（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.5.1 函数与方程讲义（学生版+教师版）.zip

1、函数与方程函数与方程 【要点梳理要点梳理】 要点一：函数的零点要点一：函数的零点 1.函数的零点函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.( )yf x( )0fa 要点诠释：要点诠释： 函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； 函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；)(xfy x 函数的零点就是方程的实数根)(xfy 0)(xf 归纳：归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点0)(xf)(xfy x)(xfy （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 2 yaxbxc 2 0axbxc 判别

2、式方程的根函数的零点 0两个不相等的实根两个零点 0 两个相等的实根一个二重零点 0 无实根无零点 （3）二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点） ，函数值变号. 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2函数零点的判定函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即( )yf xab， ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使 0f a f b 0 xab， ，这个也就是方程的根. 0 0f x 0 x( )0f x （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程

3、，方程无实根则函数无零点，方程( )0f x ( )0f x 有实根则函数有零点( )0f x （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与( )( )( )F xf xg x( )( )f xg x( )yf x 的图象交点的横坐标( )yg x 要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两实根，则 x1、x2的分布范围与一元二次方 程的系数之间的关系是： 当 x1x2k 时，有； 当 kx1x2时，有； 0 ( )0 2 f k b k a 0 ( )0

4、 2 f k b k a 当 x1kx2时，； 当 x1，x2（k1，k2）时，有；( )0f k 1 2 12 0 ( )0 ()0 2 f k f k b kk a 当 x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 12 ( ) ()0f kf k 要点诠释：要点诠释： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符 号；对称轴与区间的相对位置当 k=0 时，也就是一元二次方程根的零分布 （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零

5、的两 侧 设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两个实根为 x1，x2，且 x1x2 ； ； 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a ； 12 00 c xx a x1=0，x20c=0，且；x10，x2=0c=0，且0 b a 0 b a 要点三：二分法要点三：二分法 1.二分法二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤：用二分法求函数零点的一般步骤

6、： 函数定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个零点 x0的近似值 x，使它满足给定的精确度. yf x 第一步：在 D 内取一个闭区间，使与异号，即，零 00 ,a bD 0 f a 0 f b 00 0f af b 点位于区间中. 00 ,a b 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 00 ,a b . 000000 11 22 xabaab 计算和，并判断： 0 f x 0 f a 如果，则就是的零点，计算终止； 0 0f x 0 x f x 如果，则零点位于区间中，令； 00 0f af x 00 ,a x 1010 ,aa bx 如果，则零点位于区间中，令 00 0f af x

7、 00 ,x b 1010 ,ax bb 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 11 ,a b . 111111 11 22 xabaab 计算和，并判断： 1 f x 1 f a 如果，则就是的零点，计算终止； 1 0f x 1 x f x 如果，则零点位于区间中，令； 11 0f af x 11 ,a x 2121 ,aa bx 如果，则零点位于区间中，令； 11 0f af x 11 ,x b 2121 ,ax bb 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的, nn a b, nn a b n a n b 精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数

8、的近似零点，计算终止.这时函数 yf x 的近似零点满足给定的精确度. yf x 【经典例题经典例题】 类型一、求函数的零点类型一、求函数的零点 例 1. 求下列函数的零点. (1) ； 2 ( )23f xxx (2) ； 4 1f xx (3) 3 ( )4f xxx 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数，当时，函数的( )log(0,1) a f xxxb aa且234ab( )f x 零点,则 * 0 ( ,1),xn nnNn 类型二、函数零点的存在性定理类型二、函数零点的存在性定理 例 2函数的零点所在的大致区间是（ ） 2 ( )lnf xx x A （1，2） B （2，

9、3） C和（3，4） D （e，+） 1 (1, ) e 举一反三：举一反三： 【变式 1】若函数，则下列判断正确的是（ ） 3 ( )31, 1,1f xxxx A方程 f（x）=0 在区间0，1内一定有解 B方程 f（x）=0 在区间0，1内一定无解 C函数 f（x）是奇函数 D函数 f（x）是偶函数 【变式 2】 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的最小区间为 20 x ex x-10123 x e 0.3712.727.3920.09 2x123 4 5 【变式 3】若方程在（0，1）恰好有一解，求 a 的取值范围 2 210axx 类型三、利用函数图象求函数的零点个数类型三、

