2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）.doc

1、2021 年全国统一高考数学试卷（理科） （甲卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设集合 |04Mxx， 1 |5 3 Nxx ，则(MN ) A 1 |0 3 xx B 1 |4 3 xx C | 45xx D |05xx 2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是() A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为6% B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为

2、10% C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3已知 2 (1)32izi，则(z ) A 3 1 2 i B 3 1 2 i C 3 2 iD 3 2 i 4青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和 小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5LlgV已 知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 10 )( 101.259) A1.5B1.2C0.8D0.6 5已知 1 F， 2 F是双曲线C的两个焦点，P

3、为C上一点，且 12 60FPF， 12 | 3|PFPF， 则C的离心率为() A 7 2 B 13 2 C7D13 6在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥 AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是() ABCD 7 等比数列 n a的公比为q， 前n项和为 n S 设甲：0q ， 乙： n S是递增数列， 则() A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8 2020 年 12 月 8 日， 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848

4、.86 （单位：)m， 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A， B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 A ， B ， C 满足45A C B ， 60A B C 由C点测得B点的仰角为15， BB 与 CC 的差为 100；由B点测得A点 的仰角为45，则A，C两点到水平面A B C 的高度差AACC约为()( 31.732) A346B373C446D473 9若(0,) 2 ， cos tan2 2sin ，则tan() A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 10将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不

5、相邻的概率为() A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 11已知A，B，C是半径为 1 的球O的球面上的三个点，且ACBC，1ACBC， 则三棱锥OABC的体积为() A 2 12 B 3 12 C 2 4 D 3 4 12设函数( )f x的定义域为R，(1)f x 为奇函数，(2)f x 为偶函数，当1x，2时， 2 ( )f xaxb若(0)ff（3）6，则 9 ( )( 2 f) A 9 4 B 3 2 C 7 4 D 5 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 21 2 x y x 在点( 1, 3) 处的切线方程为 14已知向量(3,1

6、)a ，(1,0)b ，cakb 若ac ，则k 15 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 164 xy C的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 | |PQF F，则四边形 12 PFQF的面积为 16 已 知 函 数( )2cos()f xx的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件 74 ( ( )()( ( )()0 43 f xff xf 的最小正整数x为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共 6

7、0 分。 17 （12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较 两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计 甲机床15050200 乙机床12080200 合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 18 （12 分）已知数列 n

8、a的各项均为正数，记 n S为 n a的前n项和，从下面中选 取两个作为条件，证明另外一个成立 数列 n a是等差数列；数列 n S是等差数列； 21 3aa 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 19 （12 分）已知直三棱柱 111 ABCA BC中，侧面 11 AA B B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和 1 CC的中点，D为棱 11 AB上的点， 11 BFA B （1）证明：BFDE； （2）当 1 B D为何值时，面 11 BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 20 （12 分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1l x 交C于P，Q两

9、 点，且OPOQ已知点(2,0)M，且M与l相切 （1）求C，M的方程； （2） 设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点， 直线 12 A A， 13 A A均与M相切 判断直线 23 A A与M 的位置关系，并说明理由 21 （12 分）已知0a 且1a ，函数( ) a x x f x a (0)x （1）当2a 时，求( )f x的单调区间； （2）若曲线( )yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求a的取值范围 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直

10、角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为2 2cos （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM ，写出P的轨 迹 1 C的参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23已知函数( ) |2|f xx，( ) |23|21|g xxx （1）画出( )yf x和( )yg x的图像； （2）若()( )f xag x，求a的取值范围 2021 年全国统一高考数学试卷（理科） （甲卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小

11、题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设集合 |04Mxx， 1 |5 3 Nxx ，则(MN ) A 1 |0 3 xx B 1 |4 3 xx C | 45xx D |05xx 【思路分析】直接利用交集运算求解 【解析】 ：集合 |04Mxx， 1 |5 3 Nxx ，则 1 |4 3 MNxx ，故选：B 【归纳总结】本题考查了交集及其运算，是基础题 2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是() A该地农户家庭年收入低于 4

