第24期：函数压轴之恒成立问题-参变分离法.pdf

1、1 函数压轴之恒成立问题-参变分离法 【知识梳理】 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为 参数） ，可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含 有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关 于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点 原则： （1） 已知不等式中两个字母是否便于进行分离， 如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的， 则参变分

2、离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密” ，会出现无法分离的情 形，此时要考虑其他方法。例如： 2 1logaxx， 1 1 1 ax x e x 等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值） ，若解析式过 于复杂而无法求出最值（或临界值） ，则也无法用参变分离法解决问题。 （可参见”恒成立问 题最值分析法“中的相关题目） 2 4、参变分离后会出现的情况及处理方法： （假设x为自变量，其范围设为D， f x为函 数；a为参数， g a为其表达式） （1）若 f x的值域为,m M ,xD g af x ，则只需要 ming af xm ,xD g x

3、f x ，则只需要 ming af xm ,xD g af x ，则只需要 max=g af xM ,xD g af x ，则只需要 max=g af xM ,xD g af x ，则只需要 maxg af xM ,xD g af x ，则只需要 maxg af xM ,xD g af x ，则只需要 ming af xm ,xD g af x ，则只需要 ming af xm （2）若 f x的值域为,m M ,xD g af x ，则只需要 g am ,xD g af x ，则只需要 g am（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g aM ,xD g af

4、x ，则只需要 g aM（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g aM（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g aM ,xD g af x ，则只需要 g am（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g am 3 5.多变量恒成立问题： 对于含两个以上字母（通常为 3 个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为 变量） ，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 （1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以 解出最值（同时消去一元） ，进而多变量恒成立问

5、题就转化为传统的恒成立问题了。 （2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按 所需求得双变量表达式的最值即可。高中资料分享 QQ 群：608396916 【典例 1】已知函数 ln a f xx x ，若 2 f xx在1,上恒成立，则a的取值范围是 _ 【答案】1a 思路：恒成立的不等式为 2 ln a xx x ，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 【解析】 233 lnlnln a xxxxaxaxxx x ，其中1,x 只需要 3 max lnaxxx，令 3 lng xxxx高中资料分享 QQ 群：608396916 2 ( )1ln3g xx

6、x （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x变为 1 x ， 所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定 gx的符号，不妨先验边界值） 12g ， 2 116 60 x gxx xx ， （判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简 化判断的过程） gx在1,单调递减， 10( )gxgg x在1,单调递减 11g xg 1a 高中资料分享 QQ 群：608396916 4 【思路点拨】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判 断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关 键点（边界点，零点）等确定符号。 【典例 2

7、】 已知函数 lnfxxxx,若kZ,且 1 fx k x 对任意1x 恒成立,则k的最 大值为_. 【解析】 ： 恒成立不等式 ln 11 fxxxx k xx ， min ln 1 xxx k x ， 令 ln 1 xxx g x x ， 则 2 ln2 1 xx gx x ，考虑分子 ln2h xxx， 11 10 x hx xx h x在 1,单调递增。尽管不能够确定零点，但可以通过零点存在性定理大致的确定零点所在的 位置。 31ln30,42ln20hh 3,4b ，使得 0h b 。 1,00 xbh xgx ，同理，,xb时， 0gx ，所以 g x在1,b 单调递减，在, b

8、单调递增。 min ln 1 bbb g xg b b ，因为 0h b 即 ln20ln2bbbb， 2 3,4 1 bb b g bb b kb max 3k 5 【审题指导】【审题指导】 （1）本题的一个重要技巧在于对 h x零点的“设而不求” ，在求得 h x单调增的前提下， 判断 h x的符号零点必不可少，但方程ln20 xx无法求出解。那么卡在这一步是否要 放弃重来？不然。可暂用一个变量来表示零点，再用特殊点的函数值将零点控制在一个小的 范围内。在本题中这种方法带来方法上的两个突破：第一，能够判断 h x的符号进而得到 gx的符号，确定了 g x的单调性，找到最小值。第二，尽管b不

9、可求，但是本身自带一 个方程ln20ln2bbbb，从而达到了一个对数与一次函数的转换。对后面的化 简有极大帮助高中资料分享 QQ 群：608396916 （2）若所求变量在整数集中取值，则求变量的值时不仅可利用等量关系，也可考虑求关于该 变量的不等关系，再由其整数性选取符合条件的整数即可。 【典例 3】已知函数( )lnf xx，( )()h xa x aR. （）函数( )f x的图象与( )h x的图象无公共点，求实数a的取值范围； （）是否存在实数m，使得对任意的 1 ( ,) 2 x，都有函数( ) m yf x x 的图象在 ( ) x e g x x 的图象的下方？若存在，请求出

