高三复习讲义之函数定义及函数性质.pdf

1、高三复习讲义专题：函数及函数的性质 一、函数定义 1、 函数定义 ：给定两个_A和B，如果按照某个_，对于集合A中_数x，在集合B中都存在 _确定的数( )f x与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作:fAB或 y=_，xA，此时x叫作_,集合A叫函数的_, 集合_叫作函数的值域，习惯上称y是 x的函数。 2、 映射定义：对于任意两个非空集合A和B，如果按照某个对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中 都有唯一一个元素与之对应，则称:fAB为定义在A上的一个映射，y称为x的象，x称为y的原象。 题 1、下列对应是否是从集合A到集合B的函数？ 2 N,N,:(1)ABfx

2、yx=； N,R,:ABf xyx=； 1 N,Q,: 1 ABfxy x = . 题 2、下列选项是函数的是（ ）A. 2 ()f xx= B. (sin )fxx= C. (|)fxx= D. 3 ()f xx= 题 3、判断下面的对应能否构成映射？ 题 4、已知映射:( , )(2,)fx yxy xy+，点 11 ( ,) 66 的原象是_. 3、函数的三种表示方法_、_、_ 题 5、判断右边表格，y 是 x 的函数吗？反之 x 是 y 的函数吗？ 题 6、判断下面的图像，y 是 x 的函数吗？反之 x 是 y 的函数吗？ 4、 函数三要素_、_、_ 题 7、求下列函数的定义域. 0.

3、5 1 log(6)1 y x ； 0 2 (2) 4 ln(1) x yx x . 题 8、抽象函数求定义域问题. x 1 2 3 4 5 y 3 5 0 3 2 已知( )f x的定义域是0,4,求(1)(1)f xf x+的定义域； 已知(21)fx+的定义域是0,4,求(21)fx的定义域； 已知 2 (1)f x +的定义域是 1,2,求 2 (log)fx的定义域. 题 9、求下列函数的解析式： (1)已知( )f x是一次函数，且 ( )94f f xx，求( )f x的解析式； (2)已知(1)2fxxx，求( )f x的解析式； 变式：已知 2 (1)lgfx x +=，求(

4、 )f x. (3)已知( )f x满足 1 2 ( )( )3f xfx x +=，求( )f x. 变式：已知( )f x满足 2 ( )=2 (2)f xfxx+，求( )f x. (4)定义在 R 上的函数满足(0)1f，, x yR都有21()( )()f xyf xyxy，求( )f x. 5、分段函数 有一种函数解析式，当自变量取不同值时解析式不同，称为分段函数.注意：分段函数是一个函数. 题 10、画出高斯函数图像，其中高斯函数是( ) f xx=， x是指不超过x的最大整数. 题 11、（1）已知 2 1 10 2 10 xx f x xx , ( ) (), 使1f x(

5、)成立的x的取值范围是_. 6、同一函数 两个函数_和_完全一样，则称这两个函数相同。 题 12、判断下列每对函数是否为同一函数。 221 2212 212221233 ( )1( )( )2 ( )( ) (1); (2); (3); (4);(5). ( )2 ( )()( )()( )( ) xn nnn t nnnn f xxxf xxf xx f xxf xx g tt g xxg xxg xxxg xx 7、求函数值域是一类知识点丰富的题目. 直接+图像法 须熟记一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数、 正切函数或由上述函数图像变换得到的函数

6、图像及性质. 题 13、求下列函数的值域. (1) ( )1;(2) ( )lg(29),0,);(3) ( )3sin(2),0, 62 x f xxf xxf xxx =+=+=（4）12f xxx( )min|,|. 题 14、求函数 2 41,1,3yxaxx=+的值域. 换元法 题 15、求下列函数值域. 222 (1)21 2 ;(2)(512)(54)21;(3)2yxxyxxxxyxxx=+=+=+ (4)35;(5)(sin1)(cos1),. 12 2 yxxyxxx =+=+ 变量分离法 题 16、求值域（1） 23 42 x y x ； （2） 2 2 32 1 x y

7、 x . 数形结合法 题 17、求函数 1 sin 2cos x y x = 的值域. 利用函数的有界性 题 18、求函数 1 sin 2cos x y x = 的值域. 单调性法 题 19、求函数 3 121( 3,0)yxxx=+ 的值域. 题 20、已知函数 2 12yxaxa=+ +： （1）定义域是 R，求a范围； （2）值域是0,)+，求a范围. 二、 函数性质之单调性 1、函数的单调性 定义：设函数)(xfy =的定义域为A，区间MA， 12 x xM,且 12 xx时，总有 12 f xf x()()，称函数 )(xfy =在区间M上是（严格单调） （递）增函数， 12 x x

