（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.3诱导公式同步讲义.doc

1、5.3 诱导公式诱导公式 知识梳理知识梳理 1、公式二： tan)tan( cos)cos( sin)sin( 2、公式三： tan)tan( cos)cos( sin)sin( 3、公式四： tan)tan( cos)cos( sin)sin( 4、公式五： sin)cos( cos)sin( 2 2 5、公式六： sin)cos( cos)sin( 2 2 6、记忆法则： 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“ 2 kkZ”中的k是奇数还是偶 数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号 看象限”指的是在“

2、 2 kkZ”中，将看成锐角时，“ 2 kkZ”的终边所在的象限 知识典例知识典例 题型一 诱导公式化简 例 1化简： 3 sin(-3 )cos(2 -)sin - 2 cos(- -)sin(- -)sin 2 【详解】 原式= ( sin) cos( cos ) 1 ( cos ) sincos 巩固练习巩固练习 化简： 9 sincos 3coscos 2 11 cos 2sinsinsin 22 原式 sincoscossin tan cossincoscos 题型二 诱导公式与同角三角函数关系 例 2已知 tan0， （1）若 2 5 sin, 5 求 2sin()cos(2) 3

3、 cos()sin() 22 的值; （2）若 2 1 sinsincos, 5 求 tan的值. 【答案】（1）5；（2） 1 tan 2 或 1 tan 3 【分析】 （1）利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，可得tan的值，再利用诱导公式求得要求式子的值 （2）利用同角三角函数的基本关系求得 2 2 tantan1 tan15 ，由此求得tan的值 【详解】 （1）tan0， 2 5 sin 5 ， 为第四象限角， 2 5 cos1 sin 5 ， sin tan2 cos ， 2sin()cos(2)2sincos2tan1 5 3 sincostan1 cos()sin() 2

4、2 （2） 2 1 sinsincos 5 ， 22 222 sinsincostantan1 sincostan15 ， 1 tan 2 ，或 1 tan 3 巩固练习巩固练习 化简: （1）设tan3，求 sin()cos() sincos 22 . （2）已知 sin3cos 5 3cossin ，求 2 sinsincos . 【答案】（1）2；（2） 2 5 . 【分析】 （1）根据诱导公式化简，代入tan3求值即可； （2）由已知可得tan2a ，化弦为切，代入求值即可. 【详解】 tan3， 则 sin()cos() sincos 22 aa aa sin( cos )sinco

5、s cos( sin )sincos aaaa aaaa tan13 1 2 tan13 1 a a . （2）依题意得： tan3 5 3tan a a ， tan2a ， 2 2 22 sinsincos sinsincos sincos aa aaa aa 2 2 tantan tan1 aa a 2 2 22 21 2 5 . 题型三 三角函数定义与诱导公式 例 3已知( 3, 7)P 是角终边上一点，则sin( )_. 【答案】 7 4 【分析】 利用任意角的三角函数的定义，求得 7 sin 4 ，进而利用诱导公式求出sin()的值 【详解】 ( 3, 7)P 是角终边上一点，则 2

6、 2 3,7,374xyr 7 sin 4 sin() 7 sin 4 . 故答案为： 7 4 巩固练习巩固练习 若角终边上一点坐标为5,12，则 sin 2 _. 【答案】 5 13 【分析】 根据三角函数定义和诱导公式化简求值可得答案. 【详解】 因为角终边上一点坐标为5,12， 所以是第二象限角， 5 cos()cos 13 ， 5 cos 13 则 5 sincos 213 ， 故答案为： 5 13 . 题型四 诱导公式的应用 例 4已知 1 cos() 3 ，则 3 sin 2 的值为_. 【答案】 1 3 【分析】 先利用诱导公式化简 1 cos() 3 ，得 1 cos 3 ，再

7、利用诱导公式化简 3 sin 2 ，从而可得结果 【详解】 解：由 1 cos() 3 ，得 1 cos 3 ， 所以 31 sincos 23 ， 故答案为： 1 3 巩固练习巩固练习 若 2 sin 45 ，则 cos 4 _ 【答案】 2 5 【分析】 由 cossinsin 4244 ，可得出答案. 【详解】 因为 2 sin 45 ，所以 2 cossinsin 42445 . 故答案为： 2 5 . 巩固提升巩固提升 1、已知tan2= -，则 sin(7)5cos(2) 3 3sin()sin() 2 _. 【答案】 3 5 - - 【解析】 【分析】 利用三角函数的诱导公式化简

