（2022高中数学一轮复习）专题4.4—导数大题（恒成立问题1）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.doc

1、专题专题 4.4导数大题（恒成立问题导数大题（恒成立问题 1） 1已知函数( )sin1 x f xex （）判断函数( )f x在, 2 上的零点个数，并说明理由； （）当0 x，)时，( )0f xmx，求实数m的取值范围 解：() I解法一：由题意得，( )cos x fxex， 当,) 2 x 时，易得函数( )fx单调递增， 而()10fe ， 2 ()0 2 fe ， 故，当x ， 0) x时，( )0fx； 当 0 (,) 2 xx 时，( )0fx，而()10fe ， 2 ()20 2 fe 函数( )f x在,) 2 上无零点；（3 分） 当, 2 2 x 时，( )cos0

2、 x fxex，函数( )f x在, 2 2 上单调递增， 而(0)0f，函数( )f x在, 2 2 上有 1 个零点 综上所述，函数( )f x在, 2 上有 1 个零点（6 分） 解法二：由( )0f x ，得sin10 x ex ，则1sin x ex 在同一直角坐标系中，作出 1 x ye和 2 1sinyx 的图象，, 2 x ， 由图象易知函数( )f x在, 2 上只有一个零点（6 分） ()II令( )( )sin1 x g xf xmxexmx，0 x，)，则( )cos x g xexm 0 (0)sin0010gem ， 0 (0)cos02gemm，（8 分） 令(

3、)( )cos x h xg xexm，( )sin0 x h xex在0，)上恒成立， 则( )h x为增函数，即( )g x为增函数 当2 0m ， 即2m时 ，( )(0)20g xgm，( )g x在0，)上 为 增 函 数 ， ( )(0)0g xg，即( ) 0g x 在0，)上恒成立；（10 分） 当20m ，即2m 时，(0)20gm， 0 (0,)x，使 0 ()0g x， 当 0 (xx，)， 0 ()0g x，( )g x为增函数； 当为减函数， 0 ()(0)0g xg，与( ) 0g x 在0，)上恒成立相矛盾，2m 不成立 综上所述，实数m的取值范围是 2，)（12

4、 分） 2已知函数 1 ( ) x f xax e ， 1 ( )g xlnx x （1）当0 x ，0a时，求证：( )( )f xg x； （2）当0 x 时，若( )(1)f xg x，求实数a的取值范围 解： （1）证明：由 1 ( )g xlnx x 得， 22 111 ( ) x g x xxx ， 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x在(0,1)上递减， 当(1,)x时，( )0g x，( )g x在(1,)上递增， ( )g xg（1）1， 由于0a，则 1 ( ) x f xax e 在0，)上递减，故( )(0)1f xf，当且仅当0a ，0 x 时取等 号， 综

5、上，( )( )f xg x； （2）令 11 ( )( )(1)(1),0 1 x h xf xg xaxln xx ex ， 由于1 x ex ，所以0 x 时， 11 1 x ex ， 令 1 ( )(1),( ) 1 xaxln xxa x ， 当0a时，( )0 x，( )x在(0,)上递减，则( )(0)0 x， 此时 11 ( )(1)0 1 x h xaxln x ex ，不合题意； 当01a时，令( )0 x，解得 1 (0,1)x a ，则( )x在 1 (0,1) a 上递减，则( )(0)0 x， 故当 1 (0,1)x a 时， 11 ( )(1)0 1 x h xa

6、xln x ex ，不合题意； 当1a时， 2 222 111111 ( )10 (1)11(1)1(1) x x h xa exxxxxx ， ( )h x在(0,)上递增，则( )(0)0h xh，即( )(1)f xg x，符合题意 综上，实数a的取值范围为1，) 3已知函数 3 2 ( )1, ( )2 cos 2 x x f xg xaxxx e （1）当xt，)时，( ) 2 x f x恒成立，求实数t的取值范围； （2）当(,) 6 n a 时，对任意的xR，2 ( )2 ( ) 0f xxg xx恒成立，求整数n的最小值 解： （1） 依题意，21 22 x xx e 对任意x

