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1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级基础班第五讲教师版Page 1 of 7 第五讲第五讲包含与排除包含与排除 教学目标教学目标 本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法：本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法： 1 1包含排除法的内容包含排除法的内容。 （了解）（了解） 2 2包含排除法的简单应用包含排除法的简单应用。 （掌握）（掌握） 3 3设关键未知项解设关键未知项解。 （掌握）（掌握） 要求学生知道基本公式的内容要求学生知道基本公式的内容 （弄清楚具体题目中的量分别是公式中的哪一部分弄清楚具体题目中的量

2、分别是公式中的哪一部分） ， 而且会熟练运用而且会熟练运用； 能够用公式与韦恩图结合解题（要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义能够用公式与韦恩图结合解题（要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义） 。 容斥原理的要领：多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合，那么分析题目容斥原理的要领：多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合，那么分析题目 时要弄清楚哪些是多算的，哪些是少算了的，也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时时要弄清楚哪些是多算的，哪些是少算了的，也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时 要结合画韦恩图来分析。要结合画韦恩图来

3、分析。 分析分析：画四个圆能将长方形划分为画四个圆能将长方形划分为 14 个部分个部分，因为两个圆只可能有两个交点因为两个圆只可能有两个交点，第四个圆与其余三个圆最第四个圆与其余三个圆最 多只能有多只能有 6 个交点个交点，这六个交点将圆周分为这六个交点将圆周分为 6 段圆弧段圆弧，每段圆弧将三个圆的情况下每段圆弧将三个圆的情况下 6 个划区分为两部分个划区分为两部分， 所以，四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多所以，四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多 6，所以四个圆的情况只能将长方形划，所以四个圆的情况只能将长方形划 分为分为 14 个部分个部分.同样的五个圆能

4、将长方形划分为同样的五个圆能将长方形划分为 14+8=22 个部分个部分， 六个圆能将长方形划分为六个圆能将长方形划分为 22+10=32 个个 部分，部分，n 个圆能将长方形划分为个圆能将长方形划分为 2+2+4+6+8（2n-4）+（2n-2）=n2-n+2 评注 韦恩图在包含与排除中运用广泛，但它只适用于三个圆和四个圆以下的情况，如果有四组不完全 相关性质划分集合，根据乘法原理它们会将集合划分为 2222=16 种类别.这是四个圆划分长方形无 法办到的，一般小学奥数题中最多出现三组不完全相关性质划分集合的情况，用韦恩图足够了.万一出现 四组不完全相关性质的情况，不推荐使用韦恩图. 在一张

5、长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分在一张长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分； 画俩圆能将长方画俩圆能将长方 形划分为四个部分形划分为四个部分，画仨圆能将长方形划分为八个部分画仨圆能将长方形划分为八个部分，那么画四个圆最多能那么画四个圆最多能 将长方形纸划分为多少个部分？五个圆，六个圆呢？将长方形纸划分为多少个部分？五个圆，六个圆呢？ 想想挑挑战战吗？吗？ 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级基础班第五讲教师版Page 2 of 7 专题精讲专题精讲 包含排除法：包含排除法： 1 1若已

6、知若已知 A A、B B、C C 三部分的数量（如图三部分的数量（如图） ，其中，其中 C C 为重复部分，则为重复部分，则 图中的数量等于图中的数量等于 A+B-C.A+B-C. 即：即：A AB=A+B-B=A+B- A AB B，其中，其中 A AB=C.B=C. 2 2若已知若已知 A A、 B B、 C C 三部分的数量三部分的数量 （如图如图） ，则图中的数量等于则图中的数量等于 A+B+C-A+B+C- （A A 与与 B B 重叠部分重叠部分+ + B B 与与 C C 重叠部分重叠部分+ + C C 与与 A A 重叠部分）重叠部分）+A+A、B B、 C C 三者重叠的部分

7、三者重叠的部分. . 即：即：A AB BC=A+B+C-C=A+B+C-（A AB+BB+BC+CC+CA A）+ + A AB BC.C. 以上概念中符号解释：以上概念中符号解释： “”“”表示并集表示并集， “A AB B”表示表示 A A 并并 B B，通俗的讲表示所有或属于，通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或属于 B B 的元素的的元素的 数量（集合数量（集合） ， “A AB BC C” 通俗的讲表示所有或属于通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或属于 B B、或属于、或属于 C C 的元素数量的元素数量. . “”“”表示交集表示交集， “A AB B”表示表示 A