8、为tan的齐次式即可 【详解】 sin(7)5cos(2)sin5costan53 = 3 3cossin3+tan5 3sin()sin() 2 故答案为： 3 5 - - 2、已知 4 cos 5 ，且为第三象限角，则tan的值等于_； 【答案】 3 4 【分析】 根据条件以及诱导公式计算出cos的值，再由的范围计算出sin的值，最后根据商式关系： sin tan cos 求得 tan的值. 【详解】 因为 4 cos 5 ，所以 4 cos 5 ， 又因为 2 sin1 cos 且为第三象限角，所以 3 sin 5 ， 所以 sin3 tan cos4 . 故答案为： 3 4 . 3、已

9、知 3 cos(),sin cos0 5 ，则sin(7 )的值为_ 【答案】 4 5 【分析】 根据诱导公式化简得到 3 cos 5 ，根据同角三角函数得到 4 sin 5 ，化简sin(7 )得出答案. 【详解】 3 cos()cos 5 , 3 cos 5 ， sincos0, 2 34 sin1 55 , 4 sin(7 )=sin()sin()=sin 5 . 故答案为： 4 5 . 4、已知 1 tan 3 ，0, 2 . （1）tan 2019； （2） sin2cos 2 5sincos 22 . 【答案】（1） 1 3 ；（2） 1 2 . 【分析】 （1）利用诱导公式对ta

10、n 2019进行化简后代入 1 tan 3 求值即可； （2）先利用诱导公式进行化简，然后弦化切，代入 1 tan 3 求值即可. 【详解】 因为 1 tan 3 ，0, 2 ，cos0， （1） 1 tan 2019tan 3 ； （2） sin2cos 2sin2cos 5cossin 5sincos 22 sin1 22 tan21 cos3 sin1 5tan2 55 cos3 . 5、已知 3 = coscos 2sin 22 3 sinsin 2 f a （1）化简 f a； （2）若是第三象限角，且 31 cos 25 ，求 f a的值 【答案】(1)cos；(2) 2 6 5

11、f . 【解析】 试题分析： (1)利用诱导公式化简 f= sincoscos cossin = cos ；(2)由诱导公式可得 1 sin 5 ，再利用同角三角函 数关系求出cos即可 试题解析： （1） 33 coscos 2sinsincossin 222 3sin ( cos) sinsin 2 f sincos( cos) cos sin( cos) （2） 31 cos 25 sin , 1 5 sin ， 又为第三象限角， 2 12 6 1 55 cos ， 2 6 5 f 6、已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 12 5 , 13 13 P

12、 （1）求sin的值； （2）若角就是将角的终边顺时针旋转 3 2 得到，求5sin5cos3tan的值 【答案】（1） 5 13 ；（2） 43 65 【分析】 （1）直接利用三角函数定义结合诱导公式计算得到答案. （2） 3 2 ，带入式子利用诱导公式化简，带入数据得到答案. 【详解】 （1）根据题意： 22 5 5 13 sin 13 512 1313 ， 22 12 12 13 cos 13 512 1313 ， sin5 tan cos12 ， 5 sinsin 13 . （2）根据题意： 3 2 ， 故 333 5sin5cos3tan5sin5cos3tan 222 312512

13、43 5cos5sin553 tan1313565 . 7、计算下列各式的值. （1）已知tan3，求 2 cos2sincos1 ； （2）若角是第三象限角，且 31 cos 25 ， 11 sin(2)coscos 22 ( ) 5 sin(3 )sin()sin 2 f ，求( )f 【答案】（1） 3 2 （2） 6 12 【分析】 （1）运用同角三角函数关系 sin tan cos 进行化简,然后代入tan3求出结果. （2）运用诱导公式进行化简,然后求出结果. 【详解】 （1）运用同角三角函数关系化简得: 22 2 2222 cos2sincos12sincossin cos2sincos1 sincossincos 2 2 2tantan tan1 ,又因为tan3,故原式 2 2 2 333 312 . （2）已知角是第三象限角，且 31 cos 25 ,由诱导公式得 1 sin 5 ,所以 2 2 6 cos1 sin 5 , 则 sin6 tan cos12 ， 11 sin(2)coscos sinsin( sin)22 ( )tan 5( sin)sincos sin(3 )sin()sin 2 f 则 6 ta) 12 (nf .