（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.4.3 指数函数、对数函数、幂函数综合讲义（学生版+教师版）.zip

1、指数函数、对数函数、幂函数综合指数函数、对数函数、幂函数综合 类型一：指数、对数运算类型一：指数、对数运算 例 1计算 （1）； （2）； 222 71 loglog 12log 42 482 33 lg 2lg 53lg2lg5 （3）； （4） 22 2 lg5lg8lg5lg20lg 2 3 lg0.7 lg20 1 7 2 举一反三：举一反三： 【变式 1】=（ ） 55 2log 10log 0.25 A0 B1 C2 D4 【变式 2】 （1）； （2） 2 (lg2)lg2 lg50lg25 3948 (log 2log 2) (log 3log 3) 类型二：指数函数、对数函数

2、、幂函数的图象与性质类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 例例 2设偶函数满足，则= （ ）( )f x 3 ( )8(0)f xxx|(2)0 x f x A B |24x xx 或|04x xx或 C D |06x xx或|24x xx 或 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数若，则的取值范围是（ ） 1 2 3,0, ( ) log,0, x x f x x x 0 ()3f x 0 x A B或 C D或 0 8x 0 0 x 0 8x 0 08x 0 0 x 0 08x 例 3设函数 若，则实数的取值范围是（ ） 2 1 2 log,0, ( ) log (),0 x

3、 x f x x x ( )()f afaa A B 1,00,1 , 11, C D 1,01, , 10,1 例 4函数的单调递增区间是（ ）)86(log 2 3 1 xxy A （3，+） B （，3） C （4，+） D （，2） 例 5已知函数（a0，a1）在区间1，2上的最大值为 8，最小值为 m( ) x f xa 若函数是单调增函数，则 a=_( )(3 10 )g xmx 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，该函数在区间a，b上的值域为1，2，记满足该条件的实数 a、b |1| ( )2 x f x 所形成的实数对为点 P（a，b） ，则由点 P 构成的点集组成的图形为

4、（ ） A线段 AD B线段 AB C线段 AD 与线段 CD D线段 AB 与 BC 【变式 2】已知函数若互不相等，且， |lg|,010, ( ) 1 6,10. 2 xx f x xx , ,a b c( )( )( )f af bf c 则的取值范围是（ ） abc A （1，10） B （5，6） C （10，12） D （20，24） 类型三：综合问题类型三：综合问题 例 6已知定义域为的函数是奇函数。R 1 2 ( ) 2 x x b f x a （）求的值；, a b （）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围tR0)()2( 22 kttfttfk 举一反三：举一反三： 【

5、变式 1】已知函数， （a0，且 a1） ( )log1log1 aa f xxx （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）设，解不等式 f（x）0 1 2 a 例 7设（其中 a 为实数） ，如果当时恒有成立， 123 ( ) 3 xx a f x (,1x ( )0f x 求实数 a 的取值范围 【巩固练习巩固练习】 1若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（ ) 10(log)(axxf a 2 ,aa3a ） A B C D 4 2 2 2 4 1 2 1 2设函数 f（x） 1,log1 1,2 2 1 xx x x 则满足的的取

6、值范围是（ ）( )2f x x A B C D1,20,21,0, 3函数在上递减，那么在上（ ）( )log1 a f xx(0,1)( )f x(1,) A递增且无最大值 B递减且无最小值 C递增且有最大值 D递减且有最小值 4若函数（a0，a1）为增函数，那么的图象是（ ）( ) x f xa 1 1 ( )log 1 a g x x A B C D 5函数的定义域为（ ） ；)65(log 2 ) 2 1 ( xxy x A B 1 ,23, 2 1 ,11,23, 2 C D 3 ,23, 2 1 33 ,23, 2 22 6已知是0，1上的减函数，则 a 的取值范围为（ ）log

