1、第二十一讲：用导数研究不等式和实际应用问题（1 课时） 【学习目标】 1. 能构造函数，用导数为工具，证明简单的不等式； 2. 能用导数为工具，研究生活中简单的最值问题； 3. 提高导数的工具性认知。 【重点、难点】 重点：用导数研究函数的单调性和最值； 难点：构造函数，以及数学建模。 【知识梳理】 1 1、用函数证明不等式、用函数证明不等式 （1）用导数证明不等式要考虑构造新函数，利用新函数的单调性或最值证明不 等式如，要证明对任意xba,都有)()(xgxf，可设)()()(xgxfxh， 只要利用导数说明)(xh在ba,上的最小值为0即可。 （2）多用分析法思考. （3）直接证明不等式，
2、若困难，可考虑对不等式进行等价变形转化. 2 2、导数在实际问题中的应用，基本思路、导数在实际问题中的应用，基本思路 【典题分析】 题型一：常见不等式的证明题型一：常见不等式的证明 例 1：证明下列不等式： （1）1 xex（2）1ln xx 【方法规律】【方法规律】 构造函数证明不等式的策略：转化与化归、定义域优先的构造函 数、用导数研究函数的最值. 实际问题 实际问题的答案 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 【题组练习】 1、证明下列不等式： （1） x x 1 -1ln （2）) 2 , 0(, 2 sin x x x *例 2、已知函数. 2 2 )(),( ,ln) 1( 1
3、)( e x e xgRbaxab x axxf （1）若函数2)(xxf在处取得极小值 0，求ba,的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的, 2 21 eexx，总有)()( 21 xgxf. 题型二：导数与实际应用问题题型二：导数与实际应用问题 *例 3：（2020 江苏 17）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图 如图所示： 谷底O在水平线MN上， 桥AB与MN平行，OO为铅垂线 （ O 在AB 上） 经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 1 h（米）与D到OO的距 离a（米）之间满足关系式 2 1 1 40 ha ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 2 h
4、（米）与F到OO的距离b（米）之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb 己知点B到 OO的距离为40米 （1）求桥AB的长度； （2） 计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF， 且CE为80米， 其中C， E在AB上（不包括端点） 桥墩EF每米造价k（万元） ，桥墩CD每米造价 3 2 k （万元） （0k ） ，问O E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 【方法规律】【方法规律】利用导数解决优化问题的一般步骤利用导数解决优化问题的一般步骤: : (1)写出函数关系( )yf x=，一定要注意：定义域优先！ (2)求函数的导数( )fx，并研究导数符号. (3)得到函数的单调性以及最值情况. (4)根据数学问题解决回答实际问题中的优化问题. 【题组练习】 1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数 关系为 3 1 81234 3 yxx= -+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（） A. 13 万件B. 11 万件C. 9 万件D. 7 万件 2、某工厂需要建一个面积为 512 2 m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁， 问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？ 【课堂小结】本节课你收获什么？
