（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.3 对数及对数运算讲义（学生版+教师版）.zip

1、对数及对数运算对数及对数运算 【要点梳理要点梳理】 要点一、对数概念要点一、对数概念 1.对数的概念对数的概念 如果，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作:logaN=b.其中 a 叫做对数01 b aN aa，且 的底数，N 叫做真数. 要点诠释：要点诠释： 对数式 logaN=b 中各字母的取值范围是：a0 且 a1， N0， bR. 2.对数对数具有下列性质具有下列性质：log0 a N a ，且a1 (1)0 和负数没有对数，即；0N (2)1 的对数为 0，即；log 10 a (3)底的对数等于 1，即.log1 aa 3两种特殊的对数两种特殊的对数 通常将以 10 为底

2、的对数叫做常用对数，.以 e（e 是一个无理数，NNlglog10作作作 ）为底的对数叫做自然对数， .2.7182e logln e NN简记作 4对数式与指数式的关系对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关 系可由下图表示. 由此可见 a，b，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则要点二、对数的运算法则 2.对数的运算性质对数的运算性质 如果，且，那么：0a1a0M0N 1. ；M a( log)NM a logN a log 2. ； N M a logM a logN a log 3.

3、n aM lognM a logM n a 1 log)(Rn 注意：换底公式 4. （，且；，且；） a b b c c a log log log0a1a0c1c0b 利用换底公式推导下面的结论: 5. 6. b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 7. ddcb acba loglogloglog 对数的性质: 8. 9. （，且）Na N a log NaN a log0a1a 【典型例题典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用类型一、指数式与对数式互化及其应用 例 1.将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； 2 log

4、164 1 3 log 273 3 log3x (4)； (5)； (6). 3 5125 1 1 2 2 2 1 9 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列各式中 x 的值： (1) (2) (3)lg1000=x (4) 16 1 log 2 x log 86 x 2 -2lnex 【变式 2】计算：并比较 222 log 4;log 8;log 32 类型二、利用对数恒等式化简求值类型二、利用对数恒等式化简求值 例 2求值： 7 1 log 5 7 举一反三：举一反三： 【变式 1】求的值(a，b，cR+，且不等于 1，N0) logloglog abc bcN a 类型三、积、商

5、、幂的对数类型三、积、商、幂的对数 例 3. 表示下列各式zyx aaa log,log,log用 2 35 3 (1)log;(2)log ();(3)log;(4)log aaaa xyxyx x y zyzz 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值 (1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 1log864log325log2 1025 【变式 2】 （1）已知，则 2510 xy xy xy （2）已知，求 2 log 3,37 b a 12 log 56 类型四、换底公式的运用类型四、换底公式的运用 例 4.求值：(1) ；)2log2)

6、(log3log3(log 9384 (2) ；32log9log 278 (3) . 3 1 log 5 2 9 类型五、对数运算法则的应用类型五、对数运算法则的应用 例 5.（1）计算： 11 0.50 22 229 25 ()9log 32 123log 3 log 4 9 （2） 7 lg142lglg7lg18 3 （3）)36log 4 3 log32(loglog 4 2 122 （4）若，求 x 的值 24 loglog (2)xx 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值： 10 7 lg 2lg ) 2 1 (7 例 6设函数 2 ( )lg() lg a f xax x （

7、1）当 a=0.1，求 f（1000）的值 （2）若 f（10）=10，求 a 的值； 举一反三：举一反三： 【变式 1】若是方程的两个实根，求的值, a b 24 2(lg )lg10 xx lg() (loglog) ab abba 对数及对数运算对数及对数运算 【要点梳理要点梳理】 要点一、对数概念要点一、对数概念 1.对数的概念对数的概念 如果，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作:logaN=b.其中 a 叫做对数01 b aN aa，且 的底数，N 叫做真数. 要点诠释：要点诠释： 对数式 logaN=b 中各字母的取值范围是：a0 且 a1， N0， bR. 2.对数对

8、数具有下列性质具有下列性质：log0 a N a ，且a1 (1)0 和负数没有对数，即；0N (2)1 的对数为 0，即；log 10 a (3)底的对数等于 1，即.log1 aa 3两种特殊的对数两种特殊的对数 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，.以 e（e 是一个无理数，NNlglog10作作作 ）为底的对数叫做自然对数， .2.7182e logln e NN简记作 4对数式与指数式的关系对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关 系可由下图表示. 由此可见 a，b，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

9、 要点二、对数的运算法则要点二、对数的运算法则 2.对数的运算性质对数的运算性质 如果，且，那么：0a1a0M0N 1. ；M a( log)NM a logN a log 2. ； N M a logM a logN a log 3. n aM lognM a logM n a 1 log)(Rn 注意：换底公式 4. （，且；，且；） a b b c c a log log log0a1a0c1c0b 利用换底公式推导下面的结论: 5. 6. b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 7. ddcb acba loglogloglog 对数的性质: 8

10、. 9. （，且）Na N a log NaN a log0a1a 【典型例题典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用类型一、指数式与对数式互化及其应用 例 1.将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； 2 log 164 1 3 log 273 3 log3x (4)； (5)； (6). 3 5125 1 1 2 2 2 1 9 3 【解析】(1)； (2)； (3)； 4 216 3 1 27 3 3 3x (4)； (5)； (6). 5 log 1253 2 1 log1 2 1 3 log 92 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列各式中 x 的值： (1