10、利用函数图象求函数的零点个数 例 3已知函数，1 是函数 F（x）=f（x）+2 的一个零点，且对于 2 ( )(lg2)lgf xxaxb 任意 xR，恒有 f（x）2x 成立，求实数 a，b 的值 举一反三：举一反三： 【变式 1】关于 x 的方程(x21)2|x21|+k=0，给出下列四个命题： 存在实数 k，使得方程恰有 2 个不等的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 4 个不等的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 5 个不等的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 8 个不等的实根 其中假命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 类型四、一元二次方程根的分布类型四、一元二次方程根的分布

11、 例 4已知二次函数，满足 f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1 2 ( )f xaxbxc （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若关于 x 的不等式 f（x）t0 在1，2上有解，求实数 t 的取值范围； （3）若函数 g（x）=f（x）mx 的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，求实数 m 的取 值范围 例 5若二次函数 y=x2+mx1 的图象与两端点为 A（0，3） ，B（3，0）的线段 AB 有两个不同 的交点，求 m 的取值范围 举一反三：举一反三： 【变式 1】 关于 x 的方程 ax22(a+1)x+a1=0，求 a 为何值时： （1）方程有一根； （2）方程

12、有一正一负根； （3）方程两根都大于 1； （4）方程有一根大于 1，一根小于 1 类型五、用二分法求函数的零点的近似值类型五、用二分法求函数的零点的近似值 例 6.根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ） 20 x ex x 1 0123 ex0.3712.727.3920.08 x+212345 A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 类型六：函数的零点综合问题类型六：函数的零点综合问题 例 7若函数在区间（1，6）内有零点，求的取值范围 2 ( )4f xxkxk 举一反三：举一反三： 【变式 1】试讨论函数的零点个数 2 ( )2|1()f xx

13、xaaR 【巩固练习】 1已知函数仅有唯一个正零点，则此零点所在的区间是（ ） 3 ( )1f xxx A （3，4） B （2，3） C （1，2） D （0，1） 2有两个互为相反数的零点的函数() A只能是偶函数B可以是奇函数C可以是增函数D可以是减函数 3若不等式对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是（ ） 22 2424axaxxx A （2，2） B （2，2 C （，2）2，） D （，2 4设函数 3 f xxbxc是-1，1上的增函数，且， 11 0 22 ff 则方程在-1，1内() 0f x A可能有 3 个实数根B可能有 2 个实数根C有唯一的实数根D没有实数

14、根 5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ） A“二分法”求方程的近似解一定可将 y=f（x）在a，b内的所有零点得到； B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y=f（x）在a，b内的零点； C应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在a，b内有可能无零点； D“二分法”求方程的近似解可能得到 f（x）=0 在a，b内的精确解 6若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 32 ( )22f xxxx 那么方程的一个近似根（精确到 01）为（ ） 32 220 xxx A12 B13 C14 D15 7如图，下列函数图象与 x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点

15、横坐标的是() f（1）=2f（15）=0625f（125）=0984 f（1375） =0260 f（14375） =0162 f（140625） =0054 8设是方程的两个根，则的最大值等于（ ） 12 ,x x 22 (2)(35)0 xkxkk 22 12 xx A19B18C17D16 9已知函数有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ ,1 ( ) ln(1),1 xa x f x x x 10若方程在（1,2）内有实数解，则实数的取值范围是 3 0 xxaa 11关于的方程的根分别为，则的值为 xlg3,103 x xxx 12 ,x x 12 xx 12已知函数，其中 aR，且

16、 a0 2 ( )1f xxax （）设 h(x)=(2x3)f (x)，若函数 y=h（x）图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值集合； （）求函数 y=f（x）在0，1上最大值 13设二次函数满足 f（1）=0，对于任意的实数 x 都有 f（x）x0， 2 ( )f xaxbxc 并且当 x（0，2）时， 2 1 ( )() 2 x f x （1）求 f（1）的值； （2）求 a，b，c 的值； （3）当 x（1，1）时，函数 g（x）=f（x）mx，mR 是单调的，求 m 的取值范围 函数与方程函数与方程 【要点梳理要点梳理】 要点一：函数的零点要点一：函数的零点 1.函数的