8、A 交交 B B，通俗的讲表示所有即属于，通俗的讲表示所有即属于 A A、又属于、又属于 B B 的元素的的元素的 数量（集合数量（集合） ， “A AB BC C”通俗的讲表示所有即属于通俗的讲表示所有即属于 A A，又属于，又属于 B B，还属于，还属于 C C 的元素数量的元素数量 、基本类型、基本类型 【例【例 1 1】 某小学三年级四班某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有参加语文兴趣小组的有 2828 人人，参加数学兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有 2929 人人，有有 1212 人两个人两个 小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？小组都参加。这个班有多少人参加了语文

9、或数学兴趣小组？ 分析：分析：如右图所示，如右图所示，A A 圆表示参加语文兴趣小组的人，圆表示参加语文兴趣小组的人，B B 圆表示参加数学兴趣小组的圆表示参加数学兴趣小组的 人，人，A A 与与 B B 重合的部分重合的部分 C(C(阴影部分阴影部分) )表示同时参加两个小组的人。图中表示同时参加两个小组的人。图中 A A 圆不含阴影圆不含阴影 的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有有 28-1228-1216(16(人人) )；图图中中 B B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有圆不含阴影的部分

10、表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有 29-1229-12 17(17(人人) )。 （法（法 1 1）由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：）由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16161212171745(45(人人) )。 （法（法 2 2）根据包含排除法根据包含排除法，直接可得直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人参加语文或数学兴趣小组的人= =参加语文兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人+ +参加数学参加数学 兴趣小组的人兴趣小组的人- -两个小组都参加的人两个小组都参加的人=28=2829-29- 121245(45(人人) )。直接套用公式必须建立在对公式有一定程度。直接套

11、用公式必须建立在对公式有一定程度 的了解之上，的了解之上，28+1928+19 直接将参加语文兴趣小组的人数和参加数学兴趣小组的人数简单相加，这个和中两直接将参加语文兴趣小组的人数和参加数学兴趣小组的人数简单相加，这个和中两 个小组都参加的人数被重复计算了两次，所以后边还要减去一次两个小组都参加的人数个小组都参加的人数被重复计算了两次，所以后边还要减去一次两个小组都参加的人数. . 【例【例 2】 五年级一班共五年级一班共 42 名同学名同学，其中奥运小志愿者其中奥运小志愿者 33 人人。这个班男生这个班男生 20 人人，女生中有女生中有 4 人不是奥运人不是奥运 小志愿者，男生中有多少人是奥

12、运小志愿者？小志愿者，男生中有多少人是奥运小志愿者？ 分析：关键是要弄清要素之间的关系。女生人数：分析：关键是要弄清要素之间的关系。女生人数：4220=22（人（人） ；女生参加志愿者：；女生参加志愿者：224=18（人（人） ； 男生参加志愿者：男生参加志愿者：3318=15（人（人） 。 如果用容斥原理的公式来做，将奥运小志愿者看作一个如果用容斥原理的公式来做，将奥运小志愿者看作一个“圆圆” （集合（集合） ，男生看作一个，男生看作一个“圆圆” （集合（集合） ，这，这 两个圆圈以外的人一共有两个圆圈以外的人一共有 4 人人， 圆圈以内的人共有圆圈以内的人共有 42-4=38 人人， 那么

13、那么 38=33+20-同时属于两个圆圈同时属于两个圆圈 “集合集合” 内的人数，所以同时属于两个圆圈内的人数，所以同时属于两个圆圈“集合集合”内的人数为内的人数为 33+20-38=15 人人. C B A C B A 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级基础班第五讲教师版Page 3 of 7 【例【例 3】 在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大） ，它们的面，它们的面 积都积都是是100cm2， 并并知知A、 B两圆重叠的面积两圆重叠的

14、面积是是20cm2， A、 C两圆重叠的面积两圆重叠的面积为为45cm2， B、C 两圆重叠的面积为两圆重叠的面积为 31cm2,三个圆共同重叠的面积为三个圆共同重叠的面积为 15cm2，求盖住桌子的总，求盖住桌子的总 面积。面积。 分析：法一：直接套用公式：分析：法一：直接套用公式：1003-20-45-31+15=219cm2.套用公式必须在理解公套用公式必须在理解公 式的基础上运用式的基础上运用，A、B、C 三个圆的面积各包含了四块面积三个圆的面积各包含了四块面积，例如例如 A 覆盖的部分包括覆盖的部分包括，A 与与 B 共有而共有而 C 没有的没有的；A 与与 C 共有而共有而 B 没

