（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.5.3 二倍角的正弦、余弦、正切公讲义（学生版+教师版）.zip

1、二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 2 sin22sincos()S 22 2 2 2 cos2cossin() 2cos1 1 2sin C 2 2 2tan tan2() 1tan T 2和角公式、倍角公式之间的内在联系和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式， 中，当TCS, 它们的内在联系如下： 要点二：二倍角公式的逆用及变形要点二：二倍角公式的逆用及变形 1公式的逆用公式的逆用 ；2

2、sincossin2 1 sincossin2 2 2222 cossin2cos11 2sincos2 2 2tan tan2 1tan 2公式的变形公式的变形 ； 2 1 sin2(sincos) 降幂公式： 22 1 cos21 cos2 cos,sin 22 升幂公式： 22 1 cos22cos,1 cos22sin 要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1对公式会“正着用”， “逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换 元等； 2掌握“角的演变”规律，寻求所

3、求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之(),2()() 间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)； 【典型例题典型例题】 类型一：利用二倍角公式的简单应用类型一：利用二倍角公式的简单应用 例 1.求下列各式的值： （1）； ； （3）sincos 1212 2 15 2sin 212 2 24 sin 15 33 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值：（1）； （2）； （3）cossincossin 12121212 2 2cos1 8 2 2tan75 1tan 75 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值类型二：利用二倍角公式求

4、非特殊角的三角函数值 例 2. 求 sin6sin42sin66sin78的值 举一反三：举一反三： 【变式 1】 248 coscoscoscos. 17171717 求值： 例 3求值：2sin50sin10 (13tan10 ) 1 cos20 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值： 13 sin10cos10 【变式 2】求值：sin50 (13tan10 ) 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例 4化简： 2222 1 sinsincoscoscos2 cos2 2 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简下列各式： (1)（2） sinsin

5、2 1 coscos2 22cos82 1 sin8 【变式 2】 （1）化简：；（2）若，求的值 2 sin() 4 2cos2sincos1 222 tan3 sin2cos 5cossin 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用 例 5求值：（1）已知，求 3 sin() 1225 cos() 6 （2）已知，求sin() 4 m sin2 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，且，求的值 3 cos 45 x 77 124 x 2 sin22sin 1tan xx x 【变式 2】 已知：tan=2，求的值2sin 2 1

6、 sin 4 1 2 例 6已知，且、都是锐角，求 22 3sin2sin13sin22sin202 类型五：二倍角公式的综合应用类型五：二倍角公式的综合应用 例 7已知函数 f（x）=asin x+cos x 的图象经过点(, 1) 2 （1）求函数 f（x）的最小正周期与单调递增区间 （2）若，且，求 sin2的值(0,) 2 1 ( ) 2 f 【变式 1】已知函数，a 为常数，aR，且 2 ( )sin2cosf xxax()0 4 f （1）求函数 f（x）的最小正周期 （2）当时，求函数 f（x）的最大值和最小值 11 , 2424 x 例 8已知 A、B、C 为三个锐角，且 AB

7、C，若向量(22sinA，cosAsinA)与P 向量(sinAcosA，1sinA)是共线向量.q （1）求角 A； （2）求函数 y2sin2Bcos的最大值. 3 2 CB 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知向量 m=（sinA，cosA） ，mn=1，且 A 为锐角( 3, 1)n （1）求角 A 的大小； （2）求函数（xR）的值域( )cos24cossinf xxAx 【巩固练习巩固练习】 1已知，则函数的最小值是（ ）, 12 3 x 44 sincosyxx A1 B C D1 3 2 1 2 2化简的结果是（ ） 2 2cos2sin 1 Acos1 Bcos1 C D