8、M,且 12 xx时，总有 12 f xf x()()，称函数 )(xfy =在区间M上是（严格单调） （递）减函数，.如果函数)(xfy =在某个区间上是增函数或减函数，称函数 )(xfy =在这一区间具有 （严格的） 单调性， 这一区间叫做)(xfy =的单调区间 如果)(xfy =在定义域内单调， 称该函数具有单调性. 判断题：判断题：已知 1 ( )f x x =因为( 1)(2)ff，所以函数( )f x是增函数 若函数( )f x满足(2)(3)ff则函数( )f x在区间2,3上为增函数 若函数( )f x在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数( )f x在区间(1,3)

9、上为增函数 因为函数 1 ( )f x x =在区间(,0),(0,)+上都是减函数，所以 1 ( )f x x =在(,0)(0,)+上是减函数. 通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性 对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以 根本不单调(如常函数)单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域 内的两个区间 A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A B 上是增（或减）函数 判断：设 1212 ,x xA xx( )f x在A上是增加的

10、，判断 12 12 ()()f xf x xx 的符号并说明理由. 2、如何判断函数单调性：1 定义法： ，2 图像 法 ，3 求导法_ 结论法： 复合函数的 “同增异减” ； 增+增=增； 减+减=减； 增-减=增； 减-增=减； 若( )( )f x为增， 则 1 0 ( )( ( ) )( ( )f x f x 为 ，- ( )- ( )f x为 . 函数单调性问题，可总结为在 或或 是是单单调调递递增增 或或单单调调递递减减 1212 12 (); ()(); ( )(). xxxx f xf x f x 中知二求一. 题 1、求下列函数的单调区间： 2 34|yxx； 2 34| |

11、yxx； 2 01 32 . log ()yxx； 2 1 34 y xx lnyxx； 1 ( )f xx x . 题 2、已知函数( )f x在R上是减函数，比较 2 (1)f aa与 1 ( ) 4 f的大小. 题 3、已知函数( )f x在R上是增函数，且(2)(1)f xfx，求x的取值范围. 已知函数( )f x是定义在1,1上的增函数，且(2)(1)f xfx，求x的取值范围. 已知2( )ln, x f xx解不等式： 2 42()f x. 题 4、已知函数 22 ( )(23)1f xaxaax在3,)单调递增，求a的取值范围. 已知函数 22 ( )(23)1f xaxaa

12、x的单调递增区间是3,)，求a的值. 题 5、已知函数 2 1 2 log (6)yaxx在1,2上单调递增，求a的取值范围. 已知函数2log () a yax在(0,1)上单调递减，求a的取值范围. 题 6、已知函数 2 2,1 ( ) (2 ),1 xax f x xaax 在R上单调递增，求a的取值范围. 已知函数 2 5,1 ( ) ,1 xaxx f x a x x 在R上单调递增，求a的取值范围. 题 7、求函数 22xx yeaea()()最小值. 求函数2 1yxx最大值. 求函数 2 4yxx最大值. 设1a，函数 a yxlog在2aa ,上的最大值与最小值之差为 1 2

13、 ，求a的值. 求函数 2 3 x y x 的最大值和最小值. 求函数13yxx的最大值和最小值. 求函数yxxmaxsin ,cos 的最大值和最小值. 三、函数性质之奇偶性 1、函数的奇偶性 定义：函数( )f x的图像关于y轴对称，称( )f x是偶函数，函数( )f x的图像关于原点对称，称( )f x是奇函数； 反映到解析式上就是，在关于原点对称的区间D上，xD都有()( )fxf x，称( )f x是偶函数；xD都 有()( )fxf x，称( )f x是奇函数；以上两种情况都不成立则称( )f x不具有奇偶性. 题 1、已知函数 2 1( )f xaxbx在514 2,aa上是偶

14、函数，则2_.ab 题 2、R 上奇函数( )f x，则0( )_.f 2、如何判断函数的奇偶性？（1）求函数定义域； （2）判断定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称则该 函数不具有奇偶性，如果定义域关于原点对称，则需要判断、()( )fxf x的关系. 题 3、判断下列函数的奇偶性. xxxf2)( 3 += 2 1( )lg()f xxx 1 )( 23 = x xx xf xxxf+=22)( 22 11)(xxxf+= (1x)(x0) x f x xx 的奇偶性. 3、奇偶性的应用 题型 1.利用定义解题 题 4、已知函数 1 ( ) 21 x f xa= + ，若( )f x

15、为奇函数，则a =_. 题型 2、利用奇偶性求函数值 题 5、已知8)( 35 +=bxaxxxf且10)2(=f，那么=)2(f . 题 6、已知 2 11( )lng xxx且4( )g a，那么()ga= . 题型 3、利用奇偶性比较大小 题 7、已知偶函数)(xf在()0 ,上为减函数，比较)5(f，) 1 (f，)3(f的大小. 题型 4.利用奇偶性求解析式 题 8、已知)(xf为偶函数，01, ( )1,xf xx= 当时求)(xf的解析式. 练习： 1.)(xf是定义在),(+上的偶函数， 且0 x时， 23 )(xxxf+=， 则当0 x时，)(xf= . 2. 函数)(xf是

