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1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第五讲教师版Page 1 of 7 第五讲第五讲包含与排除包含与排除 教学目标教学目标 本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法：本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法： 1 1包含排除法的内容包含排除法的内容。 （了解）（了解） 2 2包含排除法的简单应用包含排除法的简单应用。 （掌握）（掌握） 3 3设关键未知项解设关键未知项解。 （掌握）（掌握） 要求学生知道基本公式的内容要求学生知道基本公式的内容 （弄清楚具体题目中的量分别是公式中的哪一部分弄清楚具体题目中的量

2、分别是公式中的哪一部分） ， 而且会熟练运用而且会熟练运用； 能够用公式与韦恩图结合解题（要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义能够用公式与韦恩图结合解题（要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义） 。 容斥原理的要领：多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合，那么分析题目容斥原理的要领：多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合，那么分析题目 时要弄清楚哪些是多算的，哪些是少算了的，也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时时要弄清楚哪些是多算的，哪些是少算了的，也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时 要结合画韦恩图来分析。要结合画韦恩图来

3、分析。 分析分析：画四个圆能将长方形划分为画四个圆能将长方形划分为 14 个部分个部分，因为两个圆只可能有两个交点因为两个圆只可能有两个交点，第四个圆与其余三个圆最第四个圆与其余三个圆最 多只能有多只能有 6 个交点个交点，这六个交点将圆周分为这六个交点将圆周分为 6 段圆弧段圆弧，每段圆弧将三个圆的情况下每段圆弧将三个圆的情况下 6 个划区分为两部分个划区分为两部分， 所以，四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多所以，四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多 6，所以四个圆的情况只能将长方形划，所以四个圆的情况只能将长方形划 分为分为 14 个部分个部分.同样的五个圆能

4、将长方形划分为同样的五个圆能将长方形划分为 14+8=22 个部分个部分， 六个圆能将长方形划分为六个圆能将长方形划分为 22+10=32 个个 部分，部分，n 个圆能将长方形划分为个圆能将长方形划分为 2+2+4+6+8（2n-4）+（2n-2）=n2-n+2 评注 韦恩图在包含与排除中运用广泛，但它只适用于三个圆和四个圆以下的情况，如果有四组不完全 相关性质划分集合，根据乘法原理它们会将集合划分为 2222=16 种类别.这是四个圆划分长方形无 法办到的，一般小学奥数题中最多出现三组不完全相关性质划分集合的情况，用韦恩图足够了.万一出现 四组不完全相关性质的情况，不推荐使用韦恩图. 在一张

5、长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分在一张长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分； 画俩圆能将长方画俩圆能将长方 形划分为四个部分形划分为四个部分，画仨圆能将长方形划分为八个部分画仨圆能将长方形划分为八个部分，那么画四个圆最多能那么画四个圆最多能 将长方形纸划分为多少个部分？五个圆，六个圆呢？将长方形纸划分为多少个部分？五个圆，六个圆呢？ 想想挑挑战战吗？吗？ 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第五讲教师版Page 2 of 7 专题精讲专题精讲 包含排除法：包含排除法： 1 1若已

6、知若已知 A A、B B、C C 三部分的数量（如图三部分的数量（如图） ，其中，其中 C C 为重复部分，则为重复部分，则 图中的数量等于图中的数量等于 A+B-C.A+B-C. 即：即：A AB=A+B-B=A+B- A AB B，其中，其中 A AB=C.B=C. 2 2若已知若已知 A A、 B B、 C C 三部分的数量三部分的数量 （如图如图） ，则图中的数量等于则图中的数量等于 A+B+C-A+B+C- （A A 与与 B B 重叠部分重叠部分+ + B B 与与 C C 重叠部分重叠部分+ + C C 与与 A A 重叠部分）重叠部分）+A+A、B B、 C C 三者重叠的部分

7、三者重叠的部分. . 即：即：A AB BC=A+B+C-C=A+B+C-（A AB+BB+BC+CC+CA A）+ + A AB BC.C. 以上概念中符号解释：以上概念中符号解释： “”“”表示并集表示并集， “A AB B”表示表示 A A 并并 B B，通俗的讲表示所有或属于，通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或属于 B B 的元素的的元素的 数量（集合数量（集合） ， “A AB BC C” 通俗的讲表示所有或属于通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或属于 B B、或属于、或属于 C C 的元素数量的元素数量. . “”“”表示交集表示交集， “A AB B”表示表示 A

