第45讲直线、平面垂直的判定及其性质.docx

1、第四十五讲：直线、平面垂直的判定及其性质第四十五讲：直线、平面垂直的判定及其性质 【学习目标学习目标】 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判 定定理； 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题。 【重点、难点重点、难点】 重点：掌握线面垂直的有关性质与判定定理； 难点：运用性质与判定定理证明。 【知识梳理知识梳理】 1 1、直线于平面垂直、直线于平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面内的直线都垂直，则直线l与平面垂直. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言符号语言 判 定 定 理 一条直线与一个平面内的直

2、 线都垂直，则该直线与此平面垂直. l bl al Oba ba , 性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条直 线. ba b a a / / 2 2、直线和平面所成的角、直线和平面所成的角 （1）平面的一条斜线和它在所成的锐角叫做这条直线和这个平面 所成的角. （2）当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为 和. （3）范围： 2 , 0 . 3 3、二面角的有关概念、二面角的有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角. （2） 二面角的平面角： 以二面角的棱上任一点为端点， 在两个半平面内分别作的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的

3、平面角. （3）范围：, 0. 4 4、平面与平面垂直、平面与平面垂直 （1）定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的， 则这两个平面垂直. l l 性 质 定 理 两个平面垂直， 则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂 直. l al a l 【常用结论】 直线与平面垂直的五个结论 （1）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）一条直线垂直

4、于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：直线与平面垂直的判定与性质：直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图所示，在四棱锥ABCDP中，PA底面ABCD，ADAB ,CDAC ， o ABC60,BCABPA，E是PC的中点. 证明： （1）AECD ； （2）PD平面ABE. 【方法规律】【方法规律】 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想；另外，在解题 中要重视平面几何知识，特别是正余弦定理及勾股定理的应用 . 【题组练习】 1、如图所示，已知PA平面

5、ABC，ACBC ，则图中直角三角形的 个数为. 2、 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，2 2AC ，2,PAE是PC 上的一点，2PEEC。 证明：PC 平面BED； 3、如图 1，矩形ABCD中，12AB ，6AD ，E、F分别为CD、AB边上的点，且 3DE ， 4BF ，将BCE沿BE折起至PBE位置（如图 2 所示）连结AP、PF，其中2 5PF. (1)求证：PF 平面ABCD；(2)求二面角ABEP的余弦值. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 判定定理 性质定理 判定定理 性质定理 题型题型 2 2：平面与平面垂直的判定与性质：平面与平面垂直的判

6、定与性质 例 2 如图， 四棱锥ABCDP的底面ABCD为直角梯形，DCAB/， o ABC90， o PAB120， 2 PCDC，1BCABPA. （1）证明：平面PAB平面PBC； （2）求四棱锥ABCDP的体积. 【方法规律】【方法规律】 三种垂直关系的转化： 【题组练习】 1、若平面平面，直线/a，则（） A、aB、/a C、a与相交D、以上都有可能 2、, 为不同平面，, a b为不同直线，给出下列条件： ,/aa ；, ； ,abab；,abab。 其中能使成立的条件的个数是（） A、1B、2C、3D、4 3、已知, 为不重合的两个平面，直线m，那么“m”是“”的（） A、充分不

7、必要条件B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件 4、如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于,A B的任意一点，平面PAC 平面ABC。 求证：BCPAC平面。 5、如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD. （1）证明：平面AEC平面BED； （2）若 o ABC120，ECAE ，三棱锥ACDE的体积为 3 6 ，求该三棱锥的侧面积. 6、 如图， 四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD， 且底面ABCD为平行四边形， 若 60DAB， 2AB ，1AD . （1）求证：面PAD 面PBD； （2）若45PCD，求点D到平面PBC的距离h. 7、如图，在四棱锥PABCD中， 1 2 2 PAPBADCDBC，/AD BC，ADCD，E是 线段PA上的点，且| | 3|PAEA ，平面PAB 平面ABCD. （1）证明：PB 平面PAC； （2）求三棱锥DEBA的体积.