8、3cos13cos1 3化简得（ ） 22 1 2sin20 cos20 2cos 101 cos 1601 A B C1 D11 sin40 1 cos20sin20 4已知，则的值为（ ）sin76 cos7 A B C D 1 2 a1 2 a2 2 a 2 a 5函数是（ ） 2 2cos1 4 yx A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数 2 2 6已知 为第二象限角，且，则的值为（ ） 24 sin2 25 cossin A B C D 7 5 7 5 1 5 1 5 7若则 1 sin(), 33 2 cos(2 )()

9、 3 A B C D 7 9 1 3 1 3 7 9 8若，则（ ）(sin )3cos2fxx(cos )fx A3cos2x B3sin2x C3+cos2x D3+sin2x 9若，则 sin2=_ 1 tan4 tan 10的取值范围是 22 coscos 44 xx 11已知，则 tan2=_ 2sincos 3 sincos 12的三个内角为、，当为 时，取得最大值，且这ABCABCAcos2cos 2 BC A 个最大值为 13已知，求 1 sinsin 446 , 2 sin4 14在ABC 中，cosA=，tanB=2，求 tan(2A+2B)的值 3 5 15已知，为的最小

10、正周期，向量，0 4 ( )cos 2 8 f xx 1 tan, 1 4 a ，且，求的值(cos ,2)b mba 2 2cossin2() cossin 16已知是第二象限角，且， 15 sin 4 （1）求 cos2的值； （2）求的值sin() 6 二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 2 sin22sincos()S 22 2 2 2 cos2cossin() 2cos1 1 2sin C 2 2 2tan tan2() 1tan

11、 T 2和角公式、倍角公式之间的内在联系和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式， 中，当TCS, 它们的内在联系如下： 要点二：二倍角公式的逆用及变形要点二：二倍角公式的逆用及变形 1公式的逆用公式的逆用 ；2sincossin2 1 sincossin2 2 2222 cossin2cos11 2sincos2 2 2tan tan2 1tan 2公式的变形公式的变形 ； 2 1 sin2(sincos) 降幂公式： 22 1 cos21 cos2 cos,sin 22 升幂公式： 22 1 cos22cos,1 cos22sin 要点三：两

12、角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1对公式会“正着用”， “逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换 元等； 2掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之(),2()() 间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)； 【典型例题典型例题】 类型一：利用二倍角公式的简单应用类型一：利用二倍角公式的简单应用 例 1.求下列各式的值： （1）； ； （3）sincos 1212 2 15 2sin 212 2

13、 24 sin 15 33 【解析】 11111 12sincossin 2121226224 原式 2 1515 21 2sincos 21226 11133 coscos. 2626224 原式 （3） 22 24223 sin 15(1 2sin 15 )cos30 33333 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值：（1）； （2）； （3）cossincossin 12121212 2 2cos1 8 2 2tan75 1tan 75 【解析】 （1）原式=； 22 3 cossincos 121262 （2）原式=； 2 cos(2)cos 842 （3）原式= 3 tan150t

14、an(18030 )tan30 3 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例 2. 求 sin6sin42sin66sin78的值 【解析】方法一：原式 cos62 48coscos24cos12cos62sin6 6cos2 48coscos242sin24 6cos2 48coscos2412cos2sin12 32 . 16 1 6cos61 cos6 6cos16 96sin 6cos2 48cossin482 4 方法二：设所求为 A，即 A=sin6sin42sin66sin78，设 B=cos6cos42cos66cos78 则

15、= 156sin132sin84sin12sin 16 1 ABB66cos42cos6cos78cos 16 1 1 16 B . 16 1 , 0AB 举一反三：举一反三： 【变式 1】 248 coscoscoscos. 17171717 求值： 【解析】 4 4 248 2 sincoscoscoscos 1717171717 2 sin 17 原式 17 sin2 17 8 cos 17 4 cos 17 2 cos 17 2 sin2 4 3 17 sin2 17 8 cos 17 4 cos 17 4 sin2 4 2 17 sin2 17 8 cos 17 8 sin2 4 1

