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(2021新教材)人教A版《高中数学》必修第一册4.5.1 函数与方程讲义(学生版+教师版).zip

1、函数与方程函数与方程 【要点梳理要点梳理】 要点一:函数的零点要点一:函数的零点 1.函数的零点函数的零点 (1)一般地,如果函数在实数处的值等于零,即,则叫做这个函数的零点.( )yf x( )0fa 要点诠释:要点诠释: 函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零; 函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标;)(xfy x 函数的零点就是方程的实数根)(xfy 0)(xf 归纳:归纳:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点0)(xf)(xfy x)(xfy (2)二次函数的零点 二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表. 2 yaxbxc 2 0axbxc 判别

2、式方程的根函数的零点 0两个不相等的实根两个零点 0 两个相等的实根一个二重零点 0 无实根无零点 (3)二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号. 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2函数零点的判定函数零点的判定 (1)利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即( )yf xab, ,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点,使 0f a f b 0 xab, ,这个也就是方程的根. 0 0f x 0 x( )0f x (2)利用方程求解法 求函数的零点时,先考虑解方程

3、,方程无实根则函数无零点,方程( )0f x ( )0f x 有实根则函数有零点( )0f x (3)利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与( )( )( )F xf xg x( )( )f xg x( )yf x 的图象交点的横坐标( )yg x 要点二:一元二次方程根的分布与方程系数的关系要点二:一元二次方程根的分布与方程系数的关系 (1)设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两实根,则 x1、x2的分布范围与一元二次方 程的系数之间的关系是: 当 x1x2k 时,有; 当 kx1x2时,有; 0 ( )0 2 f k b k a 0 ( )0

4、 2 f k b k a 当 x1kx2时,; 当 x1,x2(k1,k2)时,有;( )0f k 1 2 12 0 ( )0 ()0 2 f k f k b kk a 当 x1、x2有且仅有一个在(k1,k2)时,有 12 ( ) ()0f kf k 要点诠释:要点诠释: 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑:判别式;区间端点的函数值的符 号;对称轴与区间的相对位置当 k=0 时,也就是一元二次方程根的零分布 (2)所谓一元二次方程根的零分布,是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根, 有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说这两个根分布在零

5、的两 侧 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个实根为 x1,x2,且 x1x2 ; ; 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a ; 12 00 c xx a x1=0,x20c=0,且;x10,x2=0c=0,且0 b a 0 b a 要点三:二分法要点三:二分法 1.二分法二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤:用二分法求函数零点的一般步骤

6、: 函数定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个零点 x0的近似值 x,使它满足给定的精确度. yf x 第一步:在 D 内取一个闭区间,使与异号,即,零 00 ,a bD 0 f a 0 f b 00 0f af b 点位于区间中. 00 ,a b 第二步:取区间的中点,则此中点对应的坐标为 00 ,a b . 000000 11 22 xabaab 计算和,并判断: 0 f x 0 f a 如果,则就是的零点,计算终止; 0 0f x 0 x f x 如果,则零点位于区间中,令; 00 0f af x 00 ,a x 1010 ,aa bx 如果,则零点位于区间中,令 00 0f af x

7、 00 ,x b 1010 ,ax bb 第三步:取区间的中点,则此中点对应的坐标为 11 ,a b . 111111 11 22 xabaab 计算和,并判断: 1 f x 1 f a 如果,则就是的零点,计算终止; 1 0f x 1 x f x 如果,则零点位于区间中,令; 11 0f af x 11 ,a x 2121 ,aa bx 如果,则零点位于区间中,令; 11 0f af x 11 ,x b 2121 ,ax bb 继续实施上述步骤,直到区间,函数的零点总位于区间上,当和按照给定的, nn a b, nn a b n a n b 精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数

