（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.1.2弧度制练习（原卷+解析）.zip

1、试卷第 1 页，总 4 页 5.1.2 弧度制弧度制 一、单选题 1已知半径为 1 的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ） 3 8 ABCD 3 16 3 8 3 4 3 2 2若弧度为的圆心角所对弦长为 m，则该圆心角所对的弧长为（ 2 (0) 2 ） ABCD sin m cos m 2sin m 2cos m 3圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积 2 的最大值为，则的取值范围是（ ） 2 AB 2 ,2 ,2 CD 2 2 , 2 4从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学 的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化

2、圆为方”解决了曲、直两个图形 可以等积的问题如图，在等腰直角三角形中，以 ABCABBC90ABC 为直径作半圆，再以为直径作半圆，那么可以探究月牙形面积（图中 ACABAMB 黑色阴影部分）与面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若 AOB 向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（ ） 试卷第 2 页，总 4 页 ABCD 4 1 1 1 3 2 1 2 1 5如图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）

3、ABCD 6直线 l：xy0 将圆 O：分成的两部分的面积之比为（ ） 2 22 4xy A(4):(8)B(43):(8+3) 3333 C(22):(10+2)D(23):(10+3) 3333 二、填空题 72 弧度的圆心角所对的弦长为 2，这个圆心角所夹的扇形面积的数值是_. 试卷第 3 页，总 4 页 8已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为、面积为，则该 6 5 15 圆锥的体积为_. 9如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转， ABOOPOAO 在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部 (0)AOPxx OPO 分）的面积为，记，对函数有如下

4、四个判断： S ( )Sf x( )f x 当时，； 3 4 x 31 42 S 时，为减函数； (0, )x( )f x 对任意，都有； 0, 2 x 22 fxfx 对任意，都有 0, 2 x ( ) 22 fxf x 其中判断正确的序号是_ 三、解答题 10已知角. 2025 （1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限 2k kZ 02 试卷第 4 页，总 4 页 的角； （2）在区间上找出与角终边相同的角. 5 ,0 11如图，有一块半径为 20 米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四 2 3 AOB 个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中 OCDCMDAOCBOD ）.某次菊花

5、展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红 AOCBOD 霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香 50 元/米 ，紫龙卧 2 雪 30 元/米 ，朱砂红霜 40 元/米 . 22 （1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式； COD y （2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值. 试卷第 1 页，总 12 页 5.1.2 弧度制弧度制 一、单选题 1已知半径为 1 的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ） 3 8 ABCD 3 16 3 8 3 4 3 2 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式，代入相应值即可. 2 1 2 Sr 由得，所以， 2 1 2 Sr 2 3

6、1 1 82 3 4 故选：C. 【名师点评】 本题考查扇形的面积公式，若扇形的圆心角为（弧度制）且为正值，半径为 r，弧 长为 ，周长为，面积为，则，. lCSlr2Crl 2 11 22 Slrr 2若弧度为的圆心角所对弦长为 m，则该圆心角所对的弧长为（ 2 (0) 2 ） ABCD sin m cos m 2sin m 2cos m 【答案】A 【解析】设扇形半径为 r，由题意，利用扇形弧长公式即可得解. 2sin m r 试卷第 2 页，总 12 页 设扇形半径为 r，由已知， 2 sin 2 m m rr 2sin m r 则弧长. 2 sin m lr 故选：A. 3圆锥的母线长

7、为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积 2 的最大值为，则的取值范围是（ ） 2 AB 2 ,2 ,2 CD 2 2 , 2 【答案】A 【解析】设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且，由过圆 锥顶点的截面中，面积的最大值为，明确能取到，从而明确轴截面的中心角为 2 2 的范围，进而得到结果. 设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且 过圆锥顶点的截面的面积为：， 1 2 2 sin2sin 2 又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为， 2 故此时，故 2 2 圆锥底面半径 r 2sin2 2 2 ， 试卷第 3 页，总 12 页 侧面展开图的中心角为弧度 2