16、7 sin2 17 16 sin 4 . 16 1 17 sin2 17 sin 17 sin2 ) 17 sin( 44 例 3求值：2sin50sin10 (13tan10 ) 1 cos20 【解析】原式 2 2sin50sin10 (1tan60tan10 )12cos 101 cos60 cos10sin60 sin10 2sin50sin102cos10 cos60 cos10 cos50 2sin50sin102cos10 cos10 cos60 2 2(sin50 cos10cos50 sin10 ) 3 2 2sin(5010 )2 2sin602 26 2 举一反三：举一反

17、三： 【变式 1】求值： 13 sin10cos10 【解析】原式= =4 cos103sin10 sin10 cos10 13 2( cos10sin10 ) 22 sin10 cos10 2sin20 1 sin20 2 【变式 2】求值：sin50 (13tan10 ) 【解析】原式= 3sin10 sin50 (1) cos10 13 sin502( cos10sin10 ) 22 cos10 = = =1 2sin40 cos40 cos10 sin80 cos10 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例 4化简： 2222 1 sinsinco

18、scoscos2 cos2 2 【解析】 方法一：原式 222222 1 sinsincoscos(2cos1) (2cos1) 2 22222222 1 sinsincoscos(4coscos2cos2cos1) 2 222222 1 sinsincoscoscoscos 2 22222 1 sinsincossincos 2 22 111 sincos1 222 方法二：原式 1 cos21 cos21 cos21 cos21 cos2 cos2 22222 111 (1 cos2cos2cos2 cos2 )(1 cos2cos2cos2 cos2 )cos2 cos2 442 111

19、 442 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简下列各式： (1)（2） sinsin2 1 coscos2 22cos82 1 sin8 【解析】(1).tan )cos21 (cos )cos21 (sin cos2cos cossin2sin 2coscos1 2sinsin 2 (2) 原式= = 2 2 2cos 42 1 2sin4cos4 2 2|cos4| 2 (sin4cos4) = = =2cos42|sin4cos4|2cos42cos42sin42sin4 【变式 2】 （1）化简：；（2）若，求的值 2 sin() 4 2cos2sincos1 222 tan3 si

20、n2cos 5cossin 【解析】 （1）； 2 sin()sin()sin() 2 444 sincos2 2cos2sincos12sin() 2224 （2） sin 2 sin2costan2321 cos sin 5cossin5tan5( 3)8 5 cos 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用 例 5求值：（1）已知，求 3 sin() 1225 cos() 6 （2）已知，求sin() 4 m sin2 【解析】 （1）=cos()coscos2 66122 2 1 2sin 122 9 1 2 25 7 25

21、（2）=sin2cos(2 ) 2 2 1 2sin 4 2 12sin 4 2 21m 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，且，求的值 3 cos 45 x 77 124 x 2 sin22sin 1tan xx x 【解析】 原式 2 sin sin22sin cos sin22sin cos 1tan1tan x xxx xx x xx sin2 (1tan ) sin2tan 1tan4 xx xx x ， 77 124 x 5 2 64 x 3 cos0 45 x 3 2 24 x ， 2 4 sin1 cos 445 xx sin 44 tan 43 cos 4 x x x 又

22、， 2 sin2cos21 2cos 24 xxx 2 37 1 2 525 2 sin22sin sin2tan 1tan4 xx xx x 7428 25375 【变式 2】 已知：tan=2，求的值2sin 2 1 sin 4 1 2 解法一：=（转化成了齐次式）2sin 2 1 sin 4 1 2 22 2 22 2 cossin cossinsin 4 1 cossin 2sin 2 1 sin 4 1 = 5 3 14 24 4 1 1tan tantan 4 1 2 2 解法二： tan=2，sin=2k，cos=k 原式 22 11 22(2 )3 42 kkkk（ 又sin2