7、 (2) a yax A （0，1） B （1，2） C （0，2） D2，+） 7已知, 判断、之间的大小关系是（ ） 01ab a a a b b a A B C D aab aba aab baa baa aba aba baa 8函数的反函数是（ ） 1 ln(1) (1) 2 x yx A B 21 1(0) x yex 21 1(0) x yex C D 21 1() x yexR 21 1() x yexR 9不等式的解集为 3 1 1 2 2 x x 10已知函数，对任意都有， 2 ( )f xxbxcxR(1)()fxfx 则、 、的大小顺序是 ( 2)f (0)f(2)f

8、11若函数定义域为 R，则 a 的取值范围是_ 2 2 ( )21 xax a f x 12若函数是奇函数，则为 ( )1 1 x m f x a m 13已知，求函数的值域12x 1 ( )32 39 xx f x 14已知函数，其中 x0，3 1 ( )42 26 xx f x （1）求函数 f（x）的最大值和最小值； （2）若实数 a 满足：f（x）a0 恒成立，求 a 的取值范围 15已知函数 2 ( )log (212)f xxxa （1）当 a=4 时，求函数 f（x）的定义域； （2）若对任意的 xR，都有 f（x）2 成立，求实数 a 的取值范围 指数函数、对数函数、幂函数综合

9、指数函数、对数函数、幂函数综合 类型一：指数、对数运算类型一：指数、对数运算 例 1计算 （1）； （2）； 222 71 loglog 12log 42 482 33 lg 2lg 53lg2lg5 （3）； （4） 22 2 lg5lg8lg5lg20lg 2 3 lg0.7 lg20 1 7 2 【解析】 （1）原式=； 1 2 222 7111 log12loglog 2 24 3762 （2）原式= 22 lg2lg5lg 2lg2lg5lg 53lg2lg5 = 2 lg10lg5lg23lg2lg53lg2lg5 =1-+=13lg2lg5 3lg2lg5 （3）原式= 2 2l

10、g52lg2lg5 1 lg2lg 22 lg5lg2lg5lg2(lg2lg5) =2+=3；lg5lg2 （4）令，两边取常用对数得x lg0.7 lg20 1 7 2 = lg0.7 lg20 1 lglg 7 2 x 1 lg2 lg7(lg7 1)( lg2) = =lg7lg2lg7lg2lg7lg2lg14 即=1414,x lg0.7 lg20 1 7 2 举一反三：举一反三： 【变式 1】=（ ） 55 2log 10log 0.25 A0 B1 C2 D4 【答案】C 【解析】= 55 2log 10log 0.25 2 5555 log 10log 0.25log (10

11、0 0.25)log 252 【变式 2】 （1）； （2） 2 (lg2)lg2 lg50lg25 3948 (log 2log 2) (log 3log 3) 【解析】 （1） 原式 22 (lg2)(1 lg5)lg2lg5(lg2lg5 1)lg22lg5 ；(1 1)lg22lg52(lg2lg5)2 （2） 原式 lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3 () ()() () lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2 3lg2 5lg35 2lg3 6lg24 类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 例例

12、2设偶函数满足，则= （ ）( )f x 3 ( )8(0)f xxx|(2)0 x f x A B |24x xx 或|04x xx或 C D |06x xx或|24x xx 或 【解析】且是偶函数 3 ( )8(0)f xxx( )f x ，或 3 3 8,0, ( ) 8,0, xx f x xx 3 20, 280 x x 3 20, 280 x x 或，解得或，故选 B 2, 4, x x 2, 0. x x 4x 0 x 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数若，则的取值范围是（ ） 1 2 3,0, ( ) log,0, x x f x x x 0 ()3f x 0 x A