11、) (2) (3)lg1000=x (4) 16 1 log 2 x log 86 x 2 -2lnex 【解析】(1)； 111 2 () 21 222 1 (16)(4 )44 4 x (2)； 1111 663 6662 8()(8)(2 )22xxx，所以 (3)10 x=1000=103，于是 x=3； (4)由. 222 2 2lnln 4 2 x x exeeex ，得，即所以 【变式 2】计算：并比较 222 log 4;log 8;log 32 【解析】 2 22 log 4log 22; 3 22 log 8log 23; 5 22 log 32log 25 类型二、利用对

12、数恒等式化简求值类型二、利用对数恒等式化简求值 例 2求值： 7 1 log 5 7 【解析】. 77 1 log 5log 5 77 77 535 举一反三：举一反三： 【变式 1】求的值(a，b，cR+，且不等于 1，N0) logloglog abc bcN a 【解析】. log loglogloglogloglogloglog ()() c abcabbcc N bcNbccNN aabcN 类型三、积、商、幂的对数类型三、积、商、幂的对数 例 3. 表示下列各式zyx aaa log,log,log用 2 35 3 (1)log;(2)log ();(3)log;(4)log aa

13、aa xyxyx x y zyzz 【解析】 （1）；loglogloglog aaaa xy xyz z （2）； 3535 log ()loglog3log5log aaaaa x yxyxy （3）； 1 logloglog ()logloglog 2 aaaaaa x xyzxyz yz （4）= 2 3 loga xy z 23 11 log ()log2logloglog 23 aaaaa x yzxyz 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值 (1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 1log864log325log2 1025 【

14、解析】(1) 1log864log325log2 1025 .220184082log35log2 6 2 2 5 (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式 2】 （1）已知，则 2510 xy xy xy （2）已知，求 2 log 3,37 b a 12 log 56 【解析】 （1） ，2510 xy 2 log 10

15、 x 5 log 10y 故答案为：1 11 lg5lg2lg101 xy xyyx （2），又，故 2 log 3a23 a 37 b 7(2 )2 abab 故，又，从而， 3 562 ab 2 123 4242 aa 33 2 22 56212 abab a aa 故 3 2 1212 3 log 56log 12 2 ab a ab a 类型四、换底公式的运用类型四、换底公式的运用 例 4.求值：(1) ；)2log2)(log3log3(log 9384 (2) ；32log9log 278 (3) . 3 1 log 5 2 9 【解析】(1)2log2)(log3log3(log

16、 9384 4 5 2log 2 3 3log 6 5 ) 2 2log 2)(log 3 3log 2 3log () 9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log ( 32 3 3 22 3 3 3 2 2 2 2 (2)；32log9log 278 9 10 3lg3 2lg5 2lg3 3lg2 27lg 32lg 8lg 9lg (3) 3 1 log 5 2 9 33 3 31 log2(log 5) 1 log 25 252 3 333 25 类型五、对数运算法则的应用类型五、对数运算法则的应用 例 5.（1）计算： 11 0.50 22 229 25

17、 ()9log 32 123log 3 log 4 9 （2） 7 lg142lglg7lg18 3 （3）)36log 4 3 log32(loglog 4 2 122 （4）若，求 x 的值 24 loglog (2)xx 【解析】 （1） 1 2 () 2 0.55 2 2 511lg3 2lg2 ( )3log 22 331 322lg2 2lg3 51 56 1 13 33 （2）原式= 2 lg(2 7)2(lg7lg3)lg7lg(32) =lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20 （3）原式=38log)6log 4 3 log5(log)6log 4 3 log5(

18、log 2222 2 22 2 21 （4）， 24 loglog (2)xx lglg(2) lg2lg4 xx lglg(2) lg22lg2 xx ，解得 x=1 或 x=2，x0，x=2 2 2xx 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值： 10 7 lg 2lg ) 2 1 (7 【解析】 10 7 lg 2lg ) 2 1 (7 7 7 log 2 log 10lg7 1 1 7( ) 2 7777 111 log 2log 10log 10log 101 111 (7)( )( )(2)22. 222 例 6设函数 2 ( )lg() lg a f xax x （1）当 a=0.

19、1，求 f（1000）的值 （2）若 f（10）=10，求 a 的值； 【解析】 （1）当 a=0.1 时， 2 1 ( )lg(0.1 ) lg 10 f xx x 7 1 (1000)lg100 lg2 ( 7)14 10 f （2） 2 (10)lg(10 ) lg(1 lg )(lg2)lglg210 100 a faaaaa ， 2 lglg120aa(lg4)(lg3)0aa 或， 或lg4a lg3a 4 10a 3 10a 举一反三：举一反三： 【变式 1】若是方程的两个实根，求的值, a b 24 2(lg )lg10 xx lg() (loglog) ab abba 【解析】原方程可化为，设， 2 2(lg )4lg10 xx lg xt 则原方程化为 2 2410tt 121 2 1 2, 2 ttt t 由已知是原方程的两个根，则，即，, a b 12 lg ,lgta tb 1 lglg2,lglg 2 abab = lglg lg() (loglog)(lglg ) lglg ab ba abbaab ab 22 lglglglg lg lg abba ab = 2 lglg2lg lg lglg lg lg baab ab ab 2 1 22 2 212 1 2 即 lgloglog12 ab abba