8、A 交交 B B，通俗的讲表示所有即属于，通俗的讲表示所有即属于 A A、又属于、又属于 B B 的元素的的元素的 数量（集合数量（集合） ， “A AB BC C”通俗的讲表示所有即属于通俗的讲表示所有即属于 A A，又属于，又属于 B B，还属于，还属于 C C 的元素数量的元素数量 基本类型基本类型 【例【例 1】 在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大） ，它们的面，它们的面 积都积都是是100cm2， 并并知知A、 B两圆重叠的面积两圆重叠的面积是是20cm2， A、 C两圆重叠的面积两圆重叠的面积为为45cm2， B

9、、C 两圆重叠的面积为两圆重叠的面积为 31cm2,三个圆共同重叠的面积为三个圆共同重叠的面积为 15cm2，求盖住桌子的总，求盖住桌子的总 面积。面积。 分析：分析：1003-20-45-31+15=219cm2. 前铺 某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有 12 人两个 小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 分析：如右图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的 人，A 与 B 重合的部分 C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中 A 圆不含阴影 的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，

10、有 28-1216(人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有 29-12 17(人)。 （法 1）由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745(人)。 （法 2）根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学 兴趣小组的人-两个小组都参加的人=2829- 1245(人)。 巩固 有三个面积为 30 的圆，两两重叠的面积分别 5、6、8，三个圆共同重叠的面积为 3，三个圆共盖 住多大面积？ 分析：30+30+30-5-6-8+3=74. C B A C B A 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是

11、一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第五讲教师版Page 3 of 7 【例【例 2】 某科室有某科室有 12 人，其中人，其中 6 人会英语，人会英语，5 人会俄语，人会俄语，5 人会日语，有人会日语，有 3 人既会英语又会俄语，有人既会英语又会俄语，有 2 人既会俄语又会日语人既会俄语又会日语，有有 2 人既会英语又会日语人既会英语又会日语，有有 1 人英人英、日日、俄这三种语言全会俄这三种语言全会，只会一种外语的只会一种外语的 人比一种外语也不会的人多多少人？人比一种外语也不会的人多多少人？ 分析：一种外语也不会的有分析：一种外语也不会的有 1

12、2-（6+5+5-3-2-2+1）=2 人，人， 只会一种外语的有只会一种外语的有 6+5+5-2（3+2+2）+31=5 人，人， 只会一种外语的人比一种外语也不会的人多只会一种外语的人比一种外语也不会的人多 5-2=3 人。人。 【例【例 3】 某校五年级有某校五年级有 120 名学生，订故事大王的有名学生，订故事大王的有 85 人，订儿童漫画的有人，订儿童漫画的有 90 人，订优秀人，订优秀 作文选作文选的有的有 70 人人，同时订同时订故事大王故事大王和和优秀作文选优秀作文选的有的有 62 人人，同时订同时订儿童漫画儿童漫画和和优秀优秀 作文选作文选的有的有 46 人人，同时订这三种杂

13、志的有同时订这三种杂志的有 21 人人，此外此外，还有还有 5 名学生没有订任何杂志名学生没有订任何杂志，问问：恰好只恰好只 订了故事大王和儿童漫画的有多少人？订了故事大王和儿童漫画的有多少人？ 分析分析：设同时订设同时订故事大王故事大王和和儿童漫画儿童漫画的有的有 X 人人，有有 120-85-90-70+62+46+X-21=5，X=43，所以所以 恰好只订故事大王和儿童漫画的有恰好只订故事大王和儿童漫画的有 43-21=22 人。人。 【例【例 4】 火星小学四年级有火星小学四年级有 45 人参加了慰问坚守在青年宫人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔

14、九站三个地段抗洪的解放军叔 叔的活动叔的活动，去过青年宫慰问的有去过青年宫慰问的有 19 人人，去过防洪纪念塔的有去过防洪纪念塔的有 18 人人，去过九站的有去过九站的有 16 人人；去过青年宫去过青年宫、 防洪纪念塔两处的有防洪纪念塔两处的有 7 人人，去过青年宫去过青年宫、九站两处的有九站两处的有 6 人人，去过防洪纪念塔去过防洪纪念塔、九站两处的有九站两处的有 5 人人；有有 3 人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？ 分析：参加慰问的有分析：参加慰问的有 19+18+16-7-6-5+3=38 人，剩

15、下人，剩下 45-38=7 人准备慰问品。人准备慰问品。 【例【例 5】 五年级三班有五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动名学生参加三项课外活动， 其中其中 24 人参加了绘画小组人参加了绘画小组， 20 人参加了合唱小组人参加了合唱小组， 参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍倍， 又是三项活动都参加人数的又是三项活动都参加人数的 7 倍倍， 既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2 倍倍，既参加绘画小组又参加合唱小组既参加绘画小