8、的近似零点,计算终止.这时函数 yf x 的近似零点满足给定的精确度. yf x 【经典例题经典例题】 类型一、求函数的零点类型一、求函数的零点 例 1. 求下列函数的零点. (1) ; 2 ( )23f xxx (2) ; 4 1f xx (3) 3 ( )4f xxx 举一反三:举一反三: 【变式 1】已知函数,当时,函数的( )log(0,1) a f xxxb aa且234ab( )f x 零点,则 * 0 ( ,1),xn nnNn 类型二、函数零点的存在性定理类型二、函数零点的存在性定理 例 2函数的零点所在的大致区间是( ) 2 ( )lnf xx x A (1,2) B (2,

9、3) C和(3,4) D (e,+) 1 (1, ) e 举一反三:举一反三: 【变式 1】若函数,则下列判断正确的是( ) 3 ( )31, 1,1f xxxx A方程 f(x)=0 在区间0,1内一定有解 B方程 f(x)=0 在区间0,1内一定无解 C函数 f(x)是奇函数 D函数 f(x)是偶函数 【变式 2】 根据表格中的数据,可以判定方程的一个根所在的最小区间为 20 x ex x-10123 x e 0.3712.727.3920.09 2x123 4 5 【变式 3】若方程在(0,1)恰好有一解,求 a 的取值范围 2 210axx 类型三、利用函数图象求函数的零点个数类型三、

10、利用函数图象求函数的零点个数 例 3已知函数,1 是函数 F(x)=f(x)+2 的一个零点,且对于 2 ( )(lg2)lgf xxaxb 任意 xR,恒有 f(x)2x 成立,求实数 a,b 的值 举一反三:举一反三: 【变式 1】关于 x 的方程(x21)2|x21|+k=0,给出下列四个命题: 存在实数 k,使得方程恰有 2 个不等的实根; 存在实数 k,使得方程恰有 4 个不等的实根; 存在实数 k,使得方程恰有 5 个不等的实根; 存在实数 k,使得方程恰有 8 个不等的实根 其中假命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 类型四、一元二次方程根的分布类型四、一元二次方程根的分布

11、 例 4已知二次函数,满足 f(0)=2,f(x+1)f(x)=2x1 2 ( )f xaxbxc (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的不等式 f(x)t0 在1,2上有解,求实数 t 的取值范围; (3)若函数 g(x)=f(x)mx 的两个零点分别在区间(1,2)和(2,4)内,求实数 m 的取 值范围 例 5若二次函数 y=x2+mx1 的图象与两端点为 A(0,3) ,B(3,0)的线段 AB 有两个不同 的交点,求 m 的取值范围 举一反三:举一反三: 【变式 1】 关于 x 的方程 ax22(a+1)x+a1=0,求 a 为何值时: (1)方程有一根; (2)方程

12、有一正一负根; (3)方程两根都大于 1; (4)方程有一根大于 1,一根小于 1 类型五、用二分法求函数的零点的近似值类型五、用二分法求函数的零点的近似值 例 6.根据表格内的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是( ) 20 x ex x 1 0123 ex0.3712.727.3920.08 x+212345 A (1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 类型六:函数的零点综合问题类型六:函数的零点综合问题 例 7若函数在区间(1,6)内有零点,求的取值范围 2 ( )4f xxkxk 举一反三:举一反三: 【变式 1】试讨论函数的零点个数 2 ( )2|1()f xx

13、xaaR 【巩固练习】 1已知函数仅有唯一个正零点,则此零点所在的区间是( ) 3 ( )1f xxx A (3,4) B (2,3) C (1,2) D (0,1) 2有两个互为相反数的零点的函数() A只能是偶函数B可以是奇函数C可以是增函数D可以是减函数 3若不等式对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是( ) 22 2424axaxxx A (2,2) B (2,2 C (,2)2,) D (,2 4设函数 3 f xxbxc是-1,1上的增函数,且, 11 0 22 ff 则方程在-1,1内() 0f x A可能有 3 个实数根B可能有 2 个实数根C有唯一的实数根D没有实数

14、根 5关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是( ) A“二分法”求方程的近似解一定可将 y=f(x)在a,b内的所有零点得到; B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y=f(x)在a,b内的零点; C应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在a,b内有可能无零点; D“二分法”求方程的近似解可能得到 f(x)=0 在a,b内的精确解 6若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: 32 ( )22f xxxx 那么方程的一个近似根(精确到 01)为( ) 32 220 xxx A12 B13 C14 D15 7如图,下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点