12、.5 万元的农户比率估计为6% B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为10% C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B， D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C 【 解 析 】： 对 于A， 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 低 于 4.5 万 元 的 农 户 比 率 为 (0.020.04) 10.066% ，故选项A正确； 对于B， 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率为(0.040

13、.023) 10.110% ， 故选项B正确； 对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为 3 0.0240.045 0.160.1470.28 0.290.1 100.1 11 0.04120.0213 0.02140.027.686.5 万元，故选项C错误； 对 于D， 家 庭 年 收 入 介 于4.5万 元 至8.5万 元 之 间 的 频 率 为 (0.10.140.20.2) 10.640.5 ， 故估计该地有一半以上的农户， 其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间， 故选项D正确 故选：C 【归纳总结】 本题考查了频率分布直方图的应用， 解题的关键是掌握频率分布直方图中频率

14、 的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题 3已知 2 (1)32izi，则(z ) A 3 1 2 i B 3 1 2 i C 3 2 iD 3 2 i 【思路分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可 【解析】 ：因为 2 (1)32izi， 所以 2 3232(32 )233 1 (1)2( 2 )22 iii ii zi iiii 故选：B 【归纳总结】 本题考查了复数的运算， 主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则 的运用，考查了运算能力，属于基础题 4青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和 小数记录法记录视力数据，五分记

15、录法的数据L和小数记录法的数据V满足5LlgV已 知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 10 )( 101.259) A1.5B1.2C0.8D0.6 【思路分析】把4.9L 代入5LlgV中，直接求解即可 【解析】 ：在5LlgV中，4.9L ，所以4.95lgV，即0.1lgV ， 解得 0.1 0.1 10 111 100.8 101.25910 V ， 所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8故选：C 【归纳总结】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题 5已知 1 F， 2 F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 12 6

16、0FPF， 12 | 3|PFPF， 则C的离心率为() A 7 2 B 13 2 C7D13 【思路分析】 设出 1 | 3PFm， 2 |PFm， 由双曲线的定义可得ma， 再通过 12 60FPF， 由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率 【解析】 ： 1 F， 2 F为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点， 12 | 3|PFPF， 设 1 | 3PFm， 2 |PFm，由双曲线的定义可得 12 | 22PFPFma，即ma， 所以 1 | 3PFa， 2 |PFa，因为 12 60FPF， 12 | 2F Fc， 所以 222 4923cos60caaaa，整理得 22 47ca，

17、所以 7 2 c e a 故选：A 【归纳总结】 本题考查双曲线的简单性质的应用， 考查方程思想、 转化思想与运算求解能力， 属于中档题 6在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥 AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是() ABCD 【思路分析】作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧 视图 【解析】 ：由题意，作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图， 可得AEFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影， 可得相应的侧视图是D图形， 故选：D 【归纳总结】本题考查简单空间图形的三视图，属基础题 7 等

18、比数列 n a的公比为q， 前n项和为 n S 设甲：0q ， 乙： n S是递增数列， 则() A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【思路分析】根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出 【解析】 ：若 1 1a ，1q ，则 1n Snan ，则 n S是递减数列，不满足充分性； 1 (1) 1 n n a Sq q ，则 11 1 (1) 1 n n a Sq q ， 11 11 () 1 nnn nn a SSqqa q q ， 若 n S是递增数列， 11 0 n nn SSa

19、 q 对nN 恒成立， 则 1 0a ，0q ，满足必要性， 故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：B 【归纳总结】本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于中档题 8 2020 年 12 月 8 日， 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 （单位：)m， 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A， B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 A ， B ， C 满足45A C B ， 60A B C 由C点测得B点的仰角为15， BB 与 CC 的差为 100；由B点测得A点 的仰角为45，则A，C两点到水平面A B C

20、的高度差AACC约为()( 31.732) A346B373C446D473 【思路分析】本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找 到高度差 【解析】 ：过C作CHBB于H，过B作BMAA于M， 则15BCH，100BH ，45ABM，CHC B ，A BBMAM ，BBMA ， 75C A B tan45tan30 tantan15tan(4530 )23 1tan45 tan30 BCH ， 231 sin75sin(4530 )() 222 则在Rt BCH中，100(23) tan BH CH BCH ，100(23)C B 在 A B C 中 ， 由 正