13、B或 C D或 0 8x 0 0 x 0 8x 0 08x 0 0 x 0 08x 【答案】A 【解析】依题意或即或，所以 0 0 1 0, 33 x x 0 20 0, log3 x x 0 0 0, 11 x x 0 202 0, loglog 8 x x 0 8x 例 3设函数 若，则实数的取值范围是（ ） 2 1 2 log,0, ( ) log (),0 x x f x x x ( )()f afaa A B 1,00,1 , 11, C D 1,01, , 10,1 【答案】C 【解析】一：若，则，得，得，得0a 0a 21 2 loglogaa 22 1 logloga a 1

14、a a 1a 若则，解得0,a 0a 12 2 log ()log ()aa 22 1 log ()log ()a a 1,1a 由可知 1,01,a 例 4函数的单调递增区间是（ ）)86(log 2 3 1 xxy A （3，+） B （，3） C （4，+） D （，2） 【答案】D【解析】函数是减函数，在上单调递增，在 1 3 logyu 2 68uxx,3 上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以3, 2 680 xx4x 2x 原函数的单调递增区间是,2 例 5已知函数（a0，a1）在区间1，2上的最大值为 8，最小值为 m( ) x f xa 若函数是单调增函数，

15、则 a=_( )(3 10 )g xmx 【解析】根据题意，得 310m0，解得； 3 10 m 当 a1 时，函数在区间1，2上单调递增，最大值为，解得，最小( ) x f xa 2 8a 2 2a 值为，不合题意，舍去； 1 123 4102 2 ma 当 1a0 时，函数在区间1，2上单调递减，最大值为，解得，最小( ) x f xa 1 8a 1 8 a 值为，满足题意； 综上， 2 13 6410 ma 1 8 a 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，该函数在区间a，b上的值域为1，2，记满足该条件的实数 a、b |1| ( )2 x f x 所形成的实数对为点 P（a，b） ，

16、则由点 P 构成的点集组成的图形为（ ） A线段 AD B线段 AB C线段 AD 与线段 CD D线段 AB 与 BC 【答案】C 【解析】函数的图象为开口方向朝上，以 x=1 为对称轴的曲线，如图 |1| ( )2 x f x 当 x=1 时，函数取最小值 1，若，则 x=0，或 x=1 |1| 22 x y 而函数 |在闭区间a，b上的值域为1，2， |1| 2 x y 则或， 0 12 a b 01 2 a b 则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为： 【变式 2】已知函数若互不相等，且， |lg|,010, ( ) 1 6,10. 2 xx f x xx , ,a b

17、c( )( )( )f af bf c 则的取值范围是（ ） abc A （1，10） B （5，6） C （10，12） D （20，24） 【答案】C 【解析】由互不相等，结合图象知：这三个数分别在区间（0,1） ， （1,10） ，, ,a b c （10,12）上，不妨设，由得即，(0,1),(1,10),(10,12)abc( )( )f af blglg0,ablg0ab 所以，所以.1ab 10,12abc 类型三：综合问题类型三：综合问题 例 6已知定义域为的函数是奇函数。R 1 2 ( ) 2 x x b f x a （）求的值；, a b （）若对任意的，不等式恒成立，求的

18、取值范围tR0)()2( 22 kttfttfk 【解析】 （）因为是奇函数，所以=0，即( )f x(0)f 1 11 2 01( ) 22 x x b bf x aa 又由 f（1）=f（1）知 1 1 1 2 2 2. 41 a aa （）解法一：由（）知，易知在上 1 1 211 ( ) 22221 x xx f x ( )f x(,) 为减函数。又因是奇函数，从而不等式： ( )f x0)()2( 22 kttfttf 等价于=，因为减函数，由上式推得：)()2( 22 kttfttf)( 2 kttf( )f x 即对一切有：，tR 2 320ttk 从而判别式 1 4 120.

