2019年考研数学一真题.pdf

1、2019年全国硕士研究生招生考试试题 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (I)当X-+ 0时，若x -tan x与x k 是同阶无穷小，则k =( (A)l. (B)2. (C)3. 、丿 (D)4. (2)设函数f(x) = XIX IX冬O 则 X= 0 是f(x)的（） xln x, x 0, (A)可导点，极值点 (B)不可导点，极值点 (C)可导点，非极值点(D)不可导点，非极值点 (3)设飞是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（） CB) Ic-1尸 1 u; (C)(i-2:;

2、) (D) (u!., 一式） (4)设函数Q(x,y) =今如果对上半平面( y O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有 乎P(x,y)dx + Q(x,y)d y = 0, 那么函数P(X ,y)可取为（） (A) y -子 1 x 2 (B) - 1 1 (C) - . 1 (D)x - . y y (5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵若A 2 + A = 2 E, 且IA I = 4, 则二次型x TAx的 规范形为（） 00 u (A) I二 n=l n (A) Yi + y; + y; (B) Yi + y; - y; (C) Yi - y; - Yi (D) - Yi -

3、y; - y; (6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 ail x + ai2y + ai3z = d;(i = l , 2 , 3) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A, 则（ (A)r(A) = 2, r(A) = 3. (B)r(A) = 2, r(A) = 2. (C)r(A) = 1, r(A) = 2. (D)r(A) = 1, r(A) = 1. (7)设A,B为随机事件， 则P(A) = P(B)的充分必要条件 是（） (A) P (A U B) = P (A) + P (B) .(B) P (AB) = P (A) P (B) . (C)

4、 p (A B) = p (B A) .(D) p (AB) = p (A B) . (8)设随机变豐X与Y相互独立，且都服从正态分布N(,矿）， 则Pl IX - YI 1 f ( ) (A)与无关，而与矿有关.(B)与有关，而与矿无关 (C)与,矿都有关 (D)与,矿都无关 1 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） (9)设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x) + xy, 则一- . -+ . 一 1加1加 COS X彻 cosy 切 (10)微分方程2yy- r2 - 2 = 0满足条件y(O) = 1的特解 y = (11)幕级数2

5、(- 1) 几=O(2n) ! x在(0, +oo)内的和函数S(x) = (12)设凶设为曲面x2+ y2 + 4z2 = 4 (z0)的上侧，则ffJ4 - x2 - 4z2dxdy = (13)设A = (a1 , a2 , a3)为3阶矩阵若a1 a2 线性无关，且a3= - a1 + 2a2 , 则线性方程组 Ax =0的通解为 (14)设随机变掀X的概率密度为八x) = (f O x E(X) - 1 l, 三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） (15) (本题满分10分） 设函数y(x)是微分方程y+xy = e寻满足条件y(O)= 0的特

6、解 (I)求y(x); (II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点 (16) (本题满分10分） 设 a, b为实数，函数z= 2 + ax2 + by2在点(3, 4)处的 方向导数中，沿方向l= -3i - 4j的 方向导数最大， 最大值为10. (I)求a, b; (II)求曲面z = 2 + ax2 + by2 (z ;,: 0)的面积 2 (17) (本题满分10分） 求曲线y = e一允sin x(x0)与x轴之间图形的面积 (18) (本题满分10分） 1 设a ,. = L xJl了五x(n= 0, 1 , 2, ） (I)证明数列叮单调递减，且a,. = 一 n -1 n

7、 + 2 a几 一2(n = 2, 3,- ); (II) . a 求hmn. n-+oo a 几一1 (19) (本题满分10分） 设0是由锥面忒+ (y-z)2 = (l -z)2(0z1)与平面z = 0围成的锥体，求0的形心 坐标 (20) (本题满分11分） 设向量组a(1 2 1 ， ）平=(1 , 3, 2) T ,a 3 = (1 , a, 3尸为R 3的一个基，/J=(l,1,l)T 在这个基下的坐标为( b, c, 1)飞 (I)求a,b,c; (II)证明生立3/J为R 3的一个基，并求生立 3/J到叮生立3的过渡矩阵 3 (21) (本题满分11分） 已知矩阵A=厂 。 - 2 = l J与B = 一相似 (I)求x,y; (II)求可逆矩阵P使得p-1AP= B. (22) (本题满分11分） 设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为PjY=-If=p, PjY= If= 1-p(O p 1). 令Z= XY. (I)求Z的概率密度； (II)p为何值时，X与Z不相关； (ill)X与Z是否相互独立？ (23) (本题满分11分） 设总体X的概率密度为 J(x; 矿）尸 e 亏， X 3, 。X 0是未知参数，A是常数.X1, 凡，xn是来自总体X的简单随机 样本 (I)求A; (I)求矿的最大似然估计量 4