1、立德树人 和谐发展 3.2.1 单调性与最大(小)值（第2课时） 第3章 函数的概念与性质 立德树人 和谐发展 【观察】观察函数 的图像可以发现，二次 函数的图像上有一个最低点(0，0)，即： 函数的最值(最大值和最小值) 当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值. 【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有： ，那么我们就称 是函数的最小值； 反之，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有： ，那么我们就称 是函数的最大值. 立德树人 和谐发展 【常用结论与表达方式】 函数的最值(最大值和最小值) 【1】若函数 在区间 上单调递增，那么函数的最小值 ，最大值 【2】若
2、函数 在区间 上单调递减，那么函数的最小值 ，最大值 【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图： 立德树人 和谐发展 在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质， 这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质. 先研究二次函数 的单调性.画出图像， 可以看到，当x0时，y随x的增大而减小，也就是说， 任意取 ，得到 ， 有 .这时我们就说函数 在区间 (-，0上是单调递减的. 同理，函数 在0,+)上是单调递增的. 探索新知 立德树人 和谐发展 因为 ，所以 【问题问题】如何判断本题中 的大小？ 【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到 【2】做差法： 所以 探索
3、新知 立德树人 和谐发展 在区间(-，0单调递减； 在区间0，+)单调递增. 【思考】函数 和函数 各有怎样的单调性？ 【解】作出两个函数的图像，由图像可知： 函数 在区间(-，0单调递增； 在区间0，+)单调递减. 探索新知 立德树人 和谐发展 一般地，设函数 的定义域为S，区间 ，如果 ， 当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调 递增.特别地，若函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它为 增函数. 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调递减.特别地，若函数 在它的定义域上单调递减时， 我们就称它为减函数. 函数具有单调性的的区间叫做单调区间. 单调性的定义 立德树人
4、和谐发展 【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？ （1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S. （2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|， S=(-，+)，当A= (-，0时，函数单调递减. （3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数. 单调性的定义 立德树人 和谐发展 函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )： 【1】 在D上为增函数； 【2】 在D上为减函数； 【3】 在D上为增函数； 【4】 在D上为减函数. 单调性的定义 立德树人 和谐发展 【1】判断(证明)单调性： 【2】比较函数值大小
5、： 【3】已知函数值大小比较自变量： 并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数 虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性. 单调性的定义 立德树人 和谐发展 【例题1】根据定义，研究函数 的单调性. 【解】函数 的定义域是R，对于任意的 且 ， 由 知 ，所以： 当 时， ，即 ， 这时，函数 是增函数； 当 时， ，即 ， 这时，函数 是减函数； 例题讲解 立德树人 和谐发展 且 ，有： 【例题2】物理学中的玻意耳定律 ( 为正常数)告诉我们，对于一定量的 气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明. 【分析】根据题意，只要证明函数 是减函数即可. 【证明】 由 得 ；由 得 又 ，所以 即 所以函数 是减函数.问题得证. 例题讲解 立德树人 和谐发展 课堂小结 立德树人 和谐发展 作业本作业本A 1、教材教材P85-86 复习巩固复习巩固 1 2 3 (必做必做) 2、教材教材P 86 综合运用综合运用 8 9 课后作业