19、3 kk （或: 即对一切有：，又tR 2 32ktt 22 111 323() 333 ttt 1 3 k 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数， （a0，且 a1） ( )log1log1 aa f xxx （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）设，解不等式 f（x）0 1 2 a 【解析】 （1）依题意知，解得 10, 10. x x 11x 函数 f（x）的定义域为| 11xx （2）函数是奇函数( )f x 任取，所以1,1x 1,1x =0( )()log (1)log (1)log (1)log (1) aaaa f xfx

20、xxxx 所以函数是奇函数( )f x （3）因为，所以 1 2 a 1 2 1 ( )log 1 x f x x 由，得 1 2 1 ( )log0 1 x f x x 1 01 1 x x 解得，10 x | 10 xx 例 7设（其中 a 为实数） ，如果当时恒有成立， 123 ( ) 3 xx a f x (,1x ( )0f x 求实数 a 的取值范围 【解析】依题意，在上恒成立1230 xx a 12 33 xx a ,1 则设 12 ( ),1 33 xx xx 只需求的最大值，( )x 任取且， 12 ,1x x 12 xx 1122 12 1212 ()() 3333 xxx

21、x xx = 2121 1122 3333 xxxx 由于是单调递减函数01 x yaa ，即在上是单调递增的， 12 ()()xx( )x,1 max ( )(1)1x 1a 举一反三：举一反三： 【变式 1】设函数 2 22 ( )log(01) 12 b xx f xbb ax 且 （1）求的定义域；( )f x （2）求使在上恒成立的实数的取值范围( )0f x 0,a 【解析】 （1），即 22 22(1)10 xxx 120,ax 21ax 若，则的定义域为；0a ( )f xR 若，则的定义域为；0a ( )f x 1 , 2a 若，则的定义域为0a ( )f x 1 , 2a

22、（2）当时，在的定义域内，等价于，即1b ( )f x( )0f x 2 2212xxax ，于是问题等价于在上恒成立 2 2(1)10 xa x 2 11 2(1) x ax xx 0, 令，则在上递减，在上递增， 1 ( )g xx x ( )g x0,11, ，即 min ( )(1)2,2(1)2g xga0a 另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知( )0f x 0,0,( )f x 0.a 由且可知0a 0a 0a 当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于01b( )f x( )0f x 2 2(1)1a xx 在上恒成立 1 2(1)ax x 0, 显然这样的

23、实数不存在a 综上所求的的取值范围为a0a 【巩固练习巩固练习】 1若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（ ) 10(log)(axxf a 2 ,aa3a ） A B C D 4 2 2 2 4 1 2 1 1 【答案】A 【解析】 1 32 3 112 log3log (2 ),log (2 ),2 ,8, 384 aaa aaaaa aa aa 2设函数 f（x） 1,log1 1,2 2 1 xx x x 则满足的的取值范围是（ ）( )2f x x A B C D1,20,21,0, 2 【答案】D 【解析】不等式等价于或，可得或，即 1 1, 22 x x 2 1, 1 l

24、og2 x x 01x1x 0 x 3函数在上递减，那么在上（ ）( )log1 a f xx(0,1)( )f x(1,) A递增且无最大值 B递减且无最小值 C递增且有最大值 D递减且有最小值 3 【答案】A 【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，1ux(0,1)u1a (1,)u 即递增且无最大值( )f x 4若函数（a0，a1）为增函数，那么的图象是（ C ）( ) x f xa 1 1 ( )log 1 a g x x A B C D 5函数的定义域为（ ） ；)65(log 2 ) 2 1 ( xxy x A B 1 ,23, 2 1 ,11,23, 2 C D 3 ,23

25、, 2 1 33 ,23, 2 22 5 【答案】D xx xx xx 或 且 3 1 2 1 0 2 1 065 2 2 2 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 23 xxx xx xx 或或 且 或 6已知是0，1上的减函数，则 a 的取值范围为（ ）log (2) a yax A （0，1） B （1，2） C （0，2） D2，+） 6 【答案】B【解析】在0，1上是 x 的减函数，f（0）f（1） ，( )log (2) a f xax 即，1a2log 2log (2) aa a 1 20 a a 7已知, 判断、之间的大小关系是（ ） 01ab a a a b b a A B