21、弦 定 理 知 ，sin100( 31) sin C B A BAC B C A B ， 100( 31)AM， 100( 31)100373AACCAMBH ，故选：B 【归纳总结】理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键 9若(0,) 2 ， cos tan2 2sin ，则tan() A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 【思路分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sin，进一步求得cos，再由 商的关系可得tan的值 【解析】 ：解法一：由 cos tan2 2sin ，得 sin2cos cos22sin ，即 2 2sincoscos 122s

22、insin ， (0,) 2 ，cos0，则 2 2sin(2sin)12sin ，解得 1 sin 4 ， 则 2 15 cos1 4 sin， 1 sin15 4 tan cos1515 4 故选：A 解法二： （邹红云补解）不妨设)0(tanyy，则 2 1 1 cos,sin y y 2 1 2 2tan y y ， 于是：) 1 2(2)1 ( 1 1 2 2 2 y y yy y yy y y 41 1 1 2 2 2 ， 又0y， 15 15 y，即： 15 15 tan 【归纳总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题 10将 4 个 1 和 2

23、个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为() A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 【思路分析】分别计算出 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行的种数以及 2 个 0 不相邻的种数， 然后由古典概型的概率公式求解即可 【解析】 ：解法一：4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，共有 6 6 42 42 15 A A A 种， （另解： 2 6 C15） ， 2 个 0 不相邻，先将 4 个 1 全排列，再用插空法将 2 个 0 放入共有 2 5 10C 种， 故 2 个 0 不相邻的概率为 102 153 故选：C 解法二： （四川代尔宁补解）（相同元素的排列）将

24、4 个 1 和 2 个 0 安排在 6 个位置:只需要选择两 个位置安排 0 即可，共有 2 6 C种排法；将 4 个 1 排列成一列，2 个 0 不相邻共有 5 个位置安排 2 个 0，共有 2 5 C种排法；所以2 个 0 不相邻的概率为 2 5 2 6 2 3 C P C 【归纳总结】本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对于不相邻问题，一 般会运用插空法进行求解，属于基础题 11已知A，B，C是半径为 1 的球O的球面上的三个点，且ACBC，1ACBC， 则三棱锥OABC的体积为() A 2 12 B 3 12 C 2 4 D 3 4 【思路分析】先确定ABC所在的截面圆的

25、圆心 1 O为斜边AB的中点，然后在Rt ABC和 Rt AOO1中，利用勾股定理求出 1 OO，再利用锥体的体积公式求解即可 【解析】 ：因为ACBC，1ACBC， 所以底面ABC为等腰直角三角形， 所以ABC所在的截面圆的圆心 1 O为斜边AB的中点， 所以 1 OO 平面ABC， 在Rt ABC中， 22 2ABACBC，则 1 2 2 AO ， 在 1 Rt AOO中， 22 11 2 2 OOOAAO， 故三棱锥OABC的体积为 1 11122 1 1 332212 ABC VSOO 故选：A 【归纳总结】本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定ABC所在圆的圆 心的位置

26、，考查了逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题 12设函数( )f x的定义域为R，(1)f x 为奇函数，(2)f x 为偶函数，当1x，2时， 2 ( )f xaxb若(0)ff（3）6，则 9 ( )( 2 f) A 9 4 B 3 2 C 7 4 D 5 2 【思路分析】由(1)f x 为奇函数，(2)f x 为偶函数，可求得( )f x的周期为 4，由(1)f x 为奇函数，可得(1)f0，结合(0)(3)ff6，可求得a，b的值，从而得到1x，2时， ( )f x的解析式，再利用周期性可得 913 ( )( )( ) 222 fff ，进一步求出 9 ( ) 2 f的

27、值 【解析】 ：(1)f x 为奇函数，(1)f0，且(1)(1)f xfx ， (2)f x 偶函数，(2)(2)f xfx ， (1)1 (1)1()fxfxfx ，即(2)()f xfx ， (2)(2)()fxf xfx 令tx ，则(2)( )f tf t ， (4)(2)( )f tf tf t ，(4)( )f xf x 当1x，2时， 2 ( )f xaxb (0)( 1 1)fff （2）4ab ， (3)f(12)( 12)(1)fff ab， 又(0)ff（3）6，36a，解得2a ， (1)f0ab，2ba ， 当1x，2时， 2 ( )22f xx ， 91395 (