16、组又参加合唱小组 的有的有 10 人，求参加朗诵小组的人数。人，求参加朗诵小组的人数。 分析：设三项都参加的人数有分析：设三项都参加的人数有 X 人，则参加朗诵小组的人数为人，则参加朗诵小组的人数为 7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人，参加绘画小组又参加朗诵小组的 人数为人数为 2X 人人， 参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X 人人.有有 46-24-20-7X+2X+2X+10-X=0， 解得解得 X=3， 所以参与朗诵小组的人数为所以参与朗诵小组的人数为 21 人。人。 包容排斥与数论包容排斥与数论 【例【例 6】 在前在前 1000 个自然数

17、中（不包括个自然数中（不包括 0） ，既不是平方数也不是立方数的数有多少个？，既不是平方数也不是立方数的数有多少个？ 分析：平方数分析：平方数 12312，31 个；立方数个；立方数 13103，10 个；个； 其中其中 1、64、729 即是平方数，也是立方数。即是平方数，也是立方数。 既不是平方数，也不是立方数的有既不是平方数，也不是立方数的有 1000-31-10+3=962 个个. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第五讲教师版Page 4 of 7 【例【例 7 7】 求在求在 1 1100

18、100 的自然数中不是的自然数中不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？ 分析分析： “既不是既不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的倍数的倍数”的反面情况就是的反面情况就是“是是 5 5 的倍数或者是的倍数或者是 6 6 的倍数的倍数” 。 记记A A：1 1100100 中中 5 5 的倍数，的倍数，100520，有，有 2020 个；个； B B：1 1100100 中中 6 6 的倍数，的倍数，4166100，有，有 1616 个；个； BA：1 1100100 中中 5 5 和和 6 6 的公倍数，即的公倍数，即 3030

19、的倍数，的倍数，10330100，有，有 3 3 个。个。 依据公式依据公式，1 1100100 中中 5 5 的倍数或的倍数或 6 6 的倍数共有的倍数共有3331620个个，则既不是则既不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的的 倍数的数有倍数的数有6733100个。个。 前铺 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数。 分析：记A：1100 中 3 的倍数，1003331，有 33 个； B：1100 中 7 的倍数，1007142，有 14 个； BA：1100 中 3 和 7 的公倍数，即 21 的倍数，10021416 ，有 4 个。 依据公式，1

20、100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有33 14443个，则能被 3 或 7 整除的数的个数为 43 个. 【例【例 8】 分母是分母是 385 的最简真分数有多少个？的最简真分数有多少个？ 分析分析：385=5711，不超过不超过 385 的正整数中被的正整数中被 5 整除的数有整除的数有 77 个个；被被 7 整除的数有整除的数有 55 个个；被被 11 整除整除 的数有的数有 35 个个；被被 77 整除的数有整除的数有 5 个个；被被 35 整除的数有整除的数有 11 个个；被被 55 整除的数有整除的数有 7 个个；被被 385 整除的数整除的数 有有 1 个；最简真分数的分子可以

21、有个；最简真分数的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-1=240 个。个。 【例【例 9】 不超过不超过 201 的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？ 分析分析： 1099 中符合条件的数有中符合条件的数有 5 个个 （11、 33、 55、 77、 99） ， 100199 中有三个数字都不同的有中有三个数字都不同的有 98=72 个，偶数有个，偶数有 50 个，有三个数字都不同的偶数有个，有三个数字都不同的偶数有 58=40 个，因此至少有两个数字相同的不同的奇数个，因此至少有两个数字相同的不同的奇数有有 100-72

22、-50+40=18 个，个，200 和和 201 都不符合条件。一共有都不符合条件。一共有 23 个符合条件。个符合条件。 特殊类型特殊类型 【例【例 1010】学而思举行各年级学生画展学而思举行各年级学生画展，其中其中 1818 幅不是六年级的幅不是六年级的，2020 幅不是五年级的幅不是五年级的，现在知道五现在知道五、 六年级共展出六年级共展出 2222 幅画，问：其他年级共展出多少幅画？幅画，问：其他年级共展出多少幅画？ 分析分析： （方法一方法一）其他年级与五年级共展出其他年级与五年级共展出 18 幅画幅画，其他年级与六年级共展出其他年级与六年级共展出 20 幅画幅画，五年级六年级共五