15、横坐标的是() f(1)=2f(15)=0625f(125)=0984 f(1375) =0260 f(14375) =0162 f(140625) =0054 8设是方程的两个根,则的最大值等于( ) 12 ,x x 22 (2)(35)0 xkxkk 22 12 xx A19B18C17D16 9已知函数有两个零点,则实数 a 的取值范围是_ ,1 ( ) ln(1),1 xa x f x x x 10若方程在(1,2)内有实数解,则实数的取值范围是 3 0 xxaa 11关于的方程的根分别为,则的值为 xlg3,103 x xxx 12 ,x x 12 xx 12已知函数,其中 aR,且

16、 a0 2 ( )1f xxax ()设 h(x)=(2x3)f (x),若函数 y=h(x)图象与 x 轴恰有两个不同的交点,试求 a 的取值集合; ()求函数 y=f(x)在0,1上最大值 13设二次函数满足 f(1)=0,对于任意的实数 x 都有 f(x)x0, 2 ( )f xaxbxc 并且当 x(0,2)时, 2 1 ( )() 2 x f x (1)求 f(1)的值; (2)求 a,b,c 的值; (3)当 x(1,1)时,函数 g(x)=f(x)mx,mR 是单调的,求 m 的取值范围 函数与方程函数与方程 【要点梳理要点梳理】 要点一:函数的零点要点一:函数的零点 1.函数的

17、零点函数的零点 (1)一般地,如果函数在实数处的值等于零,即,则叫做这个函数的零点.( )yf x( )0fa 要点诠释:要点诠释: 函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零; 函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标;)(xfy x 函数的零点就是方程的实数根)(xfy 0)(xf 归纳:归纳:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点0)(xf)(xfy x)(xfy (2)二次函数的零点 二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表. 2 yaxbxc 2 0axbxc 判别式方程的根函数的零点 0两个不相等的实根两个零点 0 两个相等的实根一个二重零点 0 无实根

18、无零点 (3)二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号. 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2函数零点的判定函数零点的判定 (1)利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即( )yf xab, ,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点,使 0f a f b 0 xab, ,这个也就是方程的根. 0 0f x 0 x( )0f x (2)利用方程求解法 求函数的零点时,先考虑解方程,方程无实根则函数无零点,方程( )0f x ( )0f x 有实根则函数有零点( )0f

19、x (3)利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与( )( )( )F xf xg x( )( )f xg x( )yf x 的图象交点的横坐标( )yg x 要点二:一元二次方程根的分布与方程系数的关系要点二:一元二次方程根的分布与方程系数的关系 (1)设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两实根,则 x1、x2的分布范围与一元二次方 程的系数之间的关系是: 当 x1x2k 时,有; 当 kx1x2时,有; 0 ( )0 2 f k b k a 0 ( )0 2 f k b k a 当 x1kx2时,; 当 x1,x2(k1,k2)时,有;( )0

20、f k 1 2 12 0 ( )0 ()0 2 f k f k b kk a 当 x1、x2有且仅有一个在(k1,k2)时,有 12 ( ) ()0f kf k 要点诠释:要点诠释: 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑:判别式;区间端点的函数值的符 号;对称轴与区间的相对位置当 k=0 时,也就是一元二次方程根的零分布 (2)所谓一元二次方程根的零分布,是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根, 有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说这两个根分布在零的两 侧 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个实根为 x1,x2,且 x1x2

21、 ; ; 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a 2 1212 12 40 0,00 0 bac b xxxx a c x x a ; 12 00 c xx a x1=0,x20c=0,且;x10,x2=0c=0,且0 b a 0 b a 要点三:二分法要点三:二分法 1.二分法二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤:用二分法求函数零点的一般步骤: 函数定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个零点 x0的近似值 x,使它满足给定的精确度