7、t，)均成立， 即(2)2 0 x xex 对任意xt，) 均成立， 令( )(2)2 x h xxex，则( )(1)1 x h xxe，( ) x h xxe， 易知当0 x 时，( )0h x，当0 x 时，( )0h x， ( )h x 在(,0)单调递减，在(0,)单调递增， ( )(0)0h xh ， ( )h x在R上单调递增， 又(0)0h， 当0 x时，( ) 0h x 恒成立，即( ) 2 x f x恒成立， 0t ，即实数t的取值范围为0，)； （2）由（1）知，当0 x，)时，( ) 2 x f x恒成立，即2 ( )0f xx 恒成立，当(x ，0时， 2 ( )0f

8、 xx 恒成立， 而 3 2 ( )24 cosg xxaxxxx为R上的奇函数， 所以要使当(,) 6 n a 时，对任意的xR，2 ( )2 ( ) 0f xxg xx恒成立， 只需当(,) 6 n a 时，对任意的0 x，)， 3 2 ( )24 cos0g xxaxxxx 恒成立即可， 即当(,) 6 n a 时，对任意的0 x，)， 2 ( )24cos1 0m xaxx 恒成立即可， 若0n，则a可取 2 1 ，此时始终有 2 2 1 ( )24110m ，不合题意，故0n ， 若当1n 时满足题意，即对(,),0,) 6 ax ，都有 2 ( )24cos1 0m xaxx 成立

9、， 当0, 2 x 时，( )0m x 显然成立； 当 3 (, 24 x 时， 2 2 ( )2()4()10 622 m x ，符合题意； 当 3 (,) 4 x 时， 2 3 ( )2()410 64 m x ，符合题意 综上，整数n的最小值为 1 4已知函数 2 1 ( )2 () 2 f xa lnxxx （1）若 1 2 a ，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）若( )f x的两个极值点为 1 x， 2 x，且 2 21 xe x，不等式 22 1212 ( )()()f xf xb xx恒成立，求实 数b的取值范围 解： （1）当 1 2 a 时， 2

10、 1 ( ) 2 f xlnxxx， 2 11 ( )1 xx fxx xx 因为 f （1）1， 1 (1) 2 f ， 所以所求切线方程为 3 2 yx，即2230 xy （2）因为 2 22 ( ) xaxa fx x ，所以 1 x， 2 x是方程 2 220 xaxa的两个正根 令 2 ( )22g xxaxa，则 2 480, 0, (0)20, aa a ga ，解得2a 因为 1212 2xxx xa， 所以 22222 212221111221 1 111 ()()(22)(22)() 222 x f xf xalnxaxxalnxaxxx x lnxx x 由 22 121

11、2 ( )()()f xf xb xx，可得 22222 21211221 1 1 ()()()()()0 2 x f xf xb xxx x lnb xx x 因为 12 0 x x ，所以 221 112 1 ()()0 2 xxx lnb xxx ，即 212 121 1 ()()0 2 xxx bln xxx 恒成立 令 2 1 x t x ，因为 2 21 xe x，所以 2 te，则 11 ()()0 2 b tlnt t ，整理得 2 1 1 21 lnttlnt b t t t 令 2 ( ) 1 tlnt h t t ， 2 te，则 2222 2222 (1)(1)2(1)

12、(1) ( )0 (1)(1) lnttt lntttlnt h t tt 所以( )h t在 2 (e，)上单调递减，所以 2 2 4 2 ( )() 1 e h th e e 由 2 4 12 21 e b e ，解得 242 44 2141 122(1) eee b ee ， 故b的取值范围是 42 4 41 ,) 2(1) ee e 5已知函数( ) x f xx ealnxax （1）若ae，讨论( )f x的单调性； （2）若对任意0 x ，不等式( )1 0f x 恒成立，求实数a的值 解： （1）因为 (1) ( )(1)(1)() xxxx aa xa fxexeaexxe