23、+cos2=1 即（2k）2+k2=1 22 113 ;33 555 kk 原式 例 6已知，且、都是锐角，求 22 3sin2sin13sin22sin202 【解析】 由，得，即 22 3sin2sin1 22 1 2sin3sin 2 cos23sin 由，得3sin22sin20 3 sin2sin2 2 cos(2 )coscos2sinsin2 2 3 cos3sinsinsin2 2 22 3sincos3cossin0 090，090，02702 在 0与 270之间只有 90的余弦值为 0，故290 类型五：二倍角公式的综合应用类型五：二倍角公式的综合应用 例 7已知函数 f

24、（x）=asin x+cos x 的图象经过点(, 1) 2 （1）求函数 f（x）的最小正周期与单调递增区间 （2）若，且，求 sin2的值(0,) 2 1 ( ) 2 f 【解析】 （1）函数的图象经过点，( )sincosf xaxx(, 1) 2 ，即，解得：a=1，()1 2 f sincos1 22 a ，函数 f（x）的最小正周期为 2( )cossin2cos() 4 f xxxx 2 2 1 T 函数 y=cos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ， ，解得：22 4 kxk 5 22 44 kxk 函数 f（x）的单调递增区间为，kZ 5 2,2 44 kk （2）， 1

25、 ( ) 2 f 1 2cos() 42 2 cos() 44 22 23 sin2cos(2 )1 2cos ()1 2 () 2444 【变式 1】已知函数，a 为常数，aR，且 2 ( )sin2cosf xxax()0 4 f （1）求函数 f（x）的最小正周期 （2）当时，求函数 f（x）的最大值和最小值 11 , 2424 x 【解析】 （1）由已知得，即， 2 ()sincos0 424 fa 1 10 2 a a=2， 22 ( )sin22cossin2cos12sin(2) 1 4 f xxxxxx 函数 f（x）的最小正周期为 （2）由，得，则 11 , 2424 x 2

26、 2, 463 x 1 sin(2),1 42 x 2 12sin() 121 24 x 函数 y=f（x）的最大值为；最小值为21 2 1 2 例 8已知 A、B、C 为三个锐角，且 ABC，若向量(22sinA，cosAsinA)与P 向量(sinAcosA，1sinA)是共线向量.q （1）求角 A； （2）求函数 y2sin2Bcos的最大值. 3 2 CB 【解析】 （1）、共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(sinAcosA)，则 sin2A，P q 3 4 又 A 为锐角，所以 sinA，则 A. 3 23 （2）y2sin2Bcos2sin2Bcos， 3

27、 2 CB 3 3 2 BB 2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2B 3 1 2 3 2 sin2Bcos2B1sin(2B)1. 3 2 1 26 B(0，)，2B(，)，2B，解得 B，ymax2. 2 2 6 5 6 6 2 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知向量 m=（sinA，cosA） ，mn=1，且 A 为锐角( 3, 1)n （1）求角 A 的大小； （2）求函数（xR）的值域( )cos24cossinf xxAx 【解析】 （1）由题意，得，3sincos1m nAA ，2sin1 6 A 1 sin 62 A 由 A 为锐角得， 66 A 3

28、A （2）由（1）知， 1 cos 2 A 2 2 13 ( )cos22sin1 2sin2sin2sin 22 f xxxxxx xR，所以 sinx1,1 因此，当时，有最大值，当 sin x=1 时，有最小值3， 1 sin 2 x ( )f x 3 2 ( )f x 所求函数的值域是( )f x 3 3, 2 【巩固练习巩固练习】 1已知，则函数的最小值是（ ）, 12 3 x 44 sincosyxx A1 B C D1 3 2 1 2 1 【答案】A【解析】， 4422222 sincos(sincos)(sincos)cosyxxxxxxx 又，, 12 3 x 2 2 63