22、. yf x 第一步:在 D 内取一个闭区间,使与异号,即,零 00 ,a bD 0 f a 0 f b 00 0f af b 点位于区间中. 00 ,a b 第二步:取区间的中点,则此中点对应的坐标为 00 ,a b . 000000 11 22 xabaab 计算和,并判断: 0 f x 0 f a 如果,则就是的零点,计算终止; 0 0f x 0 x f x 如果,则零点位于区间中,令; 00 0f af x 00 ,a x 1010 ,aa bx 如果,则零点位于区间中,令 00 0f af x 00 ,x b 1010 ,ax bb 第三步:取区间的中点,则此中点对应的坐标为 11

23、,a b . 111111 11 22 xabaab 计算和,并判断: 1 f x 1 f a 如果,则就是的零点,计算终止; 1 0f x 1 x f x 如果,则零点位于区间中,令; 11 0f af x 11 ,a x 2121 ,aa bx 如果,则零点位于区间中,令; 11 0f af x 11 ,x b 2121 ,ax bb 继续实施上述步骤,直到区间,函数的零点总位于区间上,当和按照给定的, nn a b, nn a b n a n b 精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数的近似零点,计算终止.这时函数 yf x 的近似零点满足给定的精确度. yf x 【经典例题

24、经典例题】 类型一、求函数的零点类型一、求函数的零点 例 1. 求下列函数的零点. (1) ; 2 ( )23f xxx (2); 4 1f xx (3) 3 ( )4f xxx 【答案】 (1)-3,1;(2)-1,1;(3)-2,0,2 【解析】(1) 由,令,得,故函数零点是-3,1;( )(1)(3)f xxx 0f x 12 1,3xx (2)由,令得 x=1,-1,故函数的零点是-1,1; 42 1111f xxxxx 0f x (3)令,即,( )0f x 3 40 xx 即,得,故函数的零点是-2,0,2 2 (4)0,x x220 x xx 123 0,2,2,xxx 举一反

25、三:举一反三: 【变式 1】已知函数,当时,函数的( )log(0,1) a f xxxb aa且234ab( )f x 零点,则 * 0 ( ,1),xn nnNn 【答案】2 【解析】,作及的图象,作及的图象logaxxb 2 logyx 3 logyx3yx 4yx 由图象可知,当内变动,内变动时,显然对数函数图象与直线的公(2,3)a在(3,4)b在yxb 共点皆在区间内,即函数的零点,故 (2,3)( )f x 0 (2,3)x 2n 类型二、函数零点的存在性定理类型二、函数零点的存在性定理 例 2函数的零点所在的大致区间是( ) 2 ( )lnf xx x A (1,2) B (2

26、,3) C和(3,4) D (e,+) 1 (1, ) e 【答案】 B【解析】 从已知的区间(a,b)中,求和,判断是否( )f a( )f b 有( )( )0f af b ,在(1,2)内无零点,A 错;(1)20f (2)ln2 10f ( )f x 又,在(2,3)内有一个零点 2 (3)ln30 3 f(2)(3)0ff( )f x 举一反三:举一反三: 【变式 1】若函数,则下列判断正确的是( ) 3 ( )31, 1,1f xxxx A方程 f(x)=0 在区间0,1内一定有解 B方程 f(x)=0 在区间0,1内一定无解 C函数 f(x)是奇函数 D函数 f(x)是偶函数 【

27、答案】A 【变式 2】 根据表格中的数据,可以判定方程的一个根所在的最小区间为 20 x ex x-10123 x e 0.3712.727.3920.09 2x123 4 5 【答案】1,2 【解析】令,由表格中数据知=0.37-1=-0.630,f(0)=1-2=-10,f(1)=2.72-( )2 x f xex( 1)f 3=-0.280,f(3)=20.09-5=15.090,由于,所以根所在的最小区间(1)(2)0ff 为(1,2) 【变式 3】若方程在(0,1)恰好有一解,求 a 的取值范围 2 210axx 【解析】 (1)当时,方程为,不满足题意舍去0a 10,1x (2)当

