1、第四十八讲：立体几何中的翻折、探究性、最值问题第四十八讲：立体几何中的翻折、探究性、最值问题 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：平面图形的翻折问题：平面图形的翻折问题 例 1 如图，四边形ABCD为正方形，FE,分别为BCAD,的中点，以DF为折痕把DFC折 起，使点C到达点P的位置，且BFPF . （1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 【方法规律】【方法规律】 3 步解决平面图形翻折问题： 第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； 第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； 第三步：利用判定
2、定理或性质定理进行证明 . 【题组练习】 1、如图，梯形EFBC中，FBEC/，BFEF ，4 3 2 ECBF，2EF，A是BF的中点， ECAD ，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED平面ABCD，点M 是线段EC上异于CE,的任意一点. （1）当点M是EC的中点时，求证：/BM平面AFED； （2）当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为 6 30 时，求三棱锥BDME 的体 积. 2、如图，ABC，ACD，ABE均为正三角形，2AB ，AB中点为O，将 ABE沿AB 翻折，使得点E折到点P的位置 （1）证明：CD 平面POC； （2）当6PC 时，求二面角B
3、 PCD的余弦值 3、如图甲，在ABC中，ABBC，6AB ，3BC ，D，E分别在AC，AB上，且满 足2 AEAD BEDC ，将ADE沿DE折到PDE位置，得到四棱锥PBCDE，如图乙 1）已知M，N为PB，PE上的动点，求证：MNDE； （2） 在翻折过程中，当二面角PEDB为 60时，求直线CE与平面PCD所成角的正弦值 题型题型 2 2：立体几何中的探究性问题：立体几何中的探究性问题 例 2 如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中，E为AB的中点，F为BC的中点，O为 1 BD的 中点. （1）求证：AF 平面 1 DD E； （2）线段AF上是否存在点G，使得/OG平
4、面 1 DD E，若存在，求出 AG GF 的值，若不存在， 请说明理由. 【方法规律】【方法规律】 （1）解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑 推理，若能推导出和条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明； 否则不成立，即不存在. （2）在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理ba （0b） ，利用向量相等，所求点坐标用表示，再根据条件代入，注意的范围. （3）利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行 处理. 【题组练习】 1、 如图， 在三棱柱 111 ABCABC 中，
5、四边形 11 AAC C是边长为 3的正方形， 1 CCBC ，1BC ， 2AB . （1）证明：平面 1 ABC 平面 1 ABC； （2）在线段 1 AB上是否存在点M，使得 1 CMBC ，若存在，求 1 BM BA 的值；若不存在，请 说明理由 2、如图，在梯形ABCD中，AB/CD，90DAB， 1 1 2 ADDCAB，四边形ACFE 为正方形，平面ACFE 平面ABCD. （1）求证：平面BCF 平面ACFE； （2） 点M在线段EF上运动， 是否存在点M使平面MAB与平面ACFE所成二面角的平面角 的余弦值为 2 3 ，若存在，求线段FM的长，若不存在，说明理由. 题型题型
6、3 3：立体几何中的最值问题：立体几何中的最值问题 例 3 如图所示，长方体 1111 DCBAABCD中，1 ADAB，2 1 AA在对角线 11D B上存在一 点P使得PBPA 1 最短，则PBPA 1 的最小值为（） A.5B. 2 62 B.22D.2 【方法规律】【方法规律】 解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一 是从问题的几何特征入手， 充分利用其几何性质去解决； 二是利用空间几何体的侧面展开图； 三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解决途径很 多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法（如三 角函数等）及高阶函数拐点导数法等. 【题组练习】 1、如图，在直三棱柱 111 ABCABC 中，底面为直角三角形，90ACB，6AC ， 1 2BCCC，点P是线段 1 BC上一动点，则 1 CPPA 的最小值是（） A26B5 2 C371D62 2、在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABAC， 3 BAC，其外接球表面积为16， 则三棱锥PABC的体积的最大值为_.
