1、第二课时第二课时 (平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质) 一、一、知识回顾知识回顾 1.1.二面角二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. .这这 条直线叫做二面角的条直线叫做二面角的棱棱, ,这两个半平面叫做二面角的这两个半平面叫做二面角的面面. . 在二面角在二面角- -l-的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为垂足，在半平为垂足，在半平 面面和和内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l的射线的射线OA A和和OB B, ,则射线则射线OA A和和OB B构成构成 的的AAOB B叫做叫做二面角的平面角二面角的平面
2、角. . 2.2.二面角的平面角二面角的平面角 3.3.平面与平面垂直的判定方法平面与平面垂直的判定方法 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. . ( (线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直) ) 定义：定义：二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. . 定理：定理： l，l l 符号表示：符号表示： l 二、二、探究新知探究新知 下面我们研究平面与平面垂直的性质下面我们研究平面与平面垂直的性质, ,也就是在两个平面互相也就是在两个平面互相 垂直的条件下，能推出哪些结论垂直的条件下，能推出哪些结论. .
3、 其次，根据已有研究经验其次，根据已有研究经验, ,我们可以我们可以 先研究其中一个平面内的直线与另一个先研究其中一个平面内的直线与另一个 平面具有什么位置关系平面具有什么位置关系. . 挂钟所在墙面挂钟所在墙面地面地面, , =a=a， 则则内的长指针所在直线内的长指针所在直线b b与与a a有什么位有什么位 置关系置关系? ?此时，此时，b b与与有什么位置关系有什么位置关系? ? a a 首先，根据定义有：首先，根据定义有： 如果两个平面互相垂直如果两个平面互相垂直, ,那么其二面角是直角那么其二面角是直角. . O A A B B ，OA Al，OB BlOA AOB B (1)b(1
4、)baa，(2)b(2)b与与a a相交，相交， 此时，此时，b b. . 此时此时b b与与相交相交. . b b与与a a斜交，斜交，b baa， 此时此时b b与与斜交斜交. .此时此时b b. . a a a a a a b b 三、三、平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面 的交线，那么这条直线与另一个平面垂直的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. . 平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理: : ( (面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直) ) 你能证明这个定理吗？你能
5、证明这个定理吗？ b b A b b A 过点过点A A在在内作直线内作直线cca a，证明：证明：由由得得bc.bc.又又baba， bb. . ，baba，b b b b 这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题. .例如，装修房例如，装修房 子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线, ,只需在墙面上画出地面只需在墙面上画出地面 与墙面的交线的垂线即可与墙面的交线的垂线即可. . c c 三、三、平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 设平面设平面平面平面，点，点P P在平面在平面内，过点内，过点P P作平面作平面的
6、垂线的垂线a,a, 直线直线a a与平面与平面具有什么位置关系具有什么位置关系? ? c c P P b b a a c c P P b b a a 如右图，过点如右图，过点P P在在内作直线内作直线 bcbc，则，则b.b.因为过一点有且因为过一点有且 只有一条直线与只有一条直线与垂直，所以直垂直，所以直 线线a a与直线与直线b b重合，因此重合，因此a a . . a a 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直 线与另一个平面的特殊位置关系线与另一个平面的特殊位置关系. .如果直线不在两个平面内，或者如果直线不在两个平面内
7、，或者 把直线换成平面，你又能得到哪些结论把直线换成平面，你又能得到哪些结论? ? 如下图，如下图，. . 两个平面垂直，过一个平面内一点作另一个平面的垂线两个平面垂直，过一个平面内一点作另一个平面的垂线, ,那么那么 这条直线在这个平面内这条直线在这个平面内. . a a 若若a a,a ,a , 则则aa. 若若aa, ,则则a a. 若若, , 则则. 四、四、典型例题典型例题 例例1 1 已知：已知：如右图，如右图，aa，a a . . 求证：求证：aa. . a a 证明：证明：在在内作垂直于内作垂直于与与交线的直线交线的直线b.b. b b ， b b. . 又又aa， abab.
8、 . 又又a a ，b b ， aa. . 四、四、典型例题典型例题 例例2 2 已知：已知：如右图，已知如右图，已知PAPA平面平面ABCABC， 平面平面PABPAB平面平面PBCPBC. . 求证：求证：BCBC平面平面PAB. PAB. 证明：证明： A A B B P P C C D D 过点过点A A作作A AD DPBPB，垂足为，垂足为D D. . 平面平面PABPAB平面平面PBCPBC, ,平面平面PABPAB平面平面PBC=PBPBC=PB AAD D平面平面PBC.PBC. BCBC 平面平面PBCPBC， BCABCAD D. . PAPA平面平面ABCABC，BCB
9、C 平面平面ABCABC， BCBCPAPA. . 又又PAAPAAD D=A=A， BCBC平面平面PAB.PAB. 五、课堂小结五、课堂小结 从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线 与平面垂直与平面垂直; ;由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直; ; 由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直; ;而由平面与平面垂而由平面与平面垂 直的性质可以得到直线与平面垂直直的性质可以得到直线与平面垂直. .这进一步揭示了直线、平面这进一步揭示了直线、平面
10、 之间的位置关系可以相互转化之间的位置关系可以相互转化. . 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平 面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. . 1.1.平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理 ( (面面面面垂直垂直线面线面垂直垂直) ) ，baba，b b b b a a b b 2.2.空间中直线、平面垂直的转化空间中直线、平面垂直的转化 直线与直线垂直直线与直线垂直直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直 判定判定 性质性质 判定判定 定义定义 六、巩固提升六、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第161161页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第162162页页习题习题8.68.6第第9 9、1010、1717题题
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