17、零点函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.( )yf x( )0fa 要点诠释：要点诠释： 函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； 函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；)(xfy x 函数的零点就是方程的实数根)(xfy 0)(xf 归纳：归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点0)(xf)(xfy x)(xfy （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 2 yaxbxc 2 0axbxc 判别式方程的根函数的零点 0两个不相等的实根两个零点 0 两个相等的实根一个二重零点 0 无实根

18、无零点 （3）二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点） ，函数值变号. 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2函数零点的判定函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即( )yf xab， ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使 0f a f b 0 xab， ，这个也就是方程的根. 0 0f x 0 x( )0f x （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程( )0f x ( )0f x 有实根则函数有零点( )0f

19、x （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与( )( )( )F xf xg x( )( )f xg x( )yf x 的图象交点的横坐标( )yg x 要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两实根，则 x1、x2的分布范围与一元二次方 程的系数之间的关系是： 当 x1x2k 时，有； 当 kx1x2时，有； 0 ( )0 2 f k b k a 0 ( )0 2 f k b k a 当 x1kx2时，； 当 x1，x2（k1，k2）时，有；( )0

20、f k 1 2 12 0 ( )0 ()0 2 f k f k b kk a 当 x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 12 ( ) ()0f kf k 要点诠释：要点诠释： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符 号；对称轴与区间的相对位置当 k=0 时，也就是一元二次方程根的零分布 （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两 侧 设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两个实根为 x1，x2，且 x1x2

21、 ； ； 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a ； 12 00 c xx a x1=0，x20c=0，且；x10，x2=0c=0，且0 b a 0 b a 要点三：二分法要点三：二分法 1.二分法二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤：用二分法求函数零点的一般步骤： 函数定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个零点 x0的近似值 x，使它满足给定的精确度

22、. yf x 第一步：在 D 内取一个闭区间，使与异号，即，零 00 ,a bD 0 f a 0 f b 00 0f af b 点位于区间中. 00 ,a b 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 00 ,a b . 000000 11 22 xabaab 计算和，并判断： 0 f x 0 f a 如果，则就是的零点，计算终止； 0 0f x 0 x f x 如果，则零点位于区间中，令； 00 0f af x 00 ,a x 1010 ,aa bx 如果，则零点位于区间中，令 00 0f af x 00 ,x b 1010 ,ax bb 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 11

23、,a b . 111111 11 22 xabaab 计算和，并判断： 1 f x 1 f a 如果，则就是的零点，计算终止； 1 0f x 1 x f x 如果，则零点位于区间中，令； 11 0f af x 11 ,a x 2121 ,aa bx 如果，则零点位于区间中，令； 11 0f af x 11 ,x b 2121 ,ax bb 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的, nn a b, nn a b n a n b 精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数 yf x 的近似零点满足给定的精确度. yf x 【经典例题

24、经典例题】 类型一、求函数的零点类型一、求函数的零点 例 1. 求下列函数的零点. (1) ； 2 ( )23f xxx (2)； 4 1f xx （3） 3 ( )4f xxx 【答案】 （1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2 【解析】(1) 由，令，得，故函数零点是-3，1；( )(1)(3)f xxx 0f x 12 1,3xx (2)由，令得 x=1，-1，故函数的零点是-1，1； 42 1111f xxxxx 0f x (3)令，即，( )0f x 3 40 xx 即，得，故函数的零点是-2，0，2 2 (4)0,x x220 x xx 123 0,2,2,xxx 举一反

25、三：举一反三： 【变式 1】已知函数，当时，函数的( )log(0,1) a f xxxb aa且234ab( )f x 零点,则 * 0 ( ,1),xn nnNn 【答案】2 【解析】，作及的图象，作及的图象logaxxb 2 logyx 3 logyx3yx 4yx 由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公(2,3)a在(3,4)b在yxb 共点皆在区间内，即函数的零点，故 (2,3)( )f x 0 (2,3)x 2n 类型二、函数零点的存在性定理类型二、函数零点的存在性定理 例 2函数的零点所在的大致区间是（ ） 2 ( )lnf xx x A （1，2） B （2

26、，3） C和（3，4） D （e，+） 1 (1, ) e 【答案】 B【解析】 从已知的区间（a，b）中，求和，判断是否( )f a( )f b 有( )( )0f af b ，在（1，2）内无零点，A 错；(1)20f (2)ln2 10f ( )f x 又，在（2，3）内有一个零点 2 (3)ln30 3 f(2)(3)0ff( )f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】若函数，则下列判断正确的是（ ） 3 ( )31, 1,1f xxxx A方程 f（x）=0 在区间0，1内一定有解 B方程 f（x）=0 在区间0，1内一定无解 C函数 f（x）是奇函数 D函数 f（x）是偶函数 【

