C. (8) A 解由X-N(伈矿），Y-N(, 矿汃且相互独立， X-Y 则E(X Y)=O,D(X-Y)=DX+DY= 2扎得-N(O,l), 屈6 故PIX-Y I(上）-1与矿有关，与无关 我6迈6迈6 故应选A 二、填空题 (9) e-1 解原式=lim(1 1 1 11 1 n

5、 n-=勹丁了 厂言寸 =! 式气飞叶（了忙 “一=(士） limn =e 故应填e-1. (IO) (六:,-2) =e -1 解 y.+ 2. = s1nx x cosx - sin冗 =x cosx -s1nx , y = cosx -X s1nx - COSX = x s1nx. 令y=O, 得x1=O,x2 =穴，再判断X 1,X2两点的左右两侧二阶导数是否异号； 在X1左侧yo,右侧yo,故(0,2)不是拐点； Xz左侧yo,所以拐点为（六2). 2 故应填（六-2). 1 (11)(1-2,/2) 18 解由分部积分法：x 2 f 1 I 1 1 1 I 3 fJCx)dx 3

6、=了x汀e x) Io 了Ia x 3 J(x) dx , CD (x)dx =- 又八1) =五了尸dt=O,J(x) =./i丁了，代入CD式： 扣(1)-习lxa汇了-dx=-_!_ 上五言了 dx 4 3 0 3 4 0 1 2 3 1 1 飞3Cl+x4)21。飞(1-2迈） 1 故应填一(1-2迈） 18 (12) 0. 4 解当PB =20时，QA=500Pi20P A + 2 202 = 1300 - 20P A -Pi, PA dQA凡2PA(PA+ 10) 则f/AA= -=- 刁- - . ( 202P A) = _ _ _ _ _ _ QA dP A -? 所以f/ A

7、AI =0.4. 故应填0.4. PA =10 (13) 1 解由题意得 :.-(: 。 1 汇( 。 1 )-( 。 1 1 1 1 。1 。 。1 a 2 -1 a 0 1 a 2 -1 a 0 。 a2 -1 要使Ax =b有无穷多解，则应使r(A)=r(A) 3, 当a z l =a1 =O, 即a =l时，r(A) =r(A) =2 3. 故应填1. I 1 01 - a 2 _ 3 、丿 4 1 （ X 由随机变量X的概率密度f(x)=仁 -, Ox2, l 可知X的分布函数 o, 其他， 厂X Q, 2 2 F(X) l 了, Ox EX -1 =PF i_ 1 =P卢 1 3

8、4 3 解 =PX纠寸王dx= 屈 左2 3 . 故应填. 2 3 三、解答题 (15)解 当XO时，J(x) =2x气lnx + 1); 当X 0 , ex (x + 1), X 0. 令J(x) =0, 得驻点x=l,x =一 1 e 1 当x l或Ox一时，J(x) O; 1 当Ix 时，j(x) 0. e 所以f(x)在区间( 邑-1)和(o且）内单调减少， e 在区间( 1, 0)和（上，十内单调增加，从而f(x)的极小值为 e ） 1 1 二 f( 1) =1 , !() =e极大值为f(O) = 1. e e (16)解因为 ag ax =y-J.(x+y,x y)f,(x+y,

9、x-y), ag =x ay J. (x + y ,x -y) + J, (x + y ,x -y), 臼 仁(x+ y,x -y)2儿(x+ y,xy)-几(x+ y,xy) a 2g =1 J (x+y,x-y)十几(x+y,x -y), a戎y a 2g ay 2 J (x +y,x y) +2儿(x+ y ,x -y) 儿(x+ y ,x -y), 所以 a 2 g a2 g a 2 g + +-=1 3f (x+y,x-y) 儿(x+ y,x y). ax 2 a戎Y ay 2 (17)解C I)由一阶线性微分方程的通解公式，得 y(x) =i 心 (C+ f l ee -f x 扛

10、心）=e (石+C). 2石 因为y(l)=心，所以C=O. 已 从而y(x) = rx矿 (II)D绕x轴旋转所得旋转体的体积为 V= f:rcy2(x)心=f rcx ex 2 dx =王 e xz 1 2 =王 (e 4 e). 21 2 (18)解由题意，所求面积为 += = s = I -x （叶1). e I SlllX I dx =(1) f亡sinx心， n-0 吓 因为 (n+l)穴 (n+l)穴n+D亢 尸sinxdx = -e- x cosx I - f e- x cosx 心 九亢 “兀n穴 得 所以 = (-l)e一(n+I)穴 十e -n穴J厂I)亢e-x sin

11、xdx. n穴 厂1)兀尸 sin xdx = (-1) e一 （叶!), 十e -n亢J n兀2 1 S= -n兀 一(n+ll六 e 穴 +1 2 e +e n-。2(e六-1) (19)解(I)a.+1-a. = f x(x1) ,Ji-=了dx. 因为在积分区间0,1上，x(x 1) .jj二7o且不恒等于o, 所以a.+1-a. O, 所以-l,从而Jim-=1. n + 2 a,_1 . -, a, 一1 (20)解由等价的定义可知： P1 ,P2 ,Pa都能由a1,a2,aa线性表示，则有r(a1,a2 ,a3) =r(a1 ,a2 ,a:1 ,p口，2,Pa), 对Ca1,a2