15、有的没有的、A、B、C 三个圆共有的三个圆共有的、A 独有的独有的.这样如果将这样如果将 A、B、C 的面积简单的面积简单 相加，相加，A 与与 B 共有而共有而 C 没有的、没有的、B 与与 C 共有而共有而 A 没有的、没有的、A 与与 C 共有而共有而 B 没有的这三个部分被重复计没有的这三个部分被重复计 算了算了 2 次，次，A、B、C 三个部分的共有部分则被计算了三个部分的共有部分则被计算了 3 次，如果再将次，如果再将 A、C 两圆重叠的；两圆重叠的；B、C 两圆重两圆重 叠的叠的；A、B 两圆重叠的部分各减去一遍两圆重叠的部分各减去一遍，那么同时那么同时 A、B、C 三个部分的共

16、有部分则被减了三个部分的共有部分则被减了 3 次次，此时此时 得到的结果中得到的结果中 A、B、C 三个部分的共有部分没有被计算过，所以最后还要将这一部分加上三个部分的共有部分没有被计算过，所以最后还要将这一部分加上. 法二法二： 分别计算各区块的面积分别计算各区块的面积， A 与与 B 共有而共有而 C 没有的没有的=20-15=5 cm2， B 与与 C 共有而共有而 A 没有的没有的=31-15=16 cm2， A与与C共有共有而而B没有的没有的=45-15=30 cm2.A独有的独有的=100-5-30-15=50 cm2， B独有的独有的=100-16-5-15=64 cm2， C

17、独有的独有的 100-30-16-15=39 cm2. 盖住桌子的总面积盖住桌子的总面积=15+5+16+30+50+64+50+39=219 cm2,事实上如果我们事实上如果我们 实现没有将各个区块算出来的话实现没有将各个区块算出来的话， 盖住桌子的总面积盖住桌子的总面积=15+ （20-15） + （31-15） + （45-15） + （100-15- （20-15） -（45-15） ）+（100-15-（20-15）-（31-15） ）+（100-15-（36-15）-（45-15） ）=1003-20-45-31+15=219 cm2. 巩固 有三个面积为 30 的圆，两两重叠的面

18、积分别 5、6、8，三个圆共同重叠的面积为 3，三个圆共盖 住多大面积？ 分析：30+30+30-5-6-8+3=74. 【例【例 4】 学而思八年级竞赛班有学而思八年级竞赛班有 50 人人，共有三个科技兴趣小组共有三个科技兴趣小组：天文天文、无线电和计算机无线电和计算机，参加天文组的参加天文组的 有有 38 人人，参加无线电组的有参加无线电组的有 35 人人，参加计算机组的有参加计算机组的有 31 人人，既参加天文组又参加无线电组的有既参加天文组又参加无线电组的有 29 人人， 既参加天文组又参加计算机组的有既参加天文组又参加计算机组的有 28 人人，既参加无线电又参加计算机组的有既参加无线

19、电又参加计算机组的有 26 人人，三个小组都参加的三个小组都参加的 有有 24 人，试求三个小组都没有参加的人数。人，试求三个小组都没有参加的人数。 分析：先求出参加科技兴趣小组的总人数，在从班级人数中减去那部分人数，即为三个小组都没有参加分析：先求出参加科技兴趣小组的总人数，在从班级人数中减去那部分人数，即为三个小组都没有参加 的人数的人数 50-（38+35+31-29-28-26+24）=5 人人. 【例【例 5】 东方大学有外语老师东方大学有外语老师 120 名，其中教英语的有名，其中教英语的有 50 名，教日语的名，教日语的 45 名，教法语的有名，教法语的有 40 名，名，有有 1

20、5 名教师既教英语又教日语，有名教师既教英语又教日语，有 10 名教师既教英语又教法语，有名教师既教英语又教法语，有 8 名教师既教日语又教法语，有名教师既教日语又教法语，有 4 名名 教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？ 分析：先求出教这三门外语的外教人数，然后从外教总人数中减去那一部分的人书，即得分析：先求出教这三门外语的外教人数，然后从外教总人数中减去那一部分的人书，即得到到 120-(50+45+40-15-10-8+4)=14 名名. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师