27、答案】A 【变式 2】 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的最小区间为 20 x ex x-10123 x e 0.3712.727.3920.09 2x123 4 5 【答案】1,2 【解析】令，由表格中数据知=0.37-1=-0.630，f(0)=1-2=-10，f(1)=2.72-( )2 x f xex( 1)f 3=-0.280，f(3)=20.09-5=15.090，由于，所以根所在的最小区间(1)(2)0ff 为（1，2） 【变式 3】若方程在（0，1）恰好有一解，求 a 的取值范围 2 210axx 【解析】 （1）当时，方程为，不满足题意舍去0a 10,1x （2）当

28、时，令，0a 2 ( )21f xaxx 分情况讨论：， 0 1 80, (0,1) a x 0 1 8 2(0,1) a x 不满足题意舍去 1 8 a ，1 80a 1 8 a 若且即，满足题意(0)1f (1)0f21 10a 1a 若且即时，的另一解是(0)1f (1)0f1a ( )0f x 1 2 综上所述，满足条件的的取值范围是a1,a 类型三、利用函数图象求函数的零点个数类型三、利用函数图象求函数的零点个数 例 3已知函数，1 是函数 F（x）=f（x）+2 的一个零点，且对于 2 ( )(lg2)lgf xxaxb 任意 xR，恒有 f（x）2x 成立，求实数 a，b 的值

29、【解析】由已知条件知，F（1）=0；lgblga+1=0； 又 f（x）2x 恒成立，有恒成立； 2 lglg0 xxab ；由将 lgblga+1=0 得，lga=lgb+1； 2 (lg )4lg0ab ； 2 (lg1)4lg0bb 2 (lg1)0b 故 lgb=1，即 b=10，则 a=100 举一反三：举一反三： 【变式 1】关于 x 的方程(x21)2|x21|+k=0，给出下列四个命题： 存在实数 k，使得方程恰有 2 个不等的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 4 个不等的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 5 个不等的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 8 个不等的实根 其

30、中假命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】A【解析】 据题意令|x21|=t（t0） ， 则原方程化为 t2t+k=0 ，作出函数 y=|x21|的图象如图，结合函数的图象可知： 当 t=0 或 t1 时，方程有 2 个不等的实根；当 0t1 时，方程有 4 个不等的实根； 当 t=1 时，方程有 3 个不等的实根 （1）当时，方程 t2t+k=0 存在 2 个不等的小于 1 的正实根，原方程存在 8 个不等实根； 1 0 4 k （2）当 k=0 时，t=0 或 t=1，原方程存在0，1，1，共 5 个不等的实根；22 （3）当时，原方程存在共 4 个不等的实根； 1 4 k

31、1 2 t 2266 , 2222 （4）当 k0 时，一元二次方程 t2t+k=0 的根为一正一负，且两根之和为 1，可知方程 t2t+k=0 的正根 t1，故原方程只有 2 个不等的实根； （5）当时，方程无实根，故原方程无实根 1 4 k 类型四、一元二次方程根的分布类型四、一元二次方程根的分布 例 4已知二次函数，满足 f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1 2 ( )f xaxbxc （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若关于 x 的不等式 f（x）t0 在1，2上有解，求实数 t 的取值范围； （3）若函数 g（x）=f（x）mx 的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）

32、内，求实数 m 的取 值范围 【解析】 （1）由 f（0）=2，即 c=2，又 f（x+1）f（x）=2x1，得 2ax+a+b=2x1， 故，解得：a=1，b=2，所以 22 1 a ab 2 ( )22f xxx （2），对称轴为 x=11，2， 22 ( )22(1)1f xxxx 又 f（1）=5，f（2）=2，所以=f（1）=5 max( ) fx 关于 x 的不等式 f（x）t0 在1，2有解，则 t=5， max( ) fx 所以实数 t 的取值范围为（，5） （3），若 g（x）的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内， 2 ( )(2)2g xxm x 则满足解得：，所以