13、xxx ， 当ae时，( )(1)() x e fxxe x ，0 x 当1x 时， x e e x ，0 x e e x ，可得( )0fx，( )f x单调递增； 当01x时， x e e x ，0 x e e x ，可得( )0fx，( )f x单调递减， 综上所述，( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 （4 分） （2）由（1）知( )(1)() x a fxxe x 当0a 时，( )(1)()0 x a fxxe x 恒成立，此时( )f x单调递增，( )f x的值域为R，不符合题意； （6 分） 当0a 时，则 1 2 11 ( )1 22 fe，也不符合题

14、意； （7 分） 当0a 时，令( )(1)()0 x a fxxe x 得0 x a e x ，即0 x exa， 令( ) x g xex， （8 分） 则( )(1)0 xxx g xexeex， 所以( ) x g xex在(0,)单调递增 设存在 0 (0,)x 使得 0 0 x exa，两边同时取对数可得： 00 xlnxlna， 则 0 0 xx时， x exa，( )0fx；当 0 xx时， x exa，( )0fx 所以当 0 xx时， 0 00000 ( )() x min f xxealnxaxaaxlnaaxaalna， 故只需1aalna即可， （10 分） 令h（a

15、）(0)aalna a，则 1 ( )1h alnaalna a ， 由 h （a）0可得：01a，由 h （a）0可得：1a ， 所以h（a）在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 故h（a）maxh（1）101 ，所以h（a）1aalna， 又因为h（a）1aalna，所以h（a）1aalna， 由以上证明可知h（1）1，所以1a 故满足条件的实数a的值为 1 （12 分） 6已知函数( ) lnx f xa x （1）若( )f x有两个零点，求a的取值范围； （2）设 1 ( )( )g xf x x ，若对任意的(0,)x，都有( ) x g xe恒成立，求a的取值范围 解：

16、 （1）令( ) lnx g x x ，则 2 1 ( ) lnx g x x ， 当0 xe时，( )0g x；当xe时，( )0g x， 所以( )g x在(0, ) e上单调递增，在( ,)e 上单调递减， 当0 x 时，( )g x ；当xe时， 1 ( )g x e ；当x 时，( )0g x ， 所以当 1 0a e ，即 1 0a e ，( )f x有两个零点， ( )f x有两个零点时，a的范围是 1 (,0) e （2）对任意的0 x ，不等式( ) x g xe恒成立， 1 x xelnx a x 在(0,)上恒成立， 令 1 ( )(0) x xelnx F xx x ，

17、则 2 2 ( ) x x elnx F x x ， 令 2 ( ) x h xx elnx，则 2 1 ( )(2 )0 x h xxx e x ， ( )h x在(0,)上为增函数， 又h（1）0e， 1 1 2 2 1 ( )110 e e e he ee ， 0 1 ( ,1)x e ，使得 0 ()0h x，即 0 2 00 0 x x elnx， 0 0 xx 时，( )0h x ，即( )0F x，( )F x在 0 (0,)x上单调递减； 0 xx时，( )0h x ，即( )0F x，( )F x在 0 (x，)上单调递增， 0 00 0 0 1 ( )() x min x elnx F xF x x ， 由 0 2 00 0 x x elnx，可得 00 1 0 0 0000 111 () ln xx lnx x elnlne xxxx ， 令( ) x t xxe，则 0 0 1 ()()t xt ln x ， 又( )(1)0 x t xxe， ( )t x在(0,)上单调递增， 0 0 1 xln x ，则 00 lnxx ， 0 0 1 x e x ， 0 0 1 x x e， 0 000 0 00 111 ( )()1 x min x elnxx F xF x xx ， 1a ， 综上所述，满足条件的a的取值范围是1a