23、年级六年级共 展出展出 22 幅画，幅画，其他年级共展出（其他年级共展出（18+20-2218+20-22）2=82=8 幅幅. . （方法二（方法二）把五年级的画看成一个集合把五年级的画看成一个集合 A A，六年级的画看成一个集合六年级的画看成一个集合 B B，其他年级的画看成一个集其他年级的画看成一个集合合 C C，它们的画加起来是集合，它们的画加起来是集合 I I，那么我们知道：，那么我们知道： n(I)n(I)n(A)=20,n(I)n(A)=20,n(I)n(B)=18,n(A)n(B)=18,n(A)n(B)=22,n(B)=22,其他年级展出的画其他年级展出的画 n(C)=n(I

24、)-n(A)-n(B).n(C)=n(I)-n(A)-n(B). 把把 n(I)n(I)n(A)=20,n(I)n(A)=20,n(I)n(B)=18n(B)=18 两个式子相加得到：两个式子相加得到：2n(I)2n(I)n(A)n(A)n(B)=38,n(B)=38,即即 2n(I)=n(A)2n(I)=n(A)n(B)n(B) 38=2238=2238=60,n(I)=30.38=60,n(I)=30.所以，所以，n(C)=n(I)n(C)=n(I)n(A)n(A)n(B)=30n(B)=3022=822=8 幅。幅。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了

25、 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第五讲教师版Page 5 of 7 【例【例 11】将将 113 这这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割 成的成的 13 个区域中，然后把每个圆内的个区域中，然后把每个圆内的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：个数相加，最后把四个圆的和相加，问： 和最大是多少？和最大是多少？ 分析分析：越是中间越是中间，被重复计算的越多被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次最中心的区域被重复计算四次，将数字按从将数字按从 大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：大到小

26、依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为： 134+（12+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240. 【例【例 12】有有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号 为为 1，2，3，2000，然后将编号为然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下的倍数的灯线拉一下，再将编号为再将编号为 3 的倍的倍 数的灯线拉一下数的灯线拉一下，最后将编号为最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下的倍数的灯线拉一下，三次拉完后三次拉完后，亮着的灯有亮着的灯有 多少盏？多少盏？ 分析分析： 教师可以先讲解前铺教师可以

27、先讲解前铺， 但要区分例题与前铺的区别但要区分例题与前铺的区别.没被拉过的灯和还亮着的灯是两个不同的概念没被拉过的灯和还亮着的灯是两个不同的概念， 还亮着的灯还包括被拉了两次的灯还亮着的灯还包括被拉了两次的灯. 三次拉完后三次拉完后，亮着的灯包括不是亮着的灯包括不是 2、3、5 的倍数的编号的灯以及是的倍数的编号的灯以及是 6、10、15 的倍数但不是的倍数但不是 30 的倍数的的倍数的 编号的灯编号的灯。12000 这这 2000 个正整数中个正整数中，2 的倍数有的倍数有 1000 个个，3 的倍数有的倍数有 666 个个，5 的倍数有的倍数有 400 个个，6 的倍数有的倍数有 333

28、个，个，10 的倍数有的倍数有 200 个，个，15 的倍数有的倍数有 133 个，个，30 的倍数有的倍数有 66 个，亮着的灯一共个，亮着的灯一共有有 2000-1000-666-400+2（333+200+133）-466=1002 盏。盏。 前铺 在 1 到 2000 的所有自然数中，既不是 2 的倍数，也不是 3、5 的倍数的数有多少个？ 分析：1 到 2000 中是 2 的倍数的有 1000 个，3 的倍数的有 666 个，5 的倍数的有2000/5=400 个， 6 的倍数的有 333 个，10 的倍数的有2000/10=200 个，15 的倍数的有2000/15=133 个，3

29、0 的倍数的 有2000/30=66 个。所以不是 2、3、5 的倍数有 2000-1000-666-400+333+200+133-66=534 个. 专题展望专题展望 因为容斥原理是中学的知识，所以是小升初的热点内容，相关内容我们会在五年级、六年级继续学习因为容斥原理是中学的知识，所以是小升初的热点内容，相关内容我们会在五年级、六年级继续学习. 练习五练习五 1.五年级一班共五年级一班共 42 名同学名同学，其中奥运小志愿者其中奥运小志愿者 33 人人。这个班男生这个班男生 20 人人，女生中有女生中有 4 人不是奥运小志人不是奥运小志 愿者，男生中有多少人是奥运小志愿者？愿者，男生中有多

30、少人是奥运小志愿者？ 分析：关键是要弄清要素之间的关系。女生人数：分析：关键是要弄清要素之间的关系。女生人数：4220=22（人（人） ；女生参加志愿者：；女生参加志愿者： 224=18（人（人） ；男生参加志愿者：；男生参加志愿者：3318=15（人（人） 。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第五讲教师版Page 6 of 7 2.边长为边长为 6、5、2 的三个正方形的三个正方形，如图所示如图所示，求它们的盖住部分的面积求它们的盖住部分的面积。 分析：边长为分析：边长为 5 的正方形与边长为的正