33、实数 m 的取值范围为 ( 1)050 (2)0220 (4)01040 gm gm gm 5 1 2 m 5 (1, ) 2 例 5若二次函数 y=x2+mx1 的图象与两端点为 A（0，3） ，B（3，0）的线段 AB 有两个不同 的交点，求 m 的取值范围 【解析】 线段 AB 的方程为 x+y=3（0 x3） ， 由题意得方程组有两组实解 2 3(03) 1 xyx yxmx 代入得 x2(m+1)x+4=0（0 x3）有两个实根， 令因此问题转化为二次函数在 x0，3上有 2 ( )(1)4f xxmx 2 ( )(1)4f xxmx 两个不同的实根，故有：，解得故 m 的取值范围是

34、 2 (1)160 1 03 2 (0)40 (3)93(1)40 m m f fm 10 3 3 m 10 3, 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】 关于 x 的方程 ax22(a+1)x+a1=0，求 a 为何值时： （1）方程有一根； （2）方程有一正一负根； （3）方程两根都大于 1； （4）方程有一根大于 1，一根小于 1 【解析】 （1）当 a=0 时，方程变为2x1=0，即，符合题意； 1 2 x 当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得0a 1240a 1 3 a 综上可知，当或时，关于的方程 ax22(a+1)x+a1=0 有一根0a 1 3 a x （2）因为方

35、程有一正一负根，所以由根与系数的关系得 1 0 a a 又解得1240,a 01a （3）方程两根都大于 1，图象大致如图，所以必须满足： 或两不等式组均无解 0, 0, 2(1) 1, 2 (1)0. a a a f 0, 0, 2(1) 1, 2 (1)0. a a a f 所以不存在实数，使方程两根都大于 1a （4）因为方程有一根大于 1，一根小于 1，图象大致如图 所以必须满足或解得 0, (1)0 a f 0, (1)0 a f 0a 类型五、用二分法求函数的零点的近似值类型五、用二分法求函数的零点的近似值 例 6.根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ） 20 x

36、 ex x 1 0123 ex0.3712.727.3920.08 x+212345 A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 【答案】C【解析】令，则 f（1）0.37+120，f（0）=102=10，( )2 x f xex f（1）2.72120，f（2）7.39220，f（3）20.09320故 f（1）f（2）0， 类型六：函数的零点综合问题类型六：函数的零点综合问题 例 7若函数在区间（1，6）内有零点，求的取值范围 2 ( )4f xxkxk 【解析】 （1），解得，如图 1(1)(6)0ff 20 5 3 k （2），解得，如图 2 0 (1)0 (6)0

37、 16 2 f f k 45k （3），解得，如图 3 0 16 2 k 4k （4）或，解得，如图 4 或 5 (1)0 7 1 22 f k (6)0 7 6 22 f k 5k 综上所述的取值范围是k 20 4, 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】试讨论函数的零点个数 2 ( )2|1()f xxxaaR 【解析】由得， 2 ( )2|10f xxxa 2 2|1xxa 令 2 2 2 ,0, ( )( )1 2 ,0, xx x g xh xa xx x 的图象如图所示，( ), ( )g x h x ( 2)(0)(2)0, ( 1)(1)1ggggg 当即时，与无公共点11,a

38、 2a ( )g x( )h x 当或，即或时，与有两个交点11a 10a 2a 1a ( )g x( )h x 当即时，与有四个交点110,a 21a ( )g x( )h x 当，即时，与有三个交点10a 1a ( )g x( )h x 所以，当时，函数无零点2a ( )f x 当或时，函数有两个零点2a 1a ( )f x 当时，函数有四个零点21a ( )f x 当时，函数有三个零点1a ( )f x 【巩固练习】 1已知函数仅有唯一个正零点，则此零点所在的区间是（ ） 3 ( )1f xxx A （3，4） B （2，3） C （1，2） D （0，1） 1 【答案】C【解析】由题意

39、，可知 f(0)=-10,f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590 2有两个互为相反数的零点的函数(B) A只能是偶函数B可以是奇函数C可以是增函数D可以是减函数 3若不等式对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是（ ） 22 2424axaxxx A （2，2） B （2，2 C （，2）2，） D （，2 3 【答案】B【解析】不等式，可化为， 22 2424axaxxx 2 (2)2(2)40axax 当 a2=0，即 a=2 时，恒成立当 a20 时，要使不等式恒成立，需，解得 20 0 a 2a2 所以 a 的取值范围为（2，2 4设函数 3 f xxbxc是-1