28、 )( )( )( 22) 22242 fff 故选：D 【归纳总结】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中 档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 21 2 x y x 在点( 1, 3) 处的切线方程为520 xy 【思路分析】先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方 程 【解析】 ：因为 21 2 x y x ，( 1, 3) 在曲线上， 所以 22 2(2)(21)5 (2)(2) xx y xx ，所以 1 |5 x y ， 则曲线 21 2 x y x 在点( 1, 3) 处的切线方程为

29、： ( 3)5( 1)yx ，即520 xy故答案为：520 xy 【归纳总结】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题 14已知向量(3,1)a ，(1,0)b ，cakb 若ac ，则k 10 3 【思路分析】利用向量数量积的运算性质结合向量垂直的坐标表示，列出关于k的方程，求 解即可 【解析】 ：因为向量(3,1)a ，(1,0)b ，cakb， 由ac，则 222 () |31(3 1 1 0)1030aakbaka bkk ， 解得 10 3 k 故答案为： 10 3 【归纳总结】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向 量垂直的坐标表示，

30、考查了运算能力，属于基础题 15 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 164 xy C的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 | |PQF F，则四边形 12 PFQF的面积为8 【思路分析】判断四边形 12 PFQF为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可 【解析】 ：解法一：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 12 | |PQF F， 所以四边形 12 PFQF为矩形，设 1 |PFm， 2 |PFn， 由椭圆的定义可得 12 |28PFPFmna，所以 22 264mmnn， 因为 222222 1212 |44()48PFPFFFcab，即 22 48

31、mn，所以8mn ， 所以四边形 12 PFQF的面积为 12 |8PFPFmn故答案为：8 解法二： （王海雷补解）因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 12 | |PQF F， 所以四边形 12 PFQF为矩形， 1 2 2 22tan24tan8 4 PF F SSb . 【归纳总结】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于 中档题 16 已 知 函 数( )2cos()f xx的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件 74 ( ( )()( ( )()0 43 f xff xf 的最小正整数x为2 【思路分析】观察图像， 313 41

32、23 T ，即周期为，将需要求解的式子进行周期变换， 变换到 3 附近，观察图像可知 3 x ，即最小正整数为 2 【解析】 ：由图像可得 313 4123 T ，即周期为， 74 ( ( )()( ( )()0 43 f xff xf ，T，( ( )()( ( )()0 43 f xff xf ， 观察图像可知当 3 x ，( )() 4 f xf ，( )() 3 f xf ，即2x 时最小且满足题意， 故答案为：2 【归纳总结】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵 活，属于中等题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17

33、21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共 60 分。 17 （12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较 两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计 甲机床15050200 乙机床12080200 合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2

34、()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 【思路分析】 （1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即 可； （2）根据22列联表，求出 2 K，再将 2 K的值与 6.635 比较，即可得出结论； 【解析】 ：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为 200 件， 因为甲的一级品的频数为 150，所以甲的一级品的频率为 1503 2004 ； 因为乙的一级品的频数为 120，所以乙的一级品的频率为 1203 2005 ； （2）根据22列联表，可得 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 400(

35、150 8050 120) 10.2566.635 270 130200200 所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异 【归纳总结】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题 18 （12 分）已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前n项和，从下面中选 取两个作为条件，证明另外一个成立 数列 n a是等差数列；数列 n S是等差数列； 21 3aa 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 【思路分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论 即可 【解析】 ：选择为条件，结论 证明过程如下： 由题意可得： 211

36、 3aada， 1 2da， 数列的前n项和： 2 1111 (1)(1) 2 22 n n nn n Snadnaan a ， 故 1111 (1) nn SSn anaa ， 据此可得数列 n S是等差数列 选择为条件，结论： 设数列 n a的公差为d，则： 11211131111 ,()2,()(2 )3()SaSaadadSaadadad， 数列 n S为等差数列，则： 132 2SSS， 即： 22 111 (3()(2 2)aadad，整理可得： 1 2da， 211 3aada 选择为条件，结论： 由题意可得： 2121 4Saaa， 21 2Sa， 则数列 n S的公差为 21