10、整数m的最大值；若不存在，请说理由. （参考数据：ln20.6931，ln31.0986, 3 1.6487,1.3956ee）. 6 试题解析： （）函数( )f x与( )h x无公共点，等价于方程 ln x a x 在(0,)无解 令 ln ( ) x t x x ，则 2 1 ln ( ), x t x x 令( )0,t x 得xe x 来源:Zxxk.Com (0, ) ee( ,)e ( )t x0 ( )t x增极大值减 因为xe是唯一的极大值点，故 max 1 ( )tt e e ，故要使方程 ln x a x 在(0,)无解， 当且仅当 1 a e ，故实数a的取值范围为

11、1 ( ,) e 且( )x的图象在 1 ( ,1) 2 上连续，存在 0 1 ( ,1) 2 x ，使得 0 ()0 x，即 0 0 1 0 x e x ，则 00 lnxx ， 当 0 1 ( ,) 2 xx时，( )x单调递减；当 0 (,)xx时，( )x单调递增， 则( )x取到最小值 0 000 0 1 ()ln11 x xexx x 0 0 1 21 10 x x ， ( )0r x ，即( )r x在区间 1 ( ,) 2 内单调递增. 11 22 1111 ( )lnln21.99525 2222 mree，存在实数m满足题意，且最大整数m的 值为1.高中资料分享 QQ 群：

12、608396916 7 【思路点拨】命题“对任意的 1 ( ,) 2 x，都有函数( ) m yf x x 的图象在( ) x e g x x 的图 象的下方”等价于不等式“不等式ln x me x xx 对 1 ( ,) 2 x恒成立” ，从而转化为 “ln x mexx对 1 ( ,) 2 x恒 成 立 ” ， 最 终 转 化 为 “ 求 函 数 1 ( )ln ( ,) 2 x xexx x的最小值” 容易出错的地方是误认为函数( ) m yf x x 的最 大值小于或等于函数( ) x e g x x 的最小值，解题时要注意 【典例 4】已知函数 22 11 ln 22 f xxaax

13、x a （1）若函数 fx在2x 处取得极值，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）讨论函数 fx的单调性； （3）设 22 lng xaxx，若 fxg x对1x 恒成立，求实数a的取值范围 【审题指导】【审题指导】 （1）先求导函数( )fx，然后利用由(2)0 f 求得a的值，即为切线斜率，最后利用点 斜式求解； （2）首先求( )0fx的根，然后讨论a的范围，确实导函数的符号，从而求出函数的单 调区间； （3）首先通过分离参数得到一个新的不等式恒成立，然后根据此不等式的结构构造新函 数，通过利用导数研究新函数的单调性求最小值，从而就可顺利求得a的范围 8 【解析】【解析】

14、 （1）由 1 1 a a fxx x ， 20 f ，得1a 或2a （舍去） 经检验， 当1a 时 ， 函 数 f x在2x 处 取 得 极 值 ， 此 时 ， 2 1 2ln 2 f xxxx， 2 1fxx x ， 则 1 1 2 f ， 12 f ， 所以所求的切线方式为 1 21 2 yx ， 整理得4230 xy高中资料分享 QQ 群：608396916 当 1 2 a 时， 1 10 2 aa ， 0fx，此时 f x在0,上单调递增； 当 1 0 2 a时， f x在0,a和1, a上单调递增，在,1aa上单调递减； 当0a 时， f x在0,1 a上单调递减，1, a上单调

15、递增 9 【满分策略】【满分策略】 本题属于难题主要考查利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及不等 式恒成立问题，以及考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、 函数与方程的思想、转化的思想，体现考试大纲对导数研究函数的性质的知识要求与能 力要求不等式恒成立问题常见方法： 分离参数( )af x恒成立（ min ( )af x即可）或( )af x恒成立（ max ( )af x即 可）； 数形结合； 讨论最值 min ( )0f x或 max ( )0f x恒成立； 讨论参数.本题是利用方法求得a的范围在利用分离参数处理不等式恒成立问题中， 常常要根据不等式

16、的结构特征构造一个新函数，然后再通过利用导数研究函数的单调性来求 其最值 【跟踪训练】【跟踪训练】 1. 已知函数 xx f xeae，若 ( ) 2 3fx 恒成立，则实数a的取值范围是_ 【解析】首先转化不等式， ( )xx fxeae，即2 3 x x a e e 恒成立，观察不等式a与 x e 便于分离，考虑利用参变分离法，使, a x分居不等式两侧， 2 2 3 xx aee ，若不等式 恒成立，只需 2 max 2 3 xx aee ，令 2 2 2 333 xxx g xeee （解 析式可看做关于 （解 析式可看做关于 x e的二次函数，故配方求最值）的二次函数，故配方求最值）