8、sin2 2 2sin 22 2 ,2 故选 A. 4从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学 的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形 可以等积的问题如图，在等腰直角三角形中，以 ABCABBC90ABC 为直径作半圆，再以为直径作半圆，那么可以探究月牙形面积（图中 ACABAMB 黑色阴影部分）与面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若 AOB 向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（ ） ABCD 4 1 1 1 3 2 1 2 1 【答案】D 【解析】 月牙形面积等于半圆面积减去弓

9、形部分的面积，从而确定月牙形面积和 AMBAMB 面积的关系，而面积可求，从而求出阴影部分的面积，再求出整个图形的 AOB S AOB S 面积，由几何概型的概率计算公式求解即可. 不妨设，则，则如图，月牙形的面积 2ABa2 2ACa ，所以月牙形的面积和三角形 22 11 ( 2 ) 24 AMBAOBAOB SaaSS 的面积相等，而. 2 2 1 2 2 AOB Saa 试卷第 4 页，总 12 页 整个图形的面积. 2 2 2 1 2(1) 2 Saaa 阴影部分的面积为 2， 2 2 AOB Sa 由几何概型的概率计算公式得：所求概率为. 2 1 故选：D. 5如图，一个直径为 1

10、 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ） ABCD 【答案】A 【解析】 设某时刻两圆相切于点，此时动点所处的位置为点，以切点在如图上运动 AM M A 为例，记直线与此时小圆的交点为，利用弧长公式计算，可知小圆的圆弧 OM1 O 1 M 与圆弧的长相等，可得点与点重合，即动点在线段上运动， 1 AM AM 1 M M MMO 同理可知，此时点在与垂直的线段上运动，再通过观察四个选项可得答案. NMO 如图所示： 试卷第 5 页，总 12 页 由题意可知，小圆

11、总与大圆相内切，且小圆总经过大圆的圆心， 1 O O1 O O 设某时刻两圆相切于点，此时动点所处的位置为点， AM M 则大圆圆弧与小圆转过的圆弧相等， MAM 以切点在如图上运动为例，记直线与此时小圆的交点为， AOM 1 O 1 M 记，则， 0, 2 AOM 1111 OM OM OO 所以， 111111 M O AM OOOM O 2 所以大圆圆弧的长为，小圆圆弧的长为， MA 1 1l 1 AM 2 1 2 2 l 所以， 12 ll 所以小圆的圆弧与圆弧的长相等， 1 AM AM 所以点与点重合，即动点在线段上运动， 1 M M MMO 同理可知，此时点在与垂直的线段上运动，

12、NMO 点在其它位置类似可得，、的轨迹为互相垂直的线段. AMN 观察四个选项可知，只有选项符合. A 故选：A. 6直线 l：xy0 将圆 O：分成的两部分的面积之比为（ ） 2 22 4xy 试卷第 6 页，总 12 页 A(4):(8)B(43):(8+3) 3333 C(22):(10+2)D(23):(10+3) 3333 【答案】B 【解析】根据题意，设直线 l 与圆 O：x2+y2=4 交于点 MN，过点 O 作 OPMN，垂足 为点 P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得MON以及 2 3 |MN|=2；进而计算可得 SMON和 S扇形 OMN的值，据此可得直线 l

13、将圆 O 分成的两 3 部分的面积，计算即可得答案. 解：根据题意，设直线 l 与圆 O：x2+y2=4 交于点 MN，过点 O 作 OPMN，垂足为点 P， 则点 O 到直线 l 的距离|OP|1， 2 1 1 又由圆 O：x2+y2=4 的半径|OM|=r=2，则MOP，则MON； 3 2 3 同时|MP|，则|MN|=2， 22 |4 13OMOP 3 且 SMON|OP|MN|， 1 2 3 则 S扇形 OMNr2， 12 23 4 3 试卷第 7 页，总 12 页 则劣弧对应的弓形的面积 S1， 4 3 3 另一部分的面积 S2=r2S1=4()， 4 3 3 8 3 3 故两部分的

