高中数列求和之奇偶项的讨论（真题 模拟）.doc

1、题型一：题型一：数列奇数偶数项问题 n n 1 n n 1 1 ) 1(1n n ) 1(1n n 【真题再现】【真题再现】 1、 （2011，山东，文，山东，文 20）等比数列 n a中， 123 ,a a a分别是下表第一、二、三行中的某一 个数，且 123 ,a a a中的任何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足：( 1) ln n nnn baa ，求数列 n b的前2n项和 2n S 解析解析： （I）当 1 3a 时，不合题意； 当 1 2a 时，当且仅当 23 6,18a

2、a时，符合题意； 当 1 10a 时，不合题意。 因此 123 2,6,18,aaa 所以公式 q=3， 故 1 2 3. n n a （II）因为( 1) ln n nnn baa 11 1 1 2 3( 1) (2 3) 2 3( 1) ln2(1)ln3 2 3( 1) (ln2ln3)( 1)ln3, nnn nn nnn n n 所以 2122 212 2(1 33) 1 1 1( 1) (ln2ln3) nn nn Sbbb 2 | 123( 1) 2 ln3 n n 2 2 1 3 2ln3 1 3 3ln3 1. n n n n 2、 （2011，山东山东，理理 20） 等比数

3、列 n a中， 123 ,aaa分别是下表第一、二、三行中的某 一个数，且 123 ,aaa中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足：( 1) ln n nnn baa 求数列 n b的前n项和 n S. 解析解析： （1）当 1 3a 时，不合题意； 当 1 2a 时，当且仅当 23 6 ,18aa时，符合题意； 当 1 10a 时，不合题意； 因此 123 2 ,6 ,18aaa，所以公比3q 故 1 2 3n n a （2）因为 11 1 1 ( 1) ln =2 3+(

4、1) ln 2 3 =2 3+( 1)ln2(1)ln3 =2 3+( 1) (ln2ln3)( 1)ln3 n nnn nnn n n nnn baa n n （） 所以 n-1 2(13+3)1 1 1+( 1)(ln2ln3) 123+( 1)ln3 n n n S n 所以 当n为偶数时， 13 2ln33ln3 1 1322 n n n nn S 当n为奇数时， 131 2(ln2ln3)()ln3 132 1 3ln3ln21 2 n n n n Sn n 综上所述， 3ln3 1 2 1 3ln3ln21 2 n n n n n S n n 为偶数 为奇数 3、 （2014，山东

5、，文，山东，文 19）在等差数列 n a中，已知公差2d， 2 a是 1 a与 4 a的等比中项. （）求数列 n a的通项公式； （II）设 (1) 2 nn n ba ，记 1234 ( 1)n nn Tbbbbb ，求 n T. 解析解析： （）由题意知： n a为等差数列，设dnaan1 1 ， 2 a为 1 a与 4 a的等比中 项 41 2 2 aaa且0 1 a， 即daada3 11 2 1 ，2d解 得 ： 2 1 annan22) 1(2 （）由 （）知：nan2，) 1( 2 )1( nnab nnn 当 n 为偶数时： 2 2 2 2 2 2 6422 2262422

6、11534312 1433221 2 nn n n n n nnn nnTn 当 n 为奇数时： 2 12 1 2 2 1 12 2 116422 121262422 121534312 1433221 2 nn nn n n nnn nnn nnnnn nnTn 综上： 为偶数 为奇数， n nn n nn Tn , 2 2 2 12 2 2 4、 （2014，山东山东，理理 19）已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等 比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn(1)n 14n anan1，求数列b n的前 n 项和 Tn. 解析(1)因为

7、S1a1，S22a121 2 22a12， S44a143 2 24a112， 由题意，得(2a12)2a1(4a112)，解得 a11， 所以 an2n1. (2)bn(1)n 14n anan1(1) n1 4n 2n12n1 (1)n 1( 1 2n1 1 2n1) 当 n 为偶数时， Tn(11 3)( 1 3 1 5)( 1 2n3 1 2n1)( 1 2n1 1 2n1)1 1 2n1 2n 2n1. 当 n 为奇数时， Tn(11 3)( 1 3 1 5)( 1 2n3 1 2n1)( 1 2n1 1 2n1)1 1 2n1 2n2 2n1. 所以 Tn 2n2 2n1，n 为奇

8、数， 2n 2n1，n 为偶数. (或 Tn2n1 1 n1 2n1 ) 【模拟题库】【模拟题库】 1、 （2016 届济宁一模，理届济宁一模，理 19）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 15 2,30aS.数 列 n b的前 n 项和为 n T，且21 n n T . （I）求数列 n a、 n b的通项公式； （II）设 1ln n nnnn ca bS ，求数列 n c的前 n 项和. 解解析析：（）记等差数列an的公差为 d， 依题意，S5=5a1+d=30， 又a1=2， d=2， 数列an的通项公式 an=2n； Tn=2n1， Tn1=2n 11（n2）， 两式相

