（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.5三角恒等变换同步讲义.doc

1、5.5 三角函数恒等变换三角函数恒等变换 知识梳理知识梳理 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sincoscossin cos( )sinsincoscos tan() tan tan 1 tan tan . 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2cossin2 cos 2cos2sin22cos2112sin2 tan 2 2tan 1tan2 3、函数 f()asin bcos (a，b 为常数)，可以化为 f() a2b2sin()（其中 a b tan）或 f() a2b2cos( )（其中 b a tan） 4、公式变形： （1）tan tan tan()(1 t

2、an tan ). （2）cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . （3）1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos 2)sin( 4 5、三角函数式的化简要遵循“三看”原则 6、三角函数式化简的方法 （1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂 （2）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次 7、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式； （2）构造)cossin()(x ba b x ba a baxf 2222 22 （

3、3）和角公式逆用，得 f(x) a2b2sin(x)(其中为辅助角)； （4）利用 f(x) a2b2sin(x)研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 知识典例知识典例 题型一 基本公式 例 1sin45 cos15cos45 sin15 的值为（ ） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 【答案】D 【分析】 利用两角和与差的正弦公式直接求解即可. 【详解】 解： 3 sin45 cos15cos45 sin15sin(4515 )sin60 2 故选：D. 巩固练习巩固练习 cos45 cos15sin45 sin15（） A 1 2 B 1 2 C

4、 3 2 D 3 2 【答案】A 【分析】 逆用余弦的和角公式即可求解. 【详解】 解：根据余弦的和角公式有 1 cos45 cos15sin45 sin15cos 4515cos60 2 故选：A. 题型二 三角恒等变换 例 2（多选）下列四个等式其中正确的是（） Atan25 tan353tan25 tan353 B 2 tan22.5 1 1tan 22.5 C 22 1 cossin 882 D 13 4 sin10cos10 【答案】AD 【分析】 根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角恒等变换一一计算可得答案. 【详解】 A 选项， tan25tan35 tan(253

5、53 1tan25 tan3 ) 5 tan25tan353(1tan25 tan3533tan25 t)an35 tan25tan353tan25 tan3533tan25 tan353tan25 t an353 所以正确； B 选项， 2 tan22.5tan22.5 tan451 1tan 22.5 ， 2 tan22.51 1tan 22.52 ，所以错误； C 选项， 22 2 cossincos(2)cos 88842 ，所以错误； D 选项， 13 2( cos10sin10 ) 13cos103sin10 22 sin10cos10sin10 cos10sin10 cos10

6、2(sin30 cos10cos30 sin10 )2sin20 4 11 2sin10 cos10sin20 22 所以正确. 故选：AD. 巩固练习巩固练习 （多选）化简下式，与tan相等的是（） A 1cos2 1cos2 B 1 cos(2 )1 ,(0,) 2cos C 1cos2 sin2 D sin2 1 cos2 【答案】BC 【分析】 利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简可得； 【详解】 解：对于 A： 2 2 2 22 112sin 1 cos2sin tantan 1cos212cos1cos ，由 1 cos2 0 1cos2 解得 1cos21 ，即22kkZ，

7、解得 2 kkZ ，故 A 错误； 对于 B：因为 (0,) 所以 2 1 cos(2 )11 cos211 sintan 2cos2coscos n s sisin cosco ， 故 B 正确； 对于 C： 2 1 cos22sinsin tan sin22sincoscos 对于 D： 2 sin22sincoscos tan 1 cos22sinsin 故选：BC 题型三 角度组合 例 3若0 2 ， 2 ， 1 cos 43 ， 3 cos 423 ，则cos 2 （） A 5 3 9 B 5 3 9 C 3 3 D 3 3 【答案】D 【分析】 利用同角三角函数的平方关系求得sin

8、 4 、sin 42 的值， 利用两角差的余弦公式可求得cos 2 的值. 【详解】 0 2 Q， 2 ，则 3 444 ， 3 2424 ， 2 2 2 sin1 cos 443 ， 2 6 sin1 cos 42423 ， 因此， coscoscoscossinsin 2442442442 132 263 33333 . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题. 巩固练习巩固练习 已知 13 cos(),cos,0,0, 3422 ，求sin的值 【答案】 76 2 12 【分析】 根据同角三角函数关系结合角度范围得到 2 in( 2 s) 3 ，

9、 7 sin 4 ，再利用和差公式化简得到答案. 【详解】 1 cos() 3 ，0, 2 ，故 2 sin()1 co) 3 2 2 s ( ， 3 cos 4 ，0, 2 ，故 2 7 sin1 cos 4 ， sinsinsincoscossin 2 23176 27 343412 . 题型四 角度求解 例 4已知 2 53 10 cos,cos() 510 ，且0 2 ，求的值（） A 6 B 4 C 3 D 5 12 【答案】B 【分析】 根据角度范围得到 510 sin,sin() 510 ，利用和差公式展开sinsin解得答案. 【详解】 0 2 ，故0, 2 ， 2 53 10