29、x 1 cos21 2 x ，函数的最小值是1 1 1cos2 2 x 44 sincosyxx 2化简的结果是（ ） 2 2cos2sin 1 Acos1 Bcos1 C D3cos13cos1 2 【答案】C 【解析】 2+cos2sin21=2+2cos211sin21=2cos21+1sin21=3cos21，原式3cos1 3化简得（ ） 22 1 2sin20 cos20 2cos 101 cos 1601 A B C1 D11 sin40 1 cos20sin20 3 【答案】C 【解析】 2 22 (cos20sin20 )1 2sin20 cos20 cos20sin20 2

30、cos 101 cos 1601 cos20sin20 1 cos20sin20 4已知，则的值为（ ）sin76 cos7 A B C D 1 2 a1 2 a2 2 a 2 a 4 【答案】B【解析】，所以，所以sin76cos14a 2 1 cos141 cos 7 22 a 1 cos7 2 a 5函数是（ ） 2 2cos1 4 yx A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数 2 2 5 【答案】A【解析】，为奇函数，最小正周期为 2 2cos1cos 2sin2 42 yxxx 2 2 6已知 为第二象限角，且，则的值为（

31、） 24 sin2 25 cossin A B C D 7 5 7 5 1 5 1 5 6 【答案】B 【解析】 为第二象限角，cossin0， ， 24 sin2 25 2 247 cossin(cossin)1 sin21 255 7若则 1 sin(), 33 2 cos(2 )() 3 A B C D 7 9 1 3 1 3 7 9 7 【答案】D 8若，则（ ）(sin )3cos2fxx(cos )fx A3cos2x B3sin2x C3+cos2x D3+sin2x 8 【答案】C 【解析】， 22 (sin )3(1 2sin)22sinfxxx 2 ( )22f xx 2

32、2 1 cos (cos )22cos223cos2 2 x fxxx 9若，则 sin2=_ 1 tan4 tan 9 【答案】【解析】若，则 1 2 1 tan4 tan 222 2sincos2tan221 sin22sincos 1 sincostan142 tan tan 10的取值范围是 22 coscos 44 xx 10. 【答案】1,1 11已知，则 tan2=_ 2sincos 3 sincos 11 【答案】【解析】由， 8 15 2sincos2tan1 3 sincostan1 可得：tan=4，那么： 22 2tan2 48 tan2 1tan1 415 12的三个

33、内角为、，当为 时，取得最大值，且这ABCABCAcos2cos 2 BC A 个最大值为 12 【答案】 【解析】 3 60 , 2 2 cos2coscos2sin1 2sin2sin 2222 BCAAA AA 22 13 2sin2sin12(sin) 22222 AAA 当，即时，得 1 sin 22 A 60A max 3 (cos2cos) 22 BC A 13已知，求 1 sinsin 446 , 2 sin4 13 【解析】原式=，sin()cos() 44 11 sin(2 ) 226 ， 是第三象限角， 1 cos2 3 ,22 2 2 ， 2 2 sin2 3 2 21

34、4 2 sin42sin2 cos22 () 339 14在ABC 中，cosA=，tanB=2，求 tan(2A+2B)的值 3 5 14 【解析】由题意知， 44 sin,tan 53 AA tantan tan()2 1tantan AB AB AB 2 2tan()4 tan(22 ) 1tan ()3 AB AB AB 15已知，为的最小正周期，向量，0 4 ( )cos 2 8 f xx 1 tan, 1 4 a ，且，求的值(cos ,2)b mba 2 2cossin2() cossin 15 【解析】因为为的最小正周期，故 =( )cos 2 8 f xx 因为 ab=m，又

35、， 1 costan2costan2 44 a b 故costan2 4 m 由于，所以0 4 22 2cossin2()2cossin(22 ) cossincossin 2 2cossin22cos(cossin)1tan 2cos cossincossin1tan 2costan2(2) 4 m 16已知是第二象限角，且， 15 sin 4 （1）求 cos2的值； （2）求的值sin() 6 16 【解析】 （1）因为是第二象限角， 15 sin 4 2 157 cos21 2sin1 2 168 （2）又是第二象限角，故 151 cos1 164 1531 13 51 sin()() 6424 28