37、1 dSSa， 通项公式为： 11 (1) n SSndn a， 据此可得，当2n时， 22 1111 (1)(21) nnn aSSn anana ， 当1n 时上式也成立，故数列的通项公式为： 1 (21) n ana， 由 1111 2(1)1(21)2 nn aananaa ，可知数列 n a是等差数列 【归纳总结】本题主要考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式等知识，属于中等题 19 （12 分）已知直三棱柱 111 ABCA BC中，侧面 11 AA B B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和 1 CC的中点，D为棱 11 AB上的点， 11

38、BFA B （1）证明：BFDE； （2）当 1 B D为何值时，面 11 BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 【思路分析】 （1）连接AF，易知1CF ，5BF ，由 11 BFA B，BFAB，再利用勾 股定理求得AF和AC的长，从而证明BABC，然后以B为原点建立空间直角坐标系，证 得0BF DE ，即可； （2）易知平面 11 BBC C的一个法向量为(1m ，0，0)，求得平面DEF的法向量n ，再由 空间向量的数量积可得cosm ， 2 3 127 2() 22 n m ，从而知当 1 2 m 时，得解 【解答】 （1）证明：连接AF， E，F分别为直三棱柱 111 A

39、BCA BC的棱AC和 1 CC的中点，且2ABBC， 1CF，5BF ， 11 BFA B， 11 / /ABAB， BFAB， 2 222 253AFABBF， 2222 312 2ACAFCF， 222 ACABBC，即BABC， 故以B为原点，BA，BC， 1 BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 则(2A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，2，0)，(1E，1，0)，(0F，2，1)， 设 1 B Dm，则(D m，0，2)， (0BF ，2，1)，(1DEm ，1，2)， 0BF DE ，即BFDE 解法二： （邹红云补解）取BC中点M,连接 EMMB,

40、 1 , 先证明四边形 MEDB1 为梯形，再证明 MBBE 1 ,本问题即可解决. （2）解：AB 平面 11 BBC C，平面 11 BBC C的一个法向量为(1m ，0，0)， 由（1）知，(1DEm ，1，2)，( 1EF ，1，1)， 设平面DEF的法向量为(nx ，y，) z，则 0 0 n DE n EF ，即 (1)20 0 m xyz xyz ， 令3x ，则1ym，2zm，(3n ，1m，2)m， cosm ， 222 2 333 | |127 19(1)(2)2214 2() 22 m n n mn mmmm m ， 当 1 2 m 时，面 11 BBC C与面DFE所成

41、的二面角的余弦值最大为 6 3 ，此时正弦值最小为 3 3 【归纳总结】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证 明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力， 属于中档题 20 （12 分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1l x 交C于P，Q两 点，且OPOQ已知点(2,0)M，且M与l相切 （1）求C，M的方程； （2） 设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点， 直线 12 A A， 13 A A均与M相切 判断直线 23 A A与M 的位置关系，并说明理由 【思路分析】 （1）由题意结合直线垂直得到关于

42、p的方程，解方程即可确定抛物线方程， 然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程； （2）分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得 直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切 【解析】 ： （1）因为1x 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为： 2 2(0)ypx p， 令1x ，则2yp ， 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故(1, 2 ),(1,2 )Pp Qp， 因为OPOQ，故 1 12(2 )0 2 ppp ， 抛物线C的方程为： 2 yx， 因为M与l相切，故其半径为

43、1，故 22 :(2)1Mxy （2）设 11 (A x， 1) y， 22 (A x， 2) y， 33 (A x， 3) y 当 1 A， 2 A， 3 A其中某一个为坐标原点时（假设 1 A为坐标原点时） ， 设直线 12 A A方程为0kxy，根据点(2,0)M到直线距离为 1 可得 2 2 1 1 k k ，解得 3 3 k ， 联立直线 12 A A与抛物线方程可得3x ， 此时直线 23 A A与M的位置关系为相切， 当 1 A， 2 A， 3 A都不是坐标原点时， 即 123 xxx， 直线 12 A A的方程为 1212 ()0 xyyyy y， 此时有， 12 2 12 |