10、 cos,cos() 510 ， 故 510 sin,sin() 510 ， 2 sinsinsincoscossin 2 ，故 4 . 故选：B. 巩固练习巩固练习 已知, 都是锐角，且 4 311 sin,cos() 714 ，求角的值. 【答案】 3 【分析】 先求得cos ,sin的值，由此求得cos的值，进而求得的值. 【详解】 由于, 都是锐角，所以0 ，所以 2 1 cos1sin 7 ， 2 5 3 sin1cos 14 ，所以 coscoscoscossinsin 1115 34 3491 147147982 . 由于为锐角，所以 3 . 题型五 简单的三角函数变换 例 5已

11、知 2 ( )2cos2 3sincosf xxxxa(a 为实常数). （1）当定义域为 R 时，求 ( )f x的单调递增区间； （2）当定义域为0, 2 时， ( )f x的最大值为 4，求实数 a 的值. 【答案】（1）, 36 kkkZ ；（2）1 【分析】 （1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数 ( )f x，进而求得单调递增区间； （2）由（1）得( )2sin(2)1 6 f xxa ，再求出2 6 x 的取值范围，进而得到函数的最大值，从而求得实数 a 的值. 【详解】 （1） 2 ( )2cos2 3sincosf xxxxa 2 2cos1 13sin2xxa 3sin2

12、cos21xxa 2sin(2)1 6 xa ， 222, 26236 kxkxkkkZ ， ( )f x的单调递增区间为, 36 kkkZ ； （2）0, 2 x ， 7 2 666 x ， 当2 62 x ，即 6 x 时， max ( )2141f xaa . 巩固练习巩固练习 函数 2 sin22 3sinyxx的最小正周期T为_，最大值为_ 【答案】 23 【解析】 2 1 cos2 sin22 3sinsin22 3sin23cos23 2 x yxxxxx 2sin 23 3 x ，函数 2 sin22 3sinyxx的最小正周期T为，最大值为23，故答案为 23，. 巩固提升巩

13、固提升 1、若 1 sin 63 ，则 5 sin 2 6 （） A 7 9 B 1 3 C 8 9 D 2 3 【答案】A 【分析】 利用三角函数诱导公式及二倍角公式进行化简计算. 【详解】 5 sin 2sin 2cos 2 6626 2 27 1 2sin1 699 . 故选：A 2、已知 3 cos 5 ， 5 sin 13 ，且0, 2 ，,0 2 ，则cos （） A 33 65 B 56 65 C 33 65 D 56 65 【答案】B 【分析】 利用同角三角函数基本关系求得sin，cos，将coscos 展开代入求解即可 【详解】 0 2 0 2 ，0 .又 3 cos 5 ，

14、 2 4 sin1 cos 5 .0 2 ， 5 sin 13 ， 12 cos 13 ， 56 coscoscoscossinsin 65 . 故选 B 3、已知tan3，则 3 cos2 2 （） A 4 5 B 3 5 - -C 3 5 D 4 5 【答案】C 【分析】 本题首先可以通过诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将 3 cos2 2 转化为 2 2tan tan1 ，然后代入 tan3并计算即可得出结果. 【详解】 3 cos2cos2sin2 22 222 2sincos2tan 2sincos sincostan1 ， 因为tan3，所以 2 32 33 cos2 23

15、15 ， 故选：C. 4、若 10 3sincos 5 ，那么cos 3 （） A 10 5 B 10 5 C 10 10 D 10 10 【答案】D 【分析】 由辅助角公式化简 10 3sincos2cos() 35 ，由此可求出结果. 【详解】 因为 3110 3sincos2(sincos)2cos() 2235 ， 10 cos() 310 ， 故选：D. 5、已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1f xxxx，则（） A ( )f x的最小正周期为，最大值为3 B ( )f x的最小正周期为，最大值为4 C ( )f x的最小正周期为2，最大值为3 D ( )f x的最小

16、正周期为2，最大值为4 【答案】B 【分析】 先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，即可得到最大值，利用周期公式 2 T 求周期； 【详解】 由题 2 2 3sin cos2cos13222222 6 f xxxxsin xcos xsinx （） 最大值为 4 ， 2 2 T 故选 B. 6、若0 2 ，0 2 - ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 423 ，则cos() 2 （） A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 【答案】C 【分析】 由于cos()cos()() 2442 cos()cos() 442 sin()sin() 44