28、时,令,0a 2 ( )21f xaxx 分情况讨论:, 0 1 80, (0,1) a x 0 1 8 2(0,1) a x 不满足题意舍去 1 8 a ,1 80a 1 8 a 若且即,满足题意(0)1f (1)0f21 10a 1a 若且即时,的另一解是(0)1f (1)0f1a ( )0f x 1 2 综上所述,满足条件的的取值范围是a1,a 类型三、利用函数图象求函数的零点个数类型三、利用函数图象求函数的零点个数 例 3已知函数,1 是函数 F(x)=f(x)+2 的一个零点,且对于 2 ( )(lg2)lgf xxaxb 任意 xR,恒有 f(x)2x 成立,求实数 a,b 的值

29、【解析】由已知条件知,F(1)=0;lgblga+1=0; 又 f(x)2x 恒成立,有恒成立; 2 lglg0 xxab ;由将 lgblga+1=0 得,lga=lgb+1; 2 (lg )4lg0ab ; 2 (lg1)4lg0bb 2 (lg1)0b 故 lgb=1,即 b=10,则 a=100 举一反三:举一反三: 【变式 1】关于 x 的方程(x21)2|x21|+k=0,给出下列四个命题: 存在实数 k,使得方程恰有 2 个不等的实根; 存在实数 k,使得方程恰有 4 个不等的实根; 存在实数 k,使得方程恰有 5 个不等的实根; 存在实数 k,使得方程恰有 8 个不等的实根 其

30、中假命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】A【解析】 据题意令|x21|=t(t0) , 则原方程化为 t2t+k=0 ,作出函数 y=|x21|的图象如图,结合函数的图象可知: 当 t=0 或 t1 时,方程有 2 个不等的实根;当 0t1 时,方程有 4 个不等的实根; 当 t=1 时,方程有 3 个不等的实根 (1)当时,方程 t2t+k=0 存在 2 个不等的小于 1 的正实根,原方程存在 8 个不等实根; 1 0 4 k (2)当 k=0 时,t=0 或 t=1,原方程存在0,1,1,共 5 个不等的实根;22 (3)当时,原方程存在共 4 个不等的实根; 1 4 k

31、1 2 t 2266 , 2222 (4)当 k0 时,一元二次方程 t2t+k=0 的根为一正一负,且两根之和为 1,可知方程 t2t+k=0 的正根 t1,故原方程只有 2 个不等的实根; (5)当时,方程无实根,故原方程无实根 1 4 k 类型四、一元二次方程根的分布类型四、一元二次方程根的分布 例 4已知二次函数,满足 f(0)=2,f(x+1)f(x)=2x1 2 ( )f xaxbxc (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的不等式 f(x)t0 在1,2上有解,求实数 t 的取值范围; (3)若函数 g(x)=f(x)mx 的两个零点分别在区间(1,2)和(2,4)

32、内,求实数 m 的取 值范围 【解析】 (1)由 f(0)=2,即 c=2,又 f(x+1)f(x)=2x1,得 2ax+a+b=2x1, 故,解得:a=1,b=2,所以 22 1 a ab 2 ( )22f xxx (2),对称轴为 x=11,2, 22 ( )22(1)1f xxxx 又 f(1)=5,f(2)=2,所以=f(1)=5 max( ) fx 关于 x 的不等式 f(x)t0 在1,2有解,则 t=5, max( ) fx 所以实数 t 的取值范围为(,5) (3),若 g(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,4)内, 2 ( )(2)2g xxm x 则满足解得:,所以

33、实数 m 的取值范围为 ( 1)050 (2)0220 (4)01040 gm gm gm 5 1 2 m 5 (1, ) 2 例 5若二次函数 y=x2+mx1 的图象与两端点为 A(0,3) ,B(3,0)的线段 AB 有两个不同 的交点,求 m 的取值范围 【解析】 线段 AB 的方程为 x+y=3(0 x3) , 由题意得方程组有两组实解 2 3(03) 1 xyx yxmx 代入得 x2(m+1)x+4=0(0 x3)有两个实根, 令因此问题转化为二次函数在 x0,3上有 2 ( )(1)4f xxmx 2 ( )(1)4f xxmx 两个不同的实根,故有:,解得故 m 的取值范围是

