（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册3.2.3 函数周期性与对称性讲义（学生版+教师版）.zip

1、函数周期性与对称性函数周期性与对称性 考点一：函数的周期性考点一：函数的周期性 1.周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0). (2)若 f(xa)，则 T2a(a0). 1 f（x） (3)若 f(xa)，则 T2a(a

2、0). 1 f（x） (4).若，则 T4a(a0).f xa f x f x () ( ) ( ) 1 1 证明： ，f xafxaa f xa f xa ()() () () 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f x f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f xafxaa f xa f x f x()() () ( ) ( ) 422 1 2 1 1 考点二：函数的对称性考点二：函数的对称性 （1）若，则关于对称( )()f xf ax( )f x 2 a x （2）若，则关于对称()()f axf ax( )f xxa （3）若，则关于对称()(

3、)f axf bx( )f x 2 ab x （4）.函数的图像和函数的图像关于（y 轴）对称.)(xfy )( xfy0 x （5）.函数的图像和函数(1)yfx的图像关于对称.0 x （6）.函数的图像和函数(1)yfx的图像关于对称.) 1( xfy1x 4. 两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。f x( )xaxbf x( )|22ba 证明：。 f xfax f xfbx faxfbxf xf xba ( )() ( )() ()()( )() 2 2 2222 ， 5. 一线一点对称型 ： 函数关于直线及点对称，则的周期为。f x( )xa( ,0)bf x( )|44ba

4、 证明：， f xfax fbxf x faxfbxf xbaf x ( )() ()( ) ()()()( ) 2 2 2222 所以f xbafxbabaf xbaf xf x()()()( )( ) 44222222 6. 两点对称型： 函数关于点、对称，则的周期为。f x( )( ,0)a( ,0)bf x( )|22ba 证明：。 faxf x fbxf x faxfbxf xf xba ()( ) ()( ) ()()( )() 2 2 2222 注意：设注意：设，任意，任意都有都有，且，且有有个实根个实根，)(xfy Rx)2()(xafxf0)(xfk)2( k 则所有实根之和

5、为则所有实根之和为.ka 1.若函数是定义在上周期为的奇函数，则.)(xfRT0)0() 2 ()(f T fTf 证明： 由函数的周期为可得：，T) 2 () 2 () 2 ( T fT T f T f 因为函数为奇函数，)(xf) 2 () 2 ( T f T f ，) 2 () 2 ( T f T f0) 2 () 2 ( T f T f0) 2 ( T f 2.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则( )f xR( )yf x 1 2 x 0 . (1)(2)(3)(4)(5)fffff 3.设函数在定义域上总有，且当时，.)(xfR)2()(xfxf11x2)( 2 xxf

6、则当时，求函数的解析式；53 x)(xf 3.，)2()(xfxf)4()2(xfxf ，)2()4(xfxf)4()(xfxf)4()(xfxf4T 当时， ，时， ，53 x141x11x2)( 2 xxf ， 当时， .2)4()4()( 2 xxfxf53 x2)4()( 2 xxf 4.设函数是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，)(xfRx)()2(xfxf 当 时，. 2 , 0 x 2 2)(xxxf （1）.求证：函数恒有成立；)(xf)()4(xfxf （2）.当时，求的解析式4 , 2x)(xf （3）.计算 .)2019()2() 1 ()0(ffff 4.（1）.，

7、 ，)()2(xfxf)()2()4(xfxfxf 恒有 成立。)(xf)()4(xfxf （2）.当时，由已知得：，0 , 2x2 , 0 x 22 2)()(2)(xxxxxf 又是定义在上的奇函数，)(xfR 2 2)()(xxxfxfxxxf2)( 2 当时，4 , 2x0 , 24x)4(2)4()4( 2 xxxf ， .)()4(xfxf86)4(2)4()4()( 22 xxxxxfxf 所以当时， .4 , 2x86)( 2 xxxf （3）. ， 0)0(f0)2(f1) 1 (f1)3(f)()4(xfxf )7()6()5()4()3()2() 1 ()0(ffffff

8、ff 0)2019()2018()2017()2016(ffff 0)2019()2() 1 ()0( ffff 5. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函( )yf xR2x 2, 2x 数，则时， . 2 ( )1f xx 6,2x ( )f x 2 ( )(4)1f xx 6.在上定义的函数是偶函数，且，R( )f x( )(2)f xfx 若在区间上是减函数，则（ B ）( )f x2, 1( )f x A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数1,24,3 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数1,24,3 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数1,24,3