26、 C D aab aba aab baa baa aba aba baa 7 【答案】B 【解析】因为函数是单调递减的，又，所以01 x yaaab a a b a 因为函数在上是增函数，又，所以(01) a yxa0,ab aa ba 8函数的反函数是（ ） 1 ln(1) (1) 2 x yx A B 21 1(0) x yex 21 1(0) x yex C D 21 1() x yexR 21 1() x yexR 8 【答案】D 【解析】由，解得 1 ln(1) (1) 2 x yx 21ln(1)yx 21 1, y ex 即，故所求反函数为 21 1 y xe 21 1 x ye

27、xR 9不等式的解集为 3 1 1 2 2 x x 9 【答案】 , 30,1 【解析】依题意得，即，解得 3 1 1 22 x x 3 1 1x x 31 0 xx x , 30,1 10已知函数，对任意都有， 2 ( )f xxbxcxR(1)()fxfx 则、 、的大小顺序是 ( 2)f (0)f(2)f 10 【答案】 【解析】因为，所以函数的对称轴( 2)(2)(0)fff(1)()fxfx( )f x 为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以 1 2 x ( 2)(2)(0)fff 11若函数定义域为 R，则 a 的取值范围是_ 2 2 ( )21 xax a f

28、 x 11 【答案】1，0 【解析】函数定义域为 R 2 2 ( )21 xax a f x 恒成立即恒成立,则，解得1a0 2 2 210 xax a 2 20 xaxa 2 (2 )40aa 12若函数是奇函数，则为 ( )1 1 x m f x a m 12 【答案】2 ()( )110 11 xx mm fxf x aa (1) 20,20,2 1 x x ma mm a 13已知，求函数的值域12x 1 ( )32 39 xx f x 13 【答案】 ，令24,12 12 ( )32 39(3 )6 33 xxxx f x 3, x t 则， 22 63(3)12yttt 12,x

29、1 9 3 t 即时，取得最大值 12；当，即时，取得最小值-24，3,t当1x y9t 2x y 即的最大值为 12，最小值为-24，所以函数的值域为( )f x( )f x24,12 14已知函数，其中 x0，3 1 ( )42 26 xx f x （1）求函数 f（x）的最大值和最小值； （2）若实数 a 满足：f（x）a0 恒成立，求 a 的取值范围 14 【解析】 （1）（0 x3） 1 ( )42 26 xx f x （0 x3） ，令，0 x3，1t8 2 ( )(2 )4 26 xx f x 2xt 令（1t8） 22 ( )46(2)10h tttt 当 t1，2时，h（t）

30、是减函数；当 t2，8时，h（t）是增函数 ， min ( )(2)10f xh max ( )(8)26f xh （2）f（x）a0 恒成立，即 af（x）恒成立af（x）min恒成立 由（1）知，a10 min ( )10f x 故 a 的取值范围为（，10 15已知函数 2 ( )log (212)f xxxa （1）当 a=4 时，求函数 f（x）的定义域； （2）若对任意的 xR，都有 f（x）2 成立，求实数 a 的取值范围 15 【答案】 （1） （，1）（1，+） ；（2） 3 (, 2 【解析】 （1）当 a=4 时，要使函数式有意义，则 2x1+x+24，分类讨论如下： 当时，2x1+x+24，解得 x1； 1 2 x 当时，12x+x+24，解得2x1； 1 2 2 x 当 x2 时，12xx24，解得 x2， 综合以上讨论得，x（，1）（1，+） ； （2）f（x）2 恒成立， |2x1|+|x+2|a4 恒成立， 分离参数 a 得，a|2x1|+|x+2|4， 所以，a|2x1|+|x+2|4min， 记 g（x）=|2x1|+|x+2|4， 分析可知，当时， 1 2 x min 3 ( ) 2 g x 所以，实数 a 的取值范围为 3 (, 2