34、 2 (1)160 1 03 2 (0)40 (3)93(1)40 m m f fm 10 3 3 m 10 3, 3 举一反三:举一反三: 【变式 1】 关于 x 的方程 ax22(a+1)x+a1=0,求 a 为何值时: (1)方程有一根; (2)方程有一正一负根; (3)方程两根都大于 1; (4)方程有一根大于 1,一根小于 1 【解析】 (1)当 a=0 时,方程变为2x1=0,即,符合题意; 1 2 x 当时,方程为二次方程,因为方程有一根,所以,解得0a 1240a 1 3 a 综上可知,当或时,关于的方程 ax22(a+1)x+a1=0 有一根0a 1 3 a x (2)因为方

35、程有一正一负根,所以由根与系数的关系得 1 0 a a 又解得1240,a 01a (3)方程两根都大于 1,图象大致如图,所以必须满足: 或两不等式组均无解 0, 0, 2(1) 1, 2 (1)0. a a a f 0, 0, 2(1) 1, 2 (1)0. a a a f 所以不存在实数,使方程两根都大于 1a (4)因为方程有一根大于 1,一根小于 1,图象大致如图 所以必须满足或解得 0, (1)0 a f 0, (1)0 a f 0a 类型五、用二分法求函数的零点的近似值类型五、用二分法求函数的零点的近似值 例 6.根据表格内的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是( ) 20 x

36、 ex x 1 0123 ex0.3712.727.3920.08 x+212345 A (1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 【答案】C【解析】令,则 f(1)0.37+120,f(0)=102=10,( )2 x f xex f(1)2.72120,f(2)7.39220,f(3)20.09320故 f(1)f(2)0, 类型六:函数的零点综合问题类型六:函数的零点综合问题 例 7若函数在区间(1,6)内有零点,求的取值范围 2 ( )4f xxkxk 【解析】 (1),解得,如图 1(1)(6)0ff 20 5 3 k (2),解得,如图 2 0 (1)0 (6)0

37、 16 2 f f k 45k (3),解得,如图 3 0 16 2 k 4k (4)或,解得,如图 4 或 5 (1)0 7 1 22 f k (6)0 7 6 22 f k 5k 综上所述的取值范围是k 20 4, 3 举一反三:举一反三: 【变式 1】试讨论函数的零点个数 2 ( )2|1()f xxxaaR 【解析】由得, 2 ( )2|10f xxxa 2 2|1xxa 令 2 2 2 ,0, ( )( )1 2 ,0, xx x g xh xa xx x 的图象如图所示,( ), ( )g x h x ( 2)(0)(2)0, ( 1)(1)1ggggg 当即时,与无公共点11,a

38、 2a ( )g x( )h x 当或,即或时,与有两个交点11a 10a 2a 1a ( )g x( )h x 当即时,与有四个交点110,a 21a ( )g x( )h x 当,即时,与有三个交点10a 1a ( )g x( )h x 所以,当时,函数无零点2a ( )f x 当或时,函数有两个零点2a 1a ( )f x 当时,函数有四个零点21a ( )f x 当时,函数有三个零点1a ( )f x 【巩固练习】 1已知函数仅有唯一个正零点,则此零点所在的区间是( ) 3 ( )1f xxx A (3,4) B (2,3) C (1,2) D (0,1) 1 【答案】C【解析】由题意

39、,可知 f(0)=-10,f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590 2有两个互为相反数的零点的函数(B) A只能是偶函数B可以是奇函数C可以是增函数D可以是减函数 3若不等式对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是( ) 22 2424axaxxx A (2,2) B (2,2 C (,2)2,) D (,2 3 【答案】B【解析】不等式,可化为, 22 2424axaxxx 2 (2)2(2)40axax 当 a2=0,即 a=2 时,恒成立当 a20 时,要使不等式恒成立,需,解得 20 0 a 2a2 所以 a 的取值范围为(2,2 4设函数 3 f xxbxc是-1