12、 ,aa ,P1 ,P2 ,Pa)作初等行变换可得： (: : : :)-( 1 : 4 4 a 2+3 i a+3 1 a a 2 + 3 0 0 a2 -1 当a =1时，有r(a1,a2 ,aa) r(a1 ,a 2 ,aa ,Pi ,P2, 凡）； 当a =l时，有r(a1,a2 ,aa) =r(a1 ,a2 ,aa ,P1 ,P2 ,Pa) =2; 可知a#l且a# -l时，此时r(a口a2,a3) =r(a1 ,a2 ,as ,P1 ,P2 ,Pa) =3, 则有a =l或者a#l且a#1时，Pi,P2 ,Pa可由a1,a2 ,aa线性表示， 此时要保证a门a2,aa可由P口，2,

13、Ps线性表示 对CP1,P2 ,Ps ,a1 ,a2 ,as)作初等行变换可得： (: : a+3 l-a a2+3 1。 a-l 0 1 2 2) l-a a 2 -l : !)- 4 4 a 2 + 3 : : 矿-1 当a =l时，有r(P 1,Pz ,p3) =rP1 ,Pz ,p 3 ,a1 ,az ,a3) =2, 可知当a -=I=- l且a -=/=-l时，此时r(P口，2,p3) =rCP1 ,Pz ,p3 ,a1 ,az ,a3) =3, 此时，a1,az ,a3可由P1,Pz ,p3线性表示 12 1 1 。 1 a 1 3 (1a) 2 2a a I l 综上所述：当a

14、 #-1时，向量组O心心与向最组P1,P2 ,p3可相互线性表示 当a ,c 1时，(a,心心，-( : ; - ; 1 0 0 a2-l : 则P3=a 1 a2 +a3. a J (0 1 i 1) 当a1时，(a,心心,p,)-(. : 0 0 0 -(: ! -: l - I 2 30 基础解系为(一：2) (k E R), 则P,3 2k)a, I Ck 2)a, +-ka,. (21)解C I)因为矩阵A与B相似，所以tr(A)= tr(B), I A曰BI , 即x-4=y+l, 解得 X=3,y =2. 4x -8=2y C II) 矩阵B的特征多项式为I入E-BI=(入 2)

15、(入十1)(入+2) 所以B的特征值为2 1,-2. 由于A与B相似，所以A的特征值也为2,-1, -2. A的属于特征值 2的特征向量为f1=0,-2,0)勹 A的属于特征值-1的特征向量为名（2,1,0)勹 A的属千特征值-2的特征向量为名=Cl,-2, 4) T 记P, (名主屯），于是PtAP , ( i ) 0 0 2 B的属千特征值 2的特征向量为 r;1= (1,0 ,0)勹 B的属于特征值-1的特征向量为 f/2=(1,-3,0)勹 B的属于特征值- 2的特征向量为平=(O,O,l)T. 记P,(,平，平汃于是P;BP, ( _I ) . 0 0 -2 由P-;-1AP1=P;

16、1BP2, 得CP1P; 1)-1A(P 1P;- 1) =B. -z) : 1 : F2 令PP,P;( 。 2 2 3 1 1 。 4 3 。 。 。1 : :) 则P-1AP=B. (22)解CI) z的分布函数为 凡(z)=PZ冬z=PXY冬z I Y=lP Y =l +PXY,s; z I Y=lPY=l ppX冬z+ (1 p)PX ,s; z. 当zO时，凡(z)= pP X泛-z + (1 -p) 0 = p e2; 当z彦0时，凡(z)= p I + Cl -p) P Xz = 1 -Cl -p) e气 所以Z的概率密度为fz(z)=F卢z)= pe之，z O,PZ l o,

17、 所以 PX冬l,Z冬-1 # PXlPZ-1. 故X与Z不相互独立 (23)解C I)由厂f(x矿）dx =I, 得 -w l=厂汇了心=AJ:卜e-dt CJ = A 三上e. ; dt =三A, 2= If; 2 所以A=. (I)设Xi,Xz ，:r 为样本X1,X2,，义的观测值，则似然函数为 n (x -)2 n - ,i L( 矿） = ITf(x,; 矿）六 卢 ）券 （ 矿） 2 e ;-1 202 , ,I lo 对数似然函数为 n 21 lnL( 矿） = In n 2 n 了； 了lnr, 2矿 (x, -) 2. d lnL(r,2) n n z . (x, -)气 =-+ 2 dr, 加 2矿 ,I X1 ,Xz , x, 多, 其他， n 令d lnL(矿） da2 2 A 2 1 o, 得6的最大似然估计值为(J=(x, )气 n iI 所以矿的最大似然估计最为矿 1n (X, )飞 n ,1