9、D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数1,24,3 7. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ B ）R( )f x(2)( )f xf x (6)f A. B. C. D. 1012 8. 已知偶函数满足，且当时，( )yf x(1)(1)f xf x 1, 0 x 4 ( )3 9 x f x 则的值等于（ D ） 1 3 (log 5)f A. B. C. D. 1 50 29 45 101 1 9. 设为上的奇函数，且，若，( )f xR()(3)0fxf x( 1)1f ，则的取值范围是 或 . (2)log 2 a fa1a 1 0 2 a 10. 函数对于任意实数满足条件，若，

10、则等于（ D ( )f xx 1 (2) ( ) f x f x (1)5f (5)ff ） A. B. C. D. 55 5 1 5 1 11 函数满足是偶函数，又，为奇函数，则( ) ()yf xxR( )f x(0)2003f( )(1)g xf x 2003 . (2004)f 12已知定义在 R 上的奇函数满足，( )f x 1 (1) ( ) f x f x 当时，则=_. 1 0 2 x x xf4)( ) 4 11 (f 2 2 13. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：R( )yf x 对于任意的，都有；xR(4)( )f xf x 对于任意的，都有； 12 02xx 12

11、 ()()f xf x 函数的图象关于轴对称。(2)yf xy 则下列结论正确的是（ A ） A. B. (6.5)(5)(15.5)fff(5)(6.5)(15.5)fff C. D. (5)(15.5)(6.5)fff(15.5)(5)(6.5)fff 14定义在上的偶函数满足，且在),( )f x(1)( )f xf x 0, 1 上是增函数，下面是关于的判断：( )f x 是周期函数；( )f x 的图象关于直线对称；( )f x1x 在上是增函数；( )f x1,0 (2)(0).ff 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上） 。 15定义在R上的函数，对任意都有，当 时，则(

12、 )f xxR)()3(xfxf)0 , 3(x x xf3)( _.)2014(f 9 1 16已知是以 2 为周期的函数，且当时，则 4 . xf 3 , 1x xxf x 2 log4 1f 17定义在上的函数满足，R( )yf x 1 (0)0,( )(1)1,( )( ) 52 x ff xfxff x 且当时，则_. 12 01xx 12 ()()f xf x 1 () 2013 f 32 1 18设函数( )f x是周期为 5 的奇函数 ，当02x时，( )23 x f x ，则(2013)f= -1 . 19已知是定义在R上的奇函数，且，( )f x(4)( )f xf x 当

13、时，则 -3 .(0,2)x( )2f xx(7)f 20设函数 f(x)|x2|xa|的图像关于直线 x2 对称，则 a 的值为 6 . 函数周期性与对称性函数周期性与对称性 考点一：函数的周期性考点一：函数的周期性 1.周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)

14、若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0). (2)若 f(xa)，则 T2a(a0). 1 f（x） (3)若 f(xa)，则 T2a(a0). 1 f（x） (4).若，则 T4a(a0).f xa f x f x () ( ) ( ) 1 1 证明： ，f xafxaa f xa f xa ()() () () 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f x f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f xafxaa f xa f x f x()() () ( ) ( ) 422 1 2 1 1 考点二：函数的对称性考点二：函数的对称性 （1）若，则关于对

15、称( )()f xf ax( )f x 2 a x （2）若，则关于对称()()f axf ax( )f xxa （3）若，则关于对称()()f axf bx( )f x 2 ab x （4）.函数的图像和函数的图像关于（y 轴）对称.)(xfy )( xfy0 x （5）.函数的图像和函数(1)yfx的图像关于对称.0 x （6）.函数的图像和函数(1)yfx的图像关于对称.) 1( xfy1x 4. 两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。f x( )xaxbf x( )|22ba 证明：。 f xfax f xfbx faxfbxf xf xba ( )() ( )() ()()(