40、，1上的增函数，且， 11 0 22 ff 则方程在-1，1内() 0f x A可能有 3 个实数根B可能有 2 个实数根C有唯一的实数根D没有实数根 4 【答案】C【解析】在-1，1上是增函数且 f x 11 0 22 ff 在上有唯一实根， 0f x在-1，1 上有唯一实根故选 C 0f x 1 1 , 2 2 5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ D ） A“二分法”求方程的近似解一定可将 y=f（x）在a，b内的所有零点得到； B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y=f（x）在a，b内的零点； C应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在a，b内有可能无零点； D“二分

41、法”求方程的近似解可能得到 f（x）=0 在a，b内的精确解 6若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 32 ( )22f xxxx 那么方程的一个近似根（精确到 01）为（ C ） 32 220 xxx A12 B13 C14 D15 f（1）=2f（15）=0625f（125）=0984 f（1375） =0260 f（14375） =0162 f（140625） =0054 7如图，下列函数图象与 x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(B) 8设是方程的两个根，则的最大值等于（ ） 12 ,x x 22 (2)(35)0 xkxkk 22 12 xx A

42、19B18C17D16 8 【答案】B 【解析】由是方程的两个根， 12 ,x x 22 (2)(35)0 xkxkk ，解得 2 316160kk 4 4 3 k ， 222222 121212 ()2(2)2(35)(5)19xxxxx xkkkk 当时，取得最大值 184k 22 12 xx 9已知函数有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ ,1 ( ) ln(1),1 xa x f x x x 9 【答案】1，+） 【解析】当 x1 时，令 ln（x1）=0 解得 x=0， 故 f（x）在（，1）上有 1 个零点，f（x）在1，+）上有 1 个零点 当 x1 时，令得实数 a 的取值范

43、围是1，+） 0 xa1ax 10若方程在（1,2）内有实数解，则实数的取值范围是 3 0 xxaa 10 【答案】 （2,10） 【解析】设函数易证明是上的增函数， 3 ( )f xxxa( )f xR 依题意，得所以 (1)20, (2)100. fa fa 210a 11关于的方程的根分别为，则的值为 xlg3,103 x xxx 12 ,x x 12 xx 11 【答案】3 在同一直角坐标系中画出的图象，观察可得( )10 , ( )lg , ( )3 x f xg xx h xx 12已知函数，其中 aR，且 a0 2 ( )1f xxax （）设 h(x)=(2x3)f (x)，若

44、函数 y=h（x）图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值集合； （）求函数 y=f（x）在0，1上最大值 12 【解析】 （） （1）若 f（x）=0 恰有一解，且解不为， 3 2 即 a24=0，解得 a=2； （2）若 f（x）=0 有两个不同的解，且其中一个解为， 3 2 代入得， 93 10 42 a 解得，检验满足 0； 13 6 a 综上所述，a 的了取值集合为 13 , 2,2 6 （） （1）若，即 a0 时，0 2 a 函数 y=f（x）在0，1上单调递增， 故； max (1)2yfa （2）若，即2a0 时，01 2 a 此时，且 f（x）的图象的对称轴在（0

45、，1）上，且开口向上； 2 40a 故， max 2,1 max (0),(1)max1,2 1,1 aa yffa a （3）若，即 a2 时，1 2 a 此时 f（1）=2+a0， max 1,3 max (0),(1)max1,2 2,3 a yffa aa 综上所述， max 2,100 1,31 2,3 aaa ya aa 或 13设二次函数满足 f（1）=0，对于任意的实数 x 都有 f（x）x0， 2 ( )f xaxbxc 并且当 x（0，2）时， 2 1 ( )() 2 x f x （1）求 f（1）的值； （2）求 a，b，c 的值； （3）当 x（1，1）时，函数 g（x）=f（x）mx，mR 是单调的，求 m 的取值范围 13 【解析】 （1）二次函数满足,a+c=b， 2 ( )f xaxbxc( 1)0f 函数当 x（0，2）时，f（1）1 2 ( )()f xaxac xc 2 1 ( )() 2 x f x 又对于任意的实数 x 都有 f（x）x0，f（1）10，f（1）1，故 f（1）=1 （2） （3）