40、,1上的增函数,且, 11 0 22 ff 则方程在-1,1内() 0f x A可能有 3 个实数根B可能有 2 个实数根C有唯一的实数根D没有实数根 4 【答案】C【解析】在-1,1上是增函数且 f x 11 0 22 ff 在上有唯一实根, 0f x在-1,1 上有唯一实根故选 C 0f x 1 1 , 2 2 5关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是( D ) A“二分法”求方程的近似解一定可将 y=f(x)在a,b内的所有零点得到; B“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y=f(x)在a,b内的零点; C应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在a,b内有可能无零点; D“二分

41、法”求方程的近似解可能得到 f(x)=0 在a,b内的精确解 6若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: 32 ( )22f xxxx 那么方程的一个近似根(精确到 01)为( C ) 32 220 xxx A12 B13 C14 D15 f(1)=2f(15)=0625f(125)=0984 f(1375) =0260 f(14375) =0162 f(140625) =0054 7如图,下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是(B) 8设是方程的两个根,则的最大值等于( ) 12 ,x x 22 (2)(35)0 xkxkk 22 12 xx A

42、19B18C17D16 8 【答案】B 【解析】由是方程的两个根, 12 ,x x 22 (2)(35)0 xkxkk ,解得 2 316160kk 4 4 3 k , 222222 121212 ()2(2)2(35)(5)19xxxxx xkkkk 当时,取得最大值 184k 22 12 xx 9已知函数有两个零点,则实数 a 的取值范围是_ ,1 ( ) ln(1),1 xa x f x x x 9 【答案】1,+) 【解析】当 x1 时,令 ln(x1)=0 解得 x=0, 故 f(x)在(,1)上有 1 个零点,f(x)在1,+)上有 1 个零点 当 x1 时,令得实数 a 的取值范

43、围是1,+) 0 xa1ax 10若方程在(1,2)内有实数解,则实数的取值范围是 3 0 xxaa 10 【答案】 (2,10) 【解析】设函数易证明是上的增函数, 3 ( )f xxxa( )f xR 依题意,得所以 (1)20, (2)100. fa fa 210a 11关于的方程的根分别为,则的值为 xlg3,103 x xxx 12 ,x x 12 xx 11 【答案】3 在同一直角坐标系中画出的图象,观察可得( )10 , ( )lg , ( )3 x f xg xx h xx 12已知函数,其中 aR,且 a0 2 ( )1f xxax ()设 h(x)=(2x3)f (x),若

44、函数 y=h(x)图象与 x 轴恰有两个不同的交点,试求 a 的取值集合; ()求函数 y=f(x)在0,1上最大值 12 【解析】 () (1)若 f(x)=0 恰有一解,且解不为, 3 2 即 a24=0,解得 a=2; (2)若 f(x)=0 有两个不同的解,且其中一个解为, 3 2 代入得, 93 10 42 a 解得,检验满足 0; 13 6 a 综上所述,a 的了取值集合为 13 , 2,2 6 () (1)若,即 a0 时,0 2 a 函数 y=f(x)在0,1上单调递增, 故; max (1)2yfa (2)若,即2a0 时,01 2 a 此时,且 f(x)的图象的对称轴在(0

45、,1)上,且开口向上; 2 40a 故, max 2,1 max (0),(1)max1,2 1,1 aa yffa a (3)若,即 a2 时,1 2 a 此时 f(1)=2+a0, max 1,3 max (0),(1)max1,2 2,3 a yffa aa 综上所述, max 2,100 1,31 2,3 aaa ya aa 或 13设二次函数满足 f(1)=0,对于任意的实数 x 都有 f(x)x0, 2 ( )f xaxbxc 并且当 x(0,2)时, 2 1 ( )() 2 x f x (1)求 f(1)的值; (2)求 a,b,c 的值; (3)当 x(1,1)时,函数 g(x)=f(x)mx,mR 是单调的,求 m 的取值范围 13 【解析】 (1)二次函数满足,a+c=b, 2 ( )f xaxbxc( 1)0f 函数当 x(0,2)时,f(1)1 2 ( )()f xaxac xc 2 1 ( )() 2 x f x 又对于任意的实数 x 都有 f(x)x0,f(1)10,f(1)1,故 f(1)=1 (2) (3)

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