16、)() 2 2 2222 ， 5. 一线一点对称型 ： 函数关于直线及点对称，则的周期为。f x( )xa( ,0)bf x( )|44ba 证明：， f xfax fbxf x faxfbxf xbaf x ( )() ()( ) ()()()( ) 2 2 2222 所以f xbafxbabaf xbaf xf x()()()( )( ) 44222222 6. 两点对称型： 函数关于点、对称，则的周期为。f x( )( ,0)a( ,0)bf x( )|22ba 证明：。 faxf x fbxf x faxfbxf xf xba ()( ) ()( ) ()()( )() 2 2 222

17、2 注意：设注意：设，任意，任意都有都有，且，且有有个实根个实根，)(xfy Rx)2()(xafxf0)(xfk)2( k 则所有实根之和为则所有实根之和为.ka 1.若函数是定义在上周期为的奇函数，则.)(xfRT0)0() 2 ()(f T fTf 证明： 由函数的周期为可得：，T) 2 () 2 () 2 ( T fT T f T f 因为函数为奇函数，)(xf) 2 () 2 ( T f T f ，) 2 () 2 ( T f T f0) 2 () 2 ( T f T f0) 2 ( T f 2.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则( )f xR( )yf x 1 2 x

18、. (1)(2)(3)(4)(5)fffff 3.设函数在定义域上总有，且当时，.)(xfR)2()(xfxf11x2)( 2 xxf 则当时，求函数的解析式；53 x)(xf 4.设函数是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，)(xfRx)()2(xfxf 当 时，. 2 , 0 x 2 2)(xxxf （1）.求证：函数恒有成立；)(xf)()4(xfxf （2）.当时，求的解析式4 , 2x)(xf （3）.计算 .)2019()2() 1 ()0(ffff 5. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函( )yf xR2x 2, 2x 数，则时， . 2 ( )1f

19、xx 6,2x ( )f x 6.在上定义的函数是偶函数，且，R( )f x( )(2)f xfx 若在区间上是减函数，则（ ）( )f x2, 1( )f x A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数1,24,3 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数1,24,3 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数1,24,3 D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数1,24,3 7. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）R( )f x(2)( )f xf x (6)f A. B. C. D. 1012 8. 已知偶函数满足，且当时，( )yf x(1)(1)f xf x 1, 0 x 4 (

20、)3 9 x f x 则的值等于（ ） 1 3 (log 5)f A. B. C. D. 1 50 29 45 101 1 9. 设为上的奇函数，且，若，( )f xR()(3)0fxf x( 1)1f ，则的取值范围是 . (2)log 2 a fa 10. 函数对于任意实数满足条件，若，则等于（ ）( )f xx 1 (2) ( ) f x f x (1)5f (5)ff A. B. C. D. 55 5 1 5 1 11 函数满足是偶函数，又，为奇函数，则( ) ()yf xxR( )f x(0)2003f( )(1)g xf x . (2004)f 12已知定义在 R 上的奇函数满足，

21、( )f x 1 (1) ( ) f x f x 当时，则=_. 1 0 2 x x xf4)( ) 4 11 (f 13. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：R( )yf x 对于任意的，都有；xR(4)( )f xf x 对于任意的，都有； 12 02xx 12 ()()f xf x 函数的图象关于轴对称。(2)yf xy 则下列结论正确的是（ ） A. B. (6.5)(5)(15.5)fff(5)(6.5)(15.5)fff C. D. (5)(15.5)(6.5)fff(15.5)(5)(6.5)fff 14定义在上的偶函数满足，且在),( )f x(1)( )f xf x 0,

22、1 上是增函数，下面是关于的判断：( )f x 是周期函数；( )f x 的图象关于直线对称；( )f x1x 在上是增函数；( )f x1,0 (2)(0).ff 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上） 。 15定义在R上的函数，对任意都有，当 时，则( )f xxR)()3(xfxf)0 , 3(x x xf3)( _.)2014(f 16已知是以 2 为周期的函数，且当时，则 . xf 3 , 1x xxf x 2 log4 1f 17定义在上的函数满足，R( )yf x 1 (0)0,( )(1)1,( )( ) 52 x ff xfxff x 且当时，则_. 12 01xx 12 ()()f xf x 1 () 2013 f 18设函数( )f x是周期为 5 的奇函数 ，当02x时，( )23 x f x ，则(2013)f= . 19已知是定义在R上的奇函数，且，( )f x(4)( )f xf x 当时，则 .(0,2)x( )2f xx(7)f 20设函数 f(x)|x2|xa|的图像关于直线 x2 对称，则 a 的值为 .