17、 max3g x，所以3a 10 2.设函数 2 ( )1f xx，对任意的 2 3 ,4( )(1)4 ( ) 2 x xfm f xf xf m m 恒成 立，则实数m的取值范围是_ 【答案】 33 , 22 m 高中资料分享 QQ 群：608396916 【思路点拨】本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题 所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因 为二次项系数为关于m的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以 在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择 3.设函数 2

18、 ( )2ln(1)f xaxaxx，其中aR. （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 1 ( ) 1 x f xe x 在区间(0,)内恒成立（e为自然对数的底数） ，求实数a的取值 范围. 11 【答案】 （1） 当0a 时，( )f x在( 1,) 内单调递减， 当0a 时，( )f x在 1 ( 1, 1) 2a 上单调递减，在 1 ( 1,) 2a 上单调递增； （2） 1 ,) 2 a. 【解析】 试题分析： （1）先求函数定义域为1x ，求导得 2 2421 ( )(1) (1) x axaxa fxx ex ，对 a分成0a ，0a 两类，讨论函数的单调区间； （2）令

19、11 ( ) 1 x g x xe ，对a分成0a ， 1 0 2 a， 1 2 a 三类， 令( )( )( ),0h xf xg x x利用导数研究其单调区间，可求得 1 ,) 2 a.高中资料分享 QQ 群：608396916 （2）令 11 ( ) 1 x g x xe ，则 1 ( ) (1) x x ex g x ex （易证） 当0a ，0 x 时， 2 ( )(2 )ln(1)0f xa xxx. 故当( )( )f xg x在区间(0,)内恒成立时，必有0a . 12 当 1 0 2 a时， 1 10 2a .由（1）可知函数( )f x在 1 (0, 1) 2a 上单调递减

20、，即 1 (0, 1) 2 x a 时，( )(0)( )f xfg x，不符合题意，舍。 当 1 2 a 时，令( )( )( ),0h xf xg x x，则 2 222 11112 (1)2(1) 1 ( )2222 1(1)(1)1(1) x xa xx h xaxaaxa xxexxx 2 2 (1)2(1) 1 0 (1) xx x 所以( )h x在0 x 时单调递增，所以( )(0)0h xh恒成立，即 ( )( )f xg x恒成立，满足题意。综上， 1 ,) 2 a 高中资料分享 QQ 群：608396916 考点：函数导数与，恒成立问题 【一题多解】【一题多解】 【201

21、7 黄冈高三上学期模拟】已知函数 2 ln 2 a fxxxxxa aR在定义域内有两 个不同的极值点. （1）求实数 a 的取值范围； （2）记两个极值点为 12 ,x x，且 12 xx，已知0，若不等式 1 2 x xe 恒成立，求的 取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】 试题分析：(1)求导，将函数在定义域内有两个不同的极值点转化为其导函数在定义域内有两 个不等实根进行求解，再分离参数，将问题转化为求函数的最值问题；(2)分离参数，将不等 式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数进行求解 试题解析： （）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+），方程f（x）=0 在（0

22、， +）有两个不同根； 即方程lnxax=0 在（0，+）有两个不同根； 【解法一】 13 转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点， 如右图 可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须 0ak 令切点A（x0，lnx0）， 故，又，故，解得，x0=e， 故 ， 故4 分高中资料分享 QQ 群：608396916 又g（x）有且只有一个零点是 1，且在x0 时，g（x），在在x+时，g（x）0， 故g（x）的草图如右图， 可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+）上有两个不同交点， 只须 4 分 【解法三】 令g（x）=lnxax，从而转化为函数

23、g（x）有两个不同零点， 而（x0）， 高中资料分享 QQ 群：608396916 若a0，可见g（x）0 在（0，+）上恒成立，所以g（x）在（0，+）单调增， 14 此时g（x）不可能有两个不同零点 若a0，在时，g（x）0，在时，g（x）0， 所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而 =， 又因为在x0 时，g（x），在在x+时，g（x）， 于是只须：g（x）极大0，即，所以 综上所述， 4 分 （）因为等价于 1+lnx1+lnx2 由（）可知x1，x2分别是方程lnxax=0 的两个根， 即lnx1=ax1，lnx2=ax2 所以原式等价于 1+ax1+ax2=a（x1+x2），因为

24、0，0 x1x2， 所以原式等价于 又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，即 所以原式等价于， 因为 0 x1x2，原式恒成立，即恒成立 令，t（0，1）， 则不等式在t（0，1）上恒成立 令， 又=， 当 21 时，可见 t（0，1）时，h（t）0， 15 所以h（t）在t（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）0 在t（0，1）恒成立，符 合题意 高中资料分享 QQ 群：608396916 当 21 时，可见 t（0， 2）时，h（t）0，t（2，1）时 h（t）0， 所以h（t）在t（0， 2）时单调增，在 t（ 2，1）时单调减，又 h（1）=0， 所以h（t）在t（0，1）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去 综上所述，若不等式恒成立，只须 21，又0，所以1 考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式中的应用