14、面积之比(43)：(8+3). 1 2 4 3 43 3 3 8 83 3 3 3 S S 33 故选：B. 二、填空题 72 弧度的圆心角所对的弦长为 2，这个圆心角所夹的扇形面积的数值是_. 【答案】 2 1 sin 1 【解析】计算，所对的弧长，计算面积得到答案. 1 sin1 r AOB 2 sin1 l 如图，在中，由，得， Rt AOC1AOCrad1AC 1 sin1 r 1 sin1 r 所对的弧长，扇形的面积. AOB 2 2 sin1 lr 2 1211 2sin1sin1sin 1 S 扇 故答案为：. 2 1 sin 1 试卷第 8 页，总 12 页 8已知圆锥的侧面展

15、开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为、面积为，则该 6 5 15 圆锥的体积为_. 【答案】12 【解析】先由扇形的圆心角为、面积为，求出圆锥的母线长及底面圆半径， 6 5 15 再利用勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可. 解：由扇形的面积公式有：，解得 ， 2 1 2 SR 2 16 15 25 R 5R 由弧长公式有，即，即该圆锥的母线长为，底面圆周长为 lR 6 56 5 l 5 ， 6 即底面圆半径为 3，由勾股定理可得圆锥的高为， 22 534 由圆锥的体积公式可得， 2 1 3412 3 V 故答案为. 12 9如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转

16、， ABOOPOAO 在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部 (0)AOPxx OPO 分）的面积为，记，对函数有如下四个判断： S ( )Sf x( )f x 当时，； 3 4 x 31 42 S 时，为减函数； (0, )x( )f x 试卷第 9 页，总 12 页 对任意，都有； 0, 2 x 22 fxfx 对任意，都有 0, 2 x ( ) 22 fxf x 其中判断正确的序号是_ 【答案】 【解析】先求出，再逐一判断每个选项的正误得到答案. 1 sin2 2 Sxx 如图，设圆心为交圆于另一点，连接， ,C OP D ,CO CD 则 22OCDAOPx 111 211

17、1 sin2sin2 222 Sxxxx 当时， ，故正确； 3 4 x 31331 sin 42242 S 在上为增函数，故错误； 1 cos20,SxS (0, ) 试卷第 10 页，总 12 页 当时， 0, 2 x 故正 11 sin(2 )sin(2 ) 222222 fxfxxxxx 确； 当时， 0, 2 x 111 sin(2 )sin2 ,( )sin2 22222222 fxxxxx f xxx 故错误. ( ) 22 fxf x 故答案为 三、解答题 10已知角. 2025 （1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限 2k kZ 02 的角； （2）在区间上找出与角

18、终边相同的角. 5 ,0 【答案】 （1），是第三象限角；（2） 5 10 4 19113 , 444 【解析】 （1）先把度数改写弧度，再改写成形式，并确定所在象限； 2k （2）解不等式可得结论 520k （1），是第三象限角，是第三 2025 455 202510 18044 5 4 试卷第 11 页，总 12 页 象限角 （2）由得，因为，对 5 520 4 k 255 88 k kZ 3, 2, 1k 应角依次为 19113 , 444 11如图，有一块半径为 20 米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四 2 3 AOB 个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中 OCDCMDAOCBO

19、D ）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红 AOCBOD 霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香 50 元/米 ，紫龙卧 2 雪 30 元/米 ，朱砂红霜 40 元/米 . 22 （1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式； COD y （2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值. 【答案】 （1），其中，.（2）当 y 16000 4000 sin2000 3 2 0 3 时，日效益总量可取得最大值. 3 【解析】 （1）利用扇形面积公式可求出四个区域的面积，从而可计算出日收益 （2）利用导数可求得日收益的最大值 （1）依题意得，则 2 3 232 AOC 试卷第 12 页，总 12 页 22 11 2040 220sin50 2322 y 22 11 2020sin30 22 1600010000 sin60006000sin 32 ，其中，. 16000 4000 sin2000 3 2 0 3 （2）， 4000 cos2000y 令，得， 0y 3 当，当时， 0 3 0y 2 33 0y 所以，是函数的极大值点，且唯一； 3 从而当时，日效益总量可取得最大值. 3