1、第七章第七章复复数数 考试时间 120 分钟，满分 150 分. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1(2020全国卷理)复数 1 13i的虚部是( D) A 3 10 B 1 10 C 1 10 D 3 10 解析因为 z 1 13i 13i 13i13i 1 10 3 10i， 所以复数 z 1 13i的虚部为 3 10. 故选 D 2已知复数 z 满足(2i)z12i(其中 i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z ( A) AiBi C45i 5 D45i 5 解析z12i 2i i，则 z i.
2、3已知复数 zi，则| 1i z |( C) A1iB1i C 2D1 解析已知复数 zi，则1i z 1i i 1i|1i| 2. 4若复数 z 满足(1i)z| 3i|，则在复平面内，z 对应的点位于(D) A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析由题可知 z| 3i| 1i 2 1i 21i 1i1i 21i 1i2 1i，所以 z 对应的点为(1， 1)，位于第四象限. 5已知关于 x 的方程 x2(m2i)x24i0(mR)有实数根 n，且 zmni，则复数 z 等于(B) A32iB32i C3iD3i 解析由题意知 n2(m2i)n24i0 即 n2mn20， 2n40，
3、 解得 m3， n2. 所以 z32i. 6若复数 z1，z2满足 z1 z 2，则 z1，z2在复数平面上对应的点 Z1，Z2(A) A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称 C关于原点对称D关于直线 yx 对称 解析复数 z1，z2满足 z1 z 2，可得 z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故 z1，z2 在复数平面上对应的点关于 x 轴对称. 7已知 aR，i 是虚数单位，若 za 3i，z z 4，则 a( A) A1 或1B 7或 7 C 3D 3 解析由题意，复数 za 3i，则 z a 3i， 所以 z z (a 3i)(a 3i)a234， 所以 a21， 即 a1 或 a1
4、8欧拉公式 eicos isin (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧 拉发明的，ei10 是英国科学期刊物理世界评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧 拉公式可知，复数 e 3 i的虚部为( B) A 3 2 B 3 2 C 3 2 iD 3 2 i 解析根据欧拉公式 eicos isin ，可得 e 3 icos 3isin 3 1 2 3 2 i， 所以 e 3 i的虚部为3 2 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分
5、) 9若(3 2 ，2)，则复数 cosisin在复平面内对应的点不可能在(ABC) A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析(3 2 ，2)，cos0，sin0， a11 18(本小题满分 12 分)计算： (1)13i 2212i 3i . (2) 1i 1i2 1i 1i2. 解析(1)13i 2212i 3i 86i24i 3i 102i 3i 102i3i 3i3i 324i 10 16 5 2 5i. (2) 1i 1i2 1i 1i2 1i 2i 1i 2i 2i 2i 1 19(本小题满分 12 分)已知 i 为虚数单位，复数 z3bi(bR)，且(13i)z 为纯虚数
6、. (1)求复数 z 及 z . (2)若 z 2i，求复数的模. 解析(1)由题可得(13i)z(13i)(3bi) (33b)(9b)i， 因为(13i)z 为纯虚数，所以 33b0 且 9b0，解得 b1， 所以 z3i， z 3i. (2)由(1)可得 z 2i 3i 2i 3i2i 2i2i 7i 5 7 5 1 5i， 所以| 7 5 1 5i| 7 5 2 1 5 2 2. 20(本小题满分 12 分)已知复数 z(2i)(i3)42i. (1)求复数 z 的共轭复数 z 及|z|. (2)若复数 z1z(a22a)ai(aR)是纯虚数，求实数 a 的值. 解析(1)复数 z(2
7、i)(i3)42i. z2ii263i42i33i z 33i， |z| 32323 2. (2)因为复数 z1z(a22a)ai(a22a3)(a3)i 是纯虚数， 所以 a22a30， a30， 解得 a1 所以实数 a1 21 (本小题满分 12 分)已知复数 w 满足 w4(32w)i(i 为虚数单位)， z5 w|w 2|. (1)求 z. (2)若(1)中的 z 是关于 x 的方程 x2pxq0 的一个根，求实数 p，q 的值及方程的另一 个根. 解析(1)因为 w4(32w)i，所以 w(12i)43i， 所以 w43i 12i 43i12i 12i12i2i， 所以 z 5 2
8、i|i| 52i 2i2i13i. (2)因为 z3i 是关于 x 的方程 x2pxq0 的一个根，所以(3i)2p(3i)q0， (83pq)(6p)i0， 因为 p，q 为实数，所以 83pq0， 6p0， 解得 p6，q10 解方程 x26x100，得 x3i. 所以实数 p6，q10，方程的另一个根为 x3i. 22(本小题满分 12 分)若复数 z 满足|z 3i|1，求 (1)|z|的最大值和最小值； (2)|z1|2|z1|2的最大值和最小值. 解析(1)满足条件|z 3i|1 的复数 z 的几何意义为圆心为( 3，1)，半径为 1 的圆及其内部， |z|则表示圆面上一点到原点的距离， 易求得圆心到原点的距离为 3212 2，所以|z|max3，|z|min1 (2)|z1|2|z1|22|z|22， |z1|2|z1|2最大值为 20，最小值为 4
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