44、2| 1 1() y y yy ，即 222 12121 (1)230yyy yy， 同理，由对称性可得， 222 13131 (1)230yyy yy， 所以 2 y， 3 y是方程 222 111 (1)230yty ty的两根， 依题意有，直线 23 A A的方程为 2323 ()0 xyyyy y， 令M到直线 23 A A的距离为d，则有 2 2 1 22 2231 2 2 1 23 2 1 3 (2) (2)1 1 2 1() 1() 1 y y yy d y yy y ， 此时直线 23 A A与M的位置关系也为相切， 综上，直线 23 A A与M相切 【归纳总结】本题主要考查抛

45、物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直 线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题 21 （12 分）已知0a 且1a ，函数( ) a x x f x a (0)x （1）当2a 时，求( )f x的单调区间； （2）若曲线( )yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求a的取值范围 【思路分析】 （1）求出2a 时( )f x的解析式，求导，利用导数与单调性的关系即可求解； （2）将已知转化为( )1f x 在(0,)有两个不等实根，变形可得 lnxlna xa ，令( ) lnx g x x ， 利用导数求出( )g x的单调性及( )g x的大致图象，即可求

46、解a的取值范围 【解析】 ： （1）2a 时， 2 ( ) 2x x f x ， 2 2 2 2() 2222(22) 2 ( ) (2 )22 xx xxx lnxx xlnxxxln ln fx ， 当 2 (0,) 2 x ln 时，( )0fx，当 2 ( 2 x ln ，)时，( )0fx， 故( )f x在 2 (0,) 2ln 上单调递增，在 2 ( 2ln ，)上单调递减 （2）解法一：由题知( )1f x 在(0,)有两个不等实根， ( )1 ax lnxlna f xxaalnxxlna xa ， 令( ) lnx g x x ， 2 1 ( ) lnx g x x ，(

47、)g x在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减， 又 0 lim ( ) x g x ， 1 (e) e g，(1)0g，lim( )0 x g x ， 作出( )g x的大致图象，如图所示： 由图象可得 1 0 e lna a ，解得1a 且ea ， 即a的取值范围是(1，e)(e，) 解法二： （王海雷补解）令( )( )1(0)g xf xx， 1( ln ) ( ) a x xaxa g x a 1）01a时， ，( )g x至多一个零点，故舍去； 2）1a 时，( )0 ln a g xx a ,( )g x在(0,) ln a a 上单调递增，在(,) ln a a 上单调递

48、减. 又 0 lim ( )10 x g x ，lim( )10 x g x ， max ( )()0 ln a g xg a ， 则 1 lnln () lnln a a aa aa aa aa ， 两边取以e为底的对数得 1 ln 1 lnlnlnlnlnln1 lnln a a aaaa aa ， 令lnat，得ln1tt，即1lntt . 又1lntt （证明略）当且仅当1t 取等号， 故式的解为1t ，即ln1a . a的取值范围是(1，e)(e，) 【归纳总结】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属 于中档题 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 2

49、2、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为2 2cos （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM ，写出P的轨 迹 1 C的参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点 【思路分析】 （1）把极坐标方程化为 2 2 2 cos，写出直角坐标方程即可； （2）设点P的直角坐标为( , )x y， 1 (M x， 1) y，利用2APAM 求出点M的坐标，代入

50、C 的方程化简得出点P的轨迹方程， 再化为参数方程， 计算 1 |CC的值即可判断C与 1 C是否有 公共点 【解析】 ： （1）由极坐标方程为2 2cos，得 2 2 2 cos， 化为直角坐标方程是 22 2 2xyx， 即 22 (2)2xy，表示圆心为( 2C，0)，半径为2的圆 （2）设点P的直角坐标为( , )x y， 1 (M x， 1) y，因为(1,0)A， 所以(1, )APxy ， 1 (1AMx ， 1) y， 由2APAM ， 即 1 1 12(1) 2 xx yy ， 解得 1 1 2 (1)1 2 2 2 xx yx ， 所以 2 (1)1 2 Mx ， 2 )