21、您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级基础班第五讲教师版Page 4 of 7 【例【例 6】 某科室有某科室有 12 人，其中人，其中 6 人会英语，人会英语，5 人会俄语，人会俄语，5 人会日语，有人会日语，有 3 人既人既 会英语又会俄语会英语又会俄语，有有 2 人既会俄语又会日语人既会俄语又会日语，有有 2 人既会英语又会日语人既会英语又会日语，有有 1 人人 英英、 日日、 俄这三种语言全会俄这三种语言全会， 只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？ 分析：一种外语也不会的有分析：一种外语也不会的有 12-(6

22、+5+5-3-2-2+1)=2 人，人， 只会一种外语的有只会一种外语的有 6+5+5-2（3+2+2）+31=5 人，人， 只会一种外语的人比一种外语也不会的人多只会一种外语的人比一种外语也不会的人多 5-2=3 人。人。 【例【例 7】 某校五年级有某校五年级有 120 名学生，订故事大王的有名学生，订故事大王的有 85 人，订儿童漫画的有人，订儿童漫画的有 90 人，订优秀人，订优秀 作文选作文选的有的有 70 人人，同时订同时订故事大王故事大王和和优秀作文选优秀作文选的有的有 62 人人，同时订同时订儿童漫画儿童漫画和和优秀优秀 作文选作文选的有的有 46 人人，同时订这三种杂志的有同

23、时订这三种杂志的有 21 人人，此外此外，还有还有 5 名学生没有订任何杂志名学生没有订任何杂志，问问：恰好只恰好只 订了故事大王和儿童漫画的有多少人？订了故事大王和儿童漫画的有多少人？ 分析分析：设同时订设同时订故事大王故事大王和和儿童漫画儿童漫画的有的有 X 人人，有有 120-85-90-70+62+46+X-21=5，X=43，所以所以 恰好只订故事大王和儿童漫画的有恰好只订故事大王和儿童漫画的有 43-21=22 人。人。 包容排斥与数论包容排斥与数论 【例【例 8 8】 求在求在 1 1 至至 100100 的自然数中能被的自然数中能被 3 3 或或 7 7 整除的数的个数。整除的

24、数的个数。 分析：记分析：记A A：1 1100100 中中 3 3 的倍数，的倍数，1003331，有，有 3333 个；个； B B：1 1100100 中中 7 7 的倍数，的倍数，1007142，有，有 1414 个；个； BA：1 1100100 中中 3 3 和和 7 7 的公倍数，即的公倍数，即 2121 的倍数，的倍数，10021416 ，有，有 4 4 个。个。 依据公式，依据公式，1 1100100 中中 3 3 的倍数或的倍数或 7 7 的倍数共有的倍数共有33 14443个，则能被个，则能被 3 3 或或 7 7 整除的数的个数为整除的数的个数为 4 43 3 个个.

25、. 拓展 求在 1100 的自然数中不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？ 分析： “既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数”的反面情况就是“是 5 的倍数或者是 6 的倍数” 。 记A：1100 中 5 的倍数，100 520 ，有 20 个； B：1100 中 6 的倍数， 4166100 ，有 16 个； BA ：1100 中 5 和 6 的公倍数，即 30 的倍数， 10330100 ，有 3 个。 依据公式，1100 中 5 的倍数或 6 的倍数共有 3331620 个，则既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的 数有 6733100 个。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家

26、，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级基础班第五讲教师版Page 5 of 7 【例【例 9】 在在 1 到到 2004 的所有自然数中，既不是的所有自然数中，既不是 2 的倍数，也不是的倍数，也不是 3、5 的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？ 分析：分析：1 到到 2004 中是中是 2 的倍数的有的倍数的有 1002 个，个，3 的倍数的有的倍数的有 668 个，个，5 的倍数的有的倍数的有2004/5=400 个，个， 6 的倍数的有的倍数的有 334 个，个，10 的倍数的有的倍数的有2004/10=200 个，个，15 的倍数的有

27、的倍数的有2004/15=133 个，个，30 的倍数的有的倍数的有 2004/30=66 个个。所以不是所以不是 2、3、5 的倍数有的倍数有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 个个.（ “ ”表示对表示对 内的数取整内的数取整.） 拓展 不超过 201 的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？ 分析：1099 中符合条件的数有 5 个（11、33、55、77、99） ，100199 中有三个数字都不同的有 98=72 个，偶数有 50 个，有三个数字都不同的偶数有 58=40 个，因此至少有两个数字相同的不同的奇数有 100-72-50+40=

