高中数学初高衔接教材：3第三讲 一元二次方程（必上）.doc

1、第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的 根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应 用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa (1) 当 2 40bac时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2 4 2 bbac x a (2) 当 2 40bac时，右

2、端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2 2 b x a (3) 当 2 40bac时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用 2 4bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把 2 4bac叫做一 元二次方程 2 0 (0)axbxca的根的判别式，表示为： 2 4bac 【例【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 2 2310 xx (2) 2 4912yy(3) 2 5(3)60 xx 解：解：(1) 2 ( 3)42 110 ， 原方程有两个不相等的实数根 (2) 原方程可化为： 2 41290yy 2 ( 12)4490 ， 原方程有两个相等的实数根

3、 (3) 原方程可化为： 2 56150 xx 2 ( 6)45 152640 ， 原方程没有实数根 说明：说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 练：练：说出下列各方程的根的情况 （1） 2 3xx（2） 2 441xx（3） 2 2xx 【例【例 2】已知关于x的一元二次方程 2 320 xxk，根据下列条件，分别求出k的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根 解：解： 2 ( 2)43412kk (1) 1 4120 3 kk；(2) 1 4120 3 kk； (3) 1 4120 3 kk

4、；(4) 1 4120 3 kk 二、一元二次方程的根解法二、一元二次方程的根解法 进一步地，在一元二次方程 2 0 (0)axbxca有实数根的前提下，该实数根具体是 多？这就涉及到一元二次方程的根的求法 解法一（因式分解法）若 2 axbxc可分解为()()pxq mxn， 那么由 2 0 axbxc可得()()0pxq mxn从而得到 q x p 或 n x m 【典例】【典例】解一元二次方程 2 20 xx 解：原方程可化为解：原方程可化为(1)(2)0 xx故12x 或 练：练：解一元二次方程（1） 2 4120 xx（2） 2 260 xx（3） 2 4510 xx 解法二（配方法

5、）一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 两边开方即可得到方程的根 【典例】【典例】解一元二次方程 2 20 xx 解：解：原方程可化为 2 19 ()0 24 x即 2 19 () 24 x 故 13 22 x 从而 13 22 x 即12x 或 练：练：解一元二次方程（1） 2 4120 xx（2） 2 260 xx（3） 2 4510 xx 解法三（公式法）对于一元二次方程 2 0 (0)axbxca， (1) 当 2 40bac时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2 4 2 bbac x a (2) 当

6、 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2 2 b x a 【典例】【典例】解一元二次方程 2 20 xx 解：由解：由 2 b490ac 所以原方程有两个不相等的实数根 所以 2 4 2 bbac x a 191 3 22 即12x 或 练：练：解一元二次方程（1） 2 4120 xx（2） 2 260 xx（3） 2 4510 xx 三、一元二次方程的根与系数的关系三、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 2 0 (0)axbxca的两个根为： 22 44 , 22 bbacbbac xx aa 所以： 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa

7、 ， 22222 12 22 44()(4)4 22(2 )4 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 定理：如果一元二次方程 2 0 (0)axbxca的两个根为 12 ,x x，那么： 1212 , bc xxx x aa 说明说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理 称为”韦达定理”上述定理成立的前提是0 【例【例 3】若 12 ,x x是方程 2 220070 xx的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12 xx；(2) 12 11 xx ；(3) 12 (5)(5)xx；(4) 12 |xx 分析：分析：本题若直接用求根公式求出

8、方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里， 可以利用韦达定理来解答 解：解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212 2,2007xxx x (1) 2222 121212 ()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x (2) 12 1212 1122 20072007 xx xxx x (3) 121212 (5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx (4) 222 12121212 |()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x 说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222 121212 ()2xxxxx x

9、， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x， 22 12121212 ()x xx xx xxx， 333 12121212 ()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体思想 练：练：若 12 ,x x是方程 2 2530 xx的两个根，试求下列各式的值 （1） 12 xx（2） 12 x x(3) 22 12 xx； (3) 12 11 xx ；(4) 12 (5)(5)xx；(5) 12 |xx A组组 1一元二次方程 2 (1)210k xx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是() A2

10、k B2,1kk且C2k D2,1kk且 2若 12 ,x x是方程 2 2630 xx的两个根，则 12 11 xx 的值为() A2B2C 1 2 D 9 2 3已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于x的方程 22 (21)30 xmxm的根，则m等于() A3B5C53或D53 或 4若t是一元二次方程 2 0 (0)axbxca的根，则判别式 2 4bac 和完全平方式 2 (2)Matb的关系是( ) AM BM CM D大小关系不能确定 练练习习 5若实数ab，且, a b满足 22 850,850aabb，则代数式 11 11 b

11、a ab 的值为 () A20B2C220或D220或 6如果方程 2 ()()()0bc xca xab的两根相等，则, ,a b c之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 2870 xx的两个根，则这个直角三角 形的斜边长是 _ 8若方程 2 2(1)30 xkxk的两根之差为 1，则k的值是 _ 9设 12 ,x x是方程 2 0 xpxq的两实根， 12 1,1xx是关于x的方程 2 0 xqxp的两 实根，则p= _ ，q= _ 10已知实数, ,a b c满足 2 6,9ab cab，则a= _ ，b= _ ，c= _ 11对于二次三项式 2 1036x

12、x，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由 12若0n ，关于x的方程 2 1 (2 )0 4 xmn xmn有两个相等的的正实数根，求 m n 的值 13已知关于x的一元二次方程 2 (41)210 xmxm (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为 12 ,x x，且满足 12 111 2xx ，求m的值 14已知关于x的方程 22 1 (1)10 4 xkxk 的两根是一个矩形两边的长 (1)k取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值 B组组 1已知关于x的方程

13、 2 (1)(23)10kxkxk 有两个不相等的实数根 12 ,x x (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在， 请您说明理由 2已知关于x的方程 2 30 xxm的两个实数根的平方和等于 11求证：关于x的方程 22 (3)640kxkmxmm有实数根 3若 12 ,x x是关于x的方程 22 (21)10 xkxk 的两个实数根，且 12 ,x x都大于 1 (1) 求实数k的取值范围； (2) 若 1 2 1 2 x x ，求k的值 第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案一元二次方程根与系数的关系习题答案 A 组组 1 B2 A3A4A5A 62 ,acbbc且 7 38 9 或391,3pq 103,3,0abc11正确124 13 2 1 (1)1650 (2) 2 mm 14 3 (1) (2)2 2 kk B 组组 1 13 (1)1 12 kk且(2) 不存在 21m (1)当3k 时，方程为310 x ，有实根；(2) 当3k 时，0 也有实根 3(1) 3 1 4 kk且；(2)7k