16、定义在R上的偶函数. 当0(, )x时， 4 ( )f xxx， 则 当0( ,)x时，( )f x= . 3、设)(xf是R上的奇函数，且当)0 ,(x时， 2 1( )f xxx，求)(xf的解析式. 题型 5、利用奇偶性讨论函数的单调性 题 9、若3)3()2()( 2 +=xkxkxf是偶函数，求函数)(xf的单调区间. 题型 6、利用奇偶性求参数的值 题 10、定义在 R 上的偶函数)(xf在)0 ,(是单调递减，若) 123() 12( 22 +aafaaf，求a的范围. 练习、已知奇函数)(xf是定义在)2 , 2(上的减函数，若0) 12() 1(+mfmf，求实数m的取值范围

17、. 题型 7、利用图像解题 题 11、设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当 x0,5时,f(x)的图像如右图,求不等式 30()xf x的解集. 练习：练习：若函数)(xf是定义在R上的偶函数，在0 ,(上是减函数，且20( )f，求0( )f x的解集. 题 12、已知函数( )f x对任意实数, x y恒有()( )( ),f xyf xf y+=+当0,( )0,(1)2.xf xf=时且 （1）判断( )f x单调性； （2）求( )f x在 3,3上的最大值； （3）解关于x的不等式 2 ()2 ( )()4.f axf xf ax+ 四、函数图像 一、函数图像变换 （1） 平

18、移变换 （2） 对称变换、翻折变换 （3） 伸缩变换 题 1、做出下列函数草图 （1） 1 1 1 2 |x y； （2） 2 1|log|yx； （3） 2 1log |yx； （4） 2 4 2 |x y x . 题2、函数y1 1 x1的图像是( ) 题 3、函数 ye |x| 4x 的图像可能是( ) 题 4、函数 y2xx2的图像大致是( ) 题 5、函数 f(x)cosxln(x21x)的图像大致为( ) 题 6、现有四个函数yxsinx，yxcosx，yx|cosx|，yx2x的部分图像如下，但顺序被打乱， 则按照图像从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( ) A B C

19、D 题 7、已知 lgalgb0，函数 f(x)ax与函数 g(x)logbx 的图像不可能是( ) 题 8、( )f x是 R 上的奇函数， 当0 x时 222 1 23 2 ( )|f xxaxaa， 若xR都有1()( )f xf x， 则a范围？ 五、函数性质之对称性和周期性 一、 对称性 1、 函数( )yf x与函数( )yg x图像关于直线xa对称， 则、( )( )f xg x有什么等量关系？函数( )yf x 与函数( )yg x图像关于点( , )P a b对称，则、( )( )f xg x有什么等量关系？ 2、 函数( )yf x图像关于直线xa对称，则( )f x有什么

20、等量关系？函数( )yf x图像关于点( , )a b对称， 则( )f x有什么等量关系？ 题 9、定义在 R 上的函数( )f x满足2( )()f xfx，求函数 2 23|yxx与( )yf x图像所有的m个交点横坐 标之和. 二、 周期性 1、 定义：若( )f x对于定义域里任何x均有非零常数T使()( )f xTf x，则( )f x为周期函数，周期是T. 2、 若( )f x周期为T，则0()kT k也是( )f x的周期，存在一个最小的正周期的话，称这个周期为( )f x的最 小正周期，通常简称为函数( )f x的周期. 注意：周期函数可能没有最小正周期. 3、 若()()f

21、 xaf xb恒成立，则_;若()()f xaf bx恒成立，则_. 4、 若函数( )f x图像有两条对称轴,()xa xb ab，则函数_. 若函数( )f x图像有一条对称轴,xa还有一个对称中心0( , )b， 则函数_. 题 10、已知函数( )f x满足110()()f xfx且1()f x是奇函数，则下列说法正确的有_. ( )f x是奇函数；( )f x是周期函数；10( )f； 1()f x是奇函数 5、 设a是非零常数，若对于( )f x定义域内任意x恒有下式之一成立：- - 1 (1) ()( );(2) (); ( ) f xaf xf xa f x - -； 1 (3) () ( ) f xa f x ; ; ( )1 (4) () ( )1 f x f xa f x ( ) ()( - )( ) ()( - )5 f xaf x a，则( )f x是周期函数，它的一个周期是 . 6、 类周期函数（见下题） 题 11、定义在 R 上的函数( )f x满足22()( )f xf x，当0 2( , x时， 2 2 0 1 1 2 ,( , , ( ) log,( , , xx x f x x x 当 42(,x时， 1 42 ( ) t f x t 有解.（1）求42(,x时( )f x解析式； （2）求t的范围.