17、2 ，所以先由已知条件求出 sin() 4 ，sin() 42 的值，从而可求出答案 【详解】 cos()cos()() 2442 cos()cos() 442 sin()sin() 442 ， 因为0 2 ，0 2 - ， 所以 3 (,) 444 ，(,) 424 2 ， 因为 1 cos() 43 ， 3 cos() 423 ， 所以 2 2 sin() 43 ， 6 sin() 423 ， 则 132 265 3 cos() 233339 故选：C 7、 1 sincos 445 ，则cos2的值为（） A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 【答案】C 【分析】

18、根据两角和与差的三角公式展开后求得cos的值，然后利用二倍角公式求得结果. 【详解】 1 sincos 445 221 cossincossin 225 2 cos 10 ， 2 124 cos22cos121 5025 ， 故选：C. 8、已知 3 cos 5 ，,0 2 （1）求tan，sin2的值； （2）求sin 3 的值 【答案】（1） 4 3 ， 24 25 ；（2） 3 34 10 【分析】 （1）首先利用同角三角函数关系求出 4 sin 5 ，从而得到 4 tan 3 ，再利用正弦二倍角公式计算sin2即可. （2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案. 【详解】 （1）因为

19、 3 cos 5 ，,0 2 ，所以 2 34 sin1= 55 ， 所以 4 sin4 5 tan 3 cos3 5 ， 24 sin22sincos 25 . （2） 33143 34 sinsincoscossin 333252510 . 9、已知 4 3 sin 7 ，, 2 . （1）求 2 sin 2 的值； （2）若 3 3 sin() 14 a ，0, 2 ，求的值. 【答案】（1） 2 4 sin 27 （2） 3 【分析】 （1）由平方关系得出cos的值，利用半角公式求解即可； （2）由，的范围得出的范围，利用平方关系得出cos()a的值，再利用两角差的正弦公式化简求值即

20、可. 【详解】 （1）因为 4 3 sin 7 ，, 2 ， 所以 2 1 cos1sin 7 . 从而 2 1cos4 sin 227 . （2）因为, 2 ，0, 2 ， 所以 3 , 22 所以 2 13 cos()1sin () 14 a . 所以 3 31134 3 sinsin()sin()coscos()sin 147147 3 2 ， 3 . 10、已知函数 2 5 3 ( )5sin cos5 3cos() 2 f xxxxxR. （1）求 ( )f x最小正周期； （2）确定 ( )f x的递增区间； （3）当 x 取何值时，函数有最大值？ 【答案】（1）；（2） 5 ,

21、1212 kkkZ ；（3）当 5 , 12 xkkZ时，函数有最大值 5 【分析】 （1）利用三角恒等变换的公式，以及辅助角公式，化简函数为 5sin(2) 3 f xx ，利用最小正周期的公式，即可求 得函数的最小正周期； （2）利用正弦型函数的性质，列出不等式，即可求得函数的单调递增区间； （3）由正弦型函数的性质，由sin(2)1 3 x 时，函数取得最大值及相应的x的值. 【详解】 （1）由题意，函数 2 5 3 ( )5sincos5 3cos 2 f xxxx 2 55 355 3 sin2(2cos1)sin2cos25sin(2) 22223 xxxxx ， 所以函数 fx的

22、最小正周期为 2 2 T . （2）令222, 232 kxkkZ ，解得 5 , 1212 kxkkZ ， 即函数 fx的单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ . （3）由（1）知函数 5sin(2) 3 f xx ， 当sin(2)1 3 x ，即22, 32 xkkZ ，解得 2 5 , 1 xkkZ， 即当 2 5 , 1 xkkZ，函数取得最大值，最大值为 5. 11、已知 3510 ,sin,cos 2510 ，求角的值. 【答案】 4 【分析】 求得sin的值，由此求得角的值. 【详解】 由于 3 , 2 ，所以 3 , 222 . 所以 2 2 52 5 cos1 sin

23、1 55 ， 2 2 103 10 sin1 cos1 1010 ， 5102 53 10 sinsincoscossin 510510 5 230 22 50502 . 由于 22 ，所以 4 . 12、如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P. （1）若点P的横坐标为 3 5 - -，求cos2sincos的值. （2）若将OP绕点O逆时针旋转 4 ，得到角(即 4 )，若 1 tan 2 ，求tan的值. 【答案】（1） 1 5 （2） 1 3 【分析】 （1）由三角函数的定义知， 3 cos 5 ， 4 sin 5 ，又 2 cos22cos1 ，代入即可得到答案； （2）利用公式 tantan tan 1tantan 计算即可. 【详解】 （1）P在单位圆上，且点P的横坐标为 3 5 - -，则 3 cos 5 ， 4 sin 5 ， 2 cos2sincos2cos1 sincos 9341 21 25555 . （2）由题知 4 ，则 4 则 1 tantan1 1 42 tantan 1 43 1tantan1 42 .