9、减得：bn=2n 1， 又b1=T1=211=1 满足上式， 数列bn的通项公式 bn=2n 1； （）由（I）可知 anbn=n2n，Sn=2=n（n+1）， cn=（1）n（anbn+lnSn）=n（2）n+（1）nlnn+ln（n+1）， 记数列（1）nanbn的前 n 项和为 An，数列（1）nlnSn的前 n 项和为 Bn， 则 An=1（2）1+2（2）2+3（2）3+n（2）n， 2An=1（2）2+2（2）3+（n1）（2）n+n（2）n+1， 错位相减得：3An=（2）1+（2）2+（2）3+（2）nn（2）n+1 =n（2）n+1 = （2）n+1， An= （2）n+1；

10、 当 n 为偶数时，Bn=（ln1+ln2）+（ln2+ln3）（ln3+ln4）+lnn+ln（n+1） =ln（n+1）ln1 =ln（n+1）， 当 n 为奇数时，Bn=（ln1+ln2）+（ln2+ln3）（ln3+ln4）+lnn+ln（n+1） =ln（n+1）ln1 =ln（n+1）； 综上可知：Bn=（1）nln（n+1）， 数列cn的前 n 项和 An+Bn=（1）nln（n+1） （2）n+1 题型二：题型二：通项公式为通项公式为 an bn，n 为奇数，为奇数， cn，n 为偶数，为偶数， 的数列，可采用分组求和法求和的数列，可采用分组求和法求和 1、 （2016 潍坊一

11、中，理潍坊一中，理 19）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，公比0q ， 2234 22,2SaSa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2 log 2 n n n a n nn b n n a 为奇数 为偶数 ， n T为 n b的前n项和，求 2n T 解解析析： （1）由已知 22 22Sa 34 2Sa -得 342 2aaa即 2 20qq2 分 又02qq 3 分 221221111 22,22222Saaaaaa qa qa 5 分 2n n a6 分 （2）由（1）知 2 2 1log 2 22 22 n nn n n nn n nnn bb nn nn 为

12、奇数为奇数 为偶数为偶数 7 分 所以 21232nn Tbbbb = 1 111111 2 13352121nn 2462 2 24 26 222 n n 21 n n 2462 2 24 26 222 n n 9 分 设 2462 2 24 26 222 n An ， 则 2468222 22 24 26 222222 nn Ann ， 两式相减得 468222 31 2 222222 42 nn An ， 整理得 2 868 99 2 n n A ，11 分 所以 2 2 868 99 221 n n nn T n 12 分 2、 （2015 届滕州实验届滕州实验，理理 19）设等差数列

13、 n a的前n项和为 24 8,40 n SaS，且数列 n b的前n项和为 n T，且 * 230 nn TbnN， （I）求数列 , nn ab的通项公式； （II）设 n n n a n c b n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前n项和 n P 解析解析： （）由题意， 1 1 8 4640 ad ad ，得 1 4, 4 4 n a an d 3 分 230 nn Tb， 1 13nb当时， 11 2230 nn nb 当时，T，两式相减，得 1 2,(2) nn bbn 数列 n b为等比数列， 1 3 2n n b 6 分 （） 1 4 3 2 n n nn c n 为奇数

14、为偶数 当n为偶数时， 13124 ()() nnn Paaabbb 2 12 (444) 6(1 4 ) 2 22 21 4 n n n n n 9 分 当n为奇数时， 132241 ()() nnnn Paaaabbb 1 2 2 1 (44 ) 6(1 4) 2 221 21 4 n n n n nn 11 分 12 2 22, 221 n n n nn P nnn 为偶数 ， 为奇数 12 分 3、已知数列 n a的前n和为 n S，且 2 2 n Snn；数列 n b是公比大于 1 的等比数列， 且满足 14 9bb， 2 3 8b b . （）分别求数列 n a， n b的通项公式

15、； （）若1 n nnnn cSa b ，求数列 n c的前n项和 n T. 【解析【解析】 （）1n 时， 11 3aS 2n 时， 22 1 (2 )(1)2121 nnn aSSnnnnn ， 又因为2 1 13 ，所以21 n an. 设等比数列 n b的公比为q， 由已知 14 23 9 8 bb bb ，即 3 11 2 11 9 8 bbq bq bq ， 解得 1 1 2 b q ，或 1 8 1 2 b q （舍去，因为1q ） 所以， 1 2n n b （） 21 1(2 )(21) 2 n n n cnnn ， 设数列 1 (21) 2nn 的前n项和为 n G，数列 2

16、 1(2 ) n nn的前n项和为 n R. 当n为偶数时， 2 2 38152412(1)(2 ) n Rnnnn (521) (3) 2 59(21) 22 n n n n n 当n为奇数时， 2 1 (1)2(1) nn RRnn 2 (1)(4) (1)2(1) 2 nn nn 2 3 2 nn 0121 3 25 27 221 2 n n Gn 1 则2 n G 121 3 25 2(21) 221 2 nn nn 2 1-2得 0121 3 22(222)21 2 nn n Gn 1 2(1 2) 3221 2 1 2 n n n 11 22 n n 所以121 2n n Gn 所以， 2 3 212 , 2 (3) 1212 ,. 2 n n n nn nn T n n nn 为奇数， 为偶数