28、18 个，200 和 201 都不符合条件。一共有 23 个符合条件。 【例【例 10】分母是分母是 385 的最简真分数有多少个？的最简真分数有多少个？ 分析分析：385=5711，不超过不超过 385 的正整数中被的正整数中被 5 整除的数有整除的数有 77 个个；被被 7 整除的数有整除的数有 55 个个；被被 11 整除整除 的数有的数有 35 个个；被被 77 整除的数有整除的数有 5 个个；被被 35 整除的数有整除的数有 11 个个；被被 55 整除的数有整除的数有 7 个个；被被 385 整除的数整除的数 有有 1 个；最简真分数的分子可以有个；最简真分数的分子可以有 385-

29、77-55-35+5+11+7-1=240 个。个。 特殊类型特殊类型 【例【例 11】48 人中无弟弟的有人中无弟弟的有 38 人，有弟弟无妹妹的有人，有弟弟无妹妹的有 8 人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹 人数的人数的 2 倍，试问：这倍，试问：这 48 人当中是独生子女的有几个？人当中是独生子女的有几个？ 分析：无弟弟人数有分析：无弟弟人数有 38 人，则有弟弟人数有人，则有弟弟人数有 10 人，有弟弟无妹妹的有人，有弟弟无妹妹的有 8 人，有弟弟有妹妹的有人，有弟弟有妹妹的有 2 人，人， 则无弟弟有妹妹的人数是则无弟弟有妹妹的人数是 4 人，所

30、以无弟弟无妹妹的是人，所以无弟弟无妹妹的是 38-4=34 人，即独生子女的有人，即独生子女的有 34 人人. 拓展学而思画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的。现在知 道五、六年级共有 25 幅画，那么其他年级的画共有多少幅？ 分析：不是六年级的画中包括五年级的画，同样不是五年级的画中也包括了六年级的画， 五年级+其他年级=16， 六年级+其他年级=15 又16比15大1， 说明五年级比六年级多1幅， 又知两个年级共有25幅画， 则五年级的画有132) 125( 幅，因此其他年级的画有31316幅。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一

31、篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级基础班第五讲教师版Page 6 of 7 【例【例 12】将将 113 这这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割 成的成的 13 个区域中，然后把每个圆内的个区域中，然后把每个圆内的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：个数相加，最后把四个圆的和相加，问： 和最大是多少？和最大是多少？ 分析分析：越是中间越是中间，被重复计算的越多被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次最中心的区域被重复计算四次，将数字按从将数字按从 大到小依次填写于被重复计算多的区格

32、中，最大和为：大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为： 134+（12+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240. 专题展望专题展望 因为容斥原理是中学的知识，所以是小升初的热点内容，相关内容我们会在五年级、六年级继续学习因为容斥原理是中学的知识，所以是小升初的热点内容，相关内容我们会在五年级、六年级继续学习. 练习五练习五 1.(例例 1)边长为边长为 6、5、2 的三个正方形的三个正方形，如图所示如图所示，求它们的盖住部分的面求它们的盖住部分的面积。积。 分析：边长为分析：边长为 5 的正方形与边长为的正方形与边长为 6 的正方形，共同盖住的部分面积为的

33、正方形，共同盖住的部分面积为 9； 边长为边长为 5 的正方形与边长为的正方形与边长为 2 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 2；边长为；边长为 2 的正方形与边长为的正方形与边长为 6 的正的正 方形，共同盖住的部分面积为方形，共同盖住的部分面积为 2；三个正方形共同盖住的面积为；三个正方形共同盖住的面积为 1。 它们一共盖住面积为它们一共盖住面积为 25+36+4-9-2-2+1=53. 2.（例（例 3）火星小学四年级有火星小学四年级有 45 人参加了慰问坚守在青年宫人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放九站三个地段抗洪的解放

34、军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有 19 人，去过防洪纪念塔的有人，去过防洪纪念塔的有 18 人，去过九站的有人，去过九站的有 16 人；去过青人；去过青 年宫、防洪纪念塔两处的有年宫、防洪纪念塔两处的有 7 人，去过青年宫、九站两处的有人，去过青年宫、九站两处的有 6 人，去过防洪纪念塔、九站两处的有人，去过防洪纪念塔、九站两处的有 5 人；有人；有 3 人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？ 分析：参加慰问的有分析：参加慰问的有 19+18+16-7-6-5+3=38 人，剩