31、方形与边长为 6 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 9； 边长为边长为 5 的正方形与边长为的正方形与边长为 2 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 2； 边长为边长为 2 的正方形与边长为的正方形与边长为 6 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 2； 三个正方形共同盖住的面积为三个正方形共同盖住的面积为 1。 它们一共盖住面积为它们一共盖住面积为 25+36+4-9-2-2+1=53. 3.某校有某校有 28 名学生参加市运动会名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有参加跑步类项目的有 15 人人，参加跳类项目的有

32、参加跳类项目的有 13 人人，参加投掷类参加投掷类 项目的有项目的有 14 人，既参加跑又参加跳项目的有人，既参加跑又参加跳项目的有 4 人，既参加跑又参加投掷项目的有人，既参加跑又参加投掷项目的有 6 人，既参加跳又参人，既参加跳又参 加投掷项目的有加投掷项目的有 5 人，三种项目都参加的有人，三种项目都参加的有 2 人，试说明，这个报名表有误。人，试说明，这个报名表有误。 分析：按照赞加各个项目的详细人数，分析：按照赞加各个项目的详细人数， 该校参加市运动会的人数为该校参加市运动会的人数为 15+13+14-4-6-5+2=29 人，人， 与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。与实际参加

33、人数不符，所以这个报名表有误。 4.学而思八年级竞赛班有学而思八年级竞赛班有 50 人，共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和计算机，参加天文组的人，共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和计算机，参加天文组的有有 38 人，参加无线电组的有人，参加无线电组的有 35 人，参加计算机组的有人，参加计算机组的有 31 人，既参加天文组又参加无线电组的有人，既参加天文组又参加无线电组的有 29 人，人， 既参加天文组又参加计算机组的有既参加天文组又参加计算机组的有 28 人人，既参加无线电又参加计算机组的有既参加无线电又参加计算机组的有 26 人人，三个小组都参加的三个小组都参加的 有有 24 人，试求

34、三个小组都没有参加的人数。人，试求三个小组都没有参加的人数。 分析：分析：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5 人人. 5.以以 105 为分母的最简真分数共有多少个？为分母的最简真分数共有多少个？ 分析分析：105=357，105 以内的以内的 3 的倍数有的倍数有 35 个个，5 的倍数有的倍数有 21 个个，7 的倍数有的倍数有 15 个个，35 的倍数的倍数有有 7 个，个，37 的倍数有的倍数有 5 个，个，57 的倍数有的倍数有 3 个，只有个，只有 105 是是 3、5、7 的倍数，的倍数，105 以内与以内与 105 互质的数互质的数 一共有一共有 105-（

35、35+21+15-7-5-3+1）=48 个个. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级提高班第五讲教师版Page 7 of 7 成长故事成长故事 好学不倦好学不倦 在一个漆黑的晚上，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食，在一家人的厨房内，垃圾桶之中有很多剩余在一个漆黑的晚上，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食，在一家人的厨房内，垃圾桶之中有很多剩余 的饭菜，对于老鼠来说，就好像人类发现了宝藏。正当一大群老鼠在垃圾桶及附近范围大挖一顿之际，的饭菜，对于老鼠来说，就好像人类发现了宝藏。正当一大群老鼠在垃圾桶及附近范围大挖一顿之

36、际， 突然传来了一阵令它们肝胆俱裂的声音，那就是一头大花猫的叫声。它们震惊之余，更各自四处逃命，突然传来了一阵令它们肝胆俱裂的声音，那就是一头大花猫的叫声。它们震惊之余，更各自四处逃命， 但大花猫绝不留情但大花猫绝不留情，不断穷追不舍不断穷追不舍，终于有两只小老鼠走避不及终于有两只小老鼠走避不及，被大花猫捉到被大花猫捉到，正要向它们吞噬之际正要向它们吞噬之际， 突然传来一连串凶恶的狗吠声，令大花猫手足无措，狼狈逃命。大花猫走后，老鼠首领施施然从垃圾桶突然传来一连串凶恶的狗吠声，令大花猫手足无措，狼狈逃命。大花猫走后，老鼠首领施施然从垃圾桶 后面走出来说：后面走出来说： 我早就对你们说，多学一种语言有利无害，这次我就因而救了你们一命。我早就对你们说，多学一种语言有利无害，这次我就因而救了你们一命。 温馨提示：温馨提示： 多一门技艺，多一条路。多一门技艺，多一条路。 不断学习实在是成功人士的终身承诺不断学习实在是成功人士的终身承诺