35、下人，剩下 45-38=7 人准备慰问品。人准备慰问品。 3.（例（例 3）某校有某校有 28 名学生参加市运动会名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有参加跑步类项目的有 15 人人，参加跳类项目的有参加跳类项目的有 13 人人，参参 加投掷类项目的有加投掷类项目的有 14 人，既参加跑又参加跳项目的有人，既参加跑又参加跳项目的有 4 人，既参加跑又参加投掷项目的有人，既参加跑又参加投掷项目的有 6 人，既参人，既参 加跳又参加投掷项目的有加跳又参加投掷项目的有 5 人，三种项目都参加的有人，三种项目都参加的有 2 人，试说明，这个报名表有误。人，试说明，这个报名表有误。 分析：按照赞加各个项

36、目的详细人数，该校参加市运动会的人数为分析：按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会的人数为 15+13+14-4-6-5+2=29 人，人， 与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级基础班第五讲教师版Page 7 of 7 4.（例（例 7）志诚中学志诚中学 5 年级有年级有 200 名学生踊跃申报学而思各学科培训班名学生踊跃申报学而思各学科培训班，已知申报奥数班的学生有已知申报奥数班的学生有 140 人人，申报英语班的学生也

37、有申报英语班的学生也有 120 人人，申报科技班的学生一共有申报科技班的学生一共有 60 人人，参加奥数和英语班的学生有参加奥数和英语班的学生有 60 人人， 申报奥数和科技班的学生共有申报奥数和科技班的学生共有 40 人，申报科技班的学生共有人，申报科技班的学生共有 30 人，那么有多少人三个班都报了？人，那么有多少人三个班都报了？ 分析：设三个班都报的学生有分析：设三个班都报的学生有 x 人，那么人，那么 140+120+60-60-40-30+x=200，x=10，所以有，所以有 10 人三个班都报人三个班都报 了了. 5.（例（例 10）以）以 105 为分母的最简真分数共有多少个？为

38、分母的最简真分数共有多少个？ 分析分析：105=357，105 以内的以内的 3 的倍数有的倍数有 35 个个，5 的倍数有的倍数有 21 个个，7 的倍数有的倍数有 15 个个，35 的倍数的倍数有有 7 个，个，37 的倍数有的倍数有 5 个，个，57 的倍数有的倍数有 3 个，只有个，只有 105 是是 3、5、7 的倍数，的倍数，105 以内与以内与 105 互质的数互质的数 一共有一共有 105-35-21-15+7+5+3-1=48 个个. 成长故事成长故事 好学不倦好学不倦 在一个漆黑的晚上，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食，在一家人的厨房内，垃圾桶之中有很多剩余在一个漆黑的晚上，老

39、鼠首领带领着小老鼠出外觅食，在一家人的厨房内，垃圾桶之中有很多剩余 的饭菜，对于老鼠来说，就好像人类发现了宝藏。的饭菜，对于老鼠来说，就好像人类发现了宝藏。正当一大群老鼠在垃圾桶及附近范围大挖一顿之正当一大群老鼠在垃圾桶及附近范围大挖一顿之 际，突然传来了一阵令它们肝胆俱裂的声音，那就是一头大花猫的叫声。它们震惊之余，更各自四处逃际，突然传来了一阵令它们肝胆俱裂的声音，那就是一头大花猫的叫声。它们震惊之余，更各自四处逃 命，但大花猫绝不留情，不断穷追不舍，终于有两只小老鼠走避不及，被大花猫捉到，正要向它们吞噬命，但大花猫绝不留情，不断穷追不舍，终于有两只小老鼠走避不及，被大花猫捉到，正要向它们吞噬 之际，突然传来一连串凶恶的狗吠声，令大花猫手足无措，狼狈逃命。之际，突然传来一连串凶恶的狗吠声，令大花猫手足无措，狼狈逃命。大花猫走后，老鼠首领施施大花猫走后，老鼠首领施施 然从垃圾桶后面走出来说：然从垃圾桶后面走出来说： 我早就对你们说，多学一种语言有利无害，这次我就因而救了你们一命。我早就对你们说，多学一种语言有利无害，这次我就因而救了你们一命。 温馨提示：温馨提示： 多一门技艺，多一条路。多一门技艺，多一条路。 不断学习实在是成功人士的终身承诺不断学习实在是成功人士的终身承诺