（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册期末复习第4章指数函数和对数函数复习测试题（1）.doc

1、指数函数和对数函数复习测试题一指数函数和对数函数复习测试题一 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1设 1 2021 2020 2020,2021ablog， 2021 1 log 2020 c ，则a，b，c的大小关系为() AabcBcbaCbacDacb 2设函数( )f x的图象与2x ay 的图象关于直 线yx 对称，若2020mn， ( 2 )( 2 )2 mn ff，则(a ) A1011B1009C1009D1011 3已知函数2xyx，ylnxx，ylgxx的零点依次为 1 x、 2 x、 3 x，则 1 x、 2 x、 3 x 的大小关系为() A 123 xxx

2、B 213 xxxC 231 xxxD 132 xxx 4已知关于x的方程|2| 21 x mm有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A(，1B 1 ( ,1) 2 C1，)D(1,) 5 函数( )yf x满足(2)( )f xf x ， 当( 2x ，2时， 2 ( )1f xx， 则( )f x在0，2020 上零点值的个数为() A1009B1010C2019D2020 6当 1 (0, ) 2 x时，函数 2 ( )log ( 4log) aa f xxx的图象恒在x轴下方，则实数a的取值范 围是() A 2 ,1) 2 B 2 (0,) 2 C 2,)D(0,1) 7L

3、ogistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数( )(I t t的单位：天）的Logistic模型： 0.23(52) ( ) 1 t K I t e 其 中K为最大确诊病例数当( *)0.95I tK时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )( 193)ln A60B65C66D69 8已知函数 2 (3),0 ( ) 2 ,0 xx f x xx k k ，若函数( )()( )g xfxf x有且只有四个不同的零点， 则实数k的取值范围是() A(, 4) B(4,) C(，0)(4，)D(，4)(4，) 二多选题（共二多

4、选题（共 6 小题）小题） 9设01ab，01c，则() A(1)(1) ab ln cln cB(1)(1) ab cc C baa aabDloglog cc ab 10已知函数 1 ( ) |( )1| 2 x f xb有两个零点，分别为 1 x， 212 ()xxx，则下列结论正确的是 () A 1 10 x B 2 02x C 12 11 ( )( )2 22 xx D01b 11已知定义在R上的函数( )f x满足()( )0fxf x，且当0 x时， 2 ( )2f xxx，则可 作为方程( )(1)f xfx实根的有() A 13 2 B 1 2 C 13 2 D 33 2 1

5、2已知正数x，y，z满足346 xyz ，则下列说法中正确的是() A 111 2xyz B346xyzC 3 (2) 2 xyzD 2 2xyz 三填空题（共三填空题（共 7 小题）小题） 13已知2lga，103 b ，试用a、b表示 12 log25 14已知关于x的方程 2 12 221 xax xax 在区间 1 2 ，3上有两个不相等的实数根，则 实数a的取值范围为 15已知函数 2 |,0, ( ) 43,0, lnx x f x xxx 若函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点，则 m的范围为 16已知函数 2 ,221 ( )() 2,212

6、 xx f xZ xx kk k k kkk ，( ) |g xlgx，则函数( )( )( )h xf xg x 的零点个数为 四解答题（共四解答题（共 10 小题）小题） 17已知 2 ( )3f xxax （1）若( )0f x 对任意的 1 2a，4恒成立，求x的取值范围； （2）试判断( )yf x在 1 2 ，4上的零点个数 18已知某工厂生产机器设备的年固定成本为 200 万元，每生产 1 台还需另投入 20 万元， 设该公司一年内共生产该机器设备x台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为( )R x万 元，且 800 40,030 ( ) 2801000 ,30 x x R x

7、 x x x （1）求年利润y（万元）关于年产量x（台)的函数解析式； （2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润 19已知函数( )() 1 m f xxmR x （1）当1m 时，解不等式( )1(1)f xf x ； （2）设3x，4，且函数( )3yf x存在零点，求实数m的取值范围 20已知函数 2 3,1 ( )() 43,1 x a x f xaR xxx 且(f f（1）)0 （1）求a的值，并在直角坐标系中作出函数( )f x的大致图象 （2）若方程( )0f xb有三个实数解，求实数b的取值范围 21 （1）作出( )|4|f xx x的图象，

8、并讨论方程( )f xm的实根的个数； （2）已知函数( )|()f xx xaa aR，若存在3x，5，使( )0f x 成立，求实数a的 取值范围 22已知函数( )(1) x f xln exk是偶函数（其中e为自然对数的底数，2.71828)e （1）求k的值； （2）若方程 1 ( ) 2 f xxb在区间 1，0上有实数根，求实数b的取值范围 指数函数和对数函数复习测试题一指数函数和对数函数复习测试题一 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1设 1 2021 2020 2020,2021ablog， 2021 1 log 2020 c

9、 ，则a，b，c的大小关系为() AabcBcbaCbacDacb 【分析】利用指数与对数函数的单调性，即可得出大小关系 【解答】解： 1 2021 20202021 1 2020120210log 2020 ablogc ， 则a，b，c的大小关系为abc 故选：A 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2设函数( )f x的图象与2x ay 的图象关于直 线yx 对称，若2020mn， ( 2 )( 2 )2 mn ff，则(a ) A1011B1009C1009D1011 【分析】在函数( )yf x的图象上取点( , )x y，则关于直线yx

10、对称点为(,)yx，代入 2x ay ，结合题目条件可得答案 【解答】解：因为函数( )yf x的图象与2x ay 的图象关于直线yx 对称， 令( 2 ) m fp，( 2 ) n fq，则2pq； 故( p，2 ) m ，( q，2 ) n 在2x ay 的图象上， 所以22 mp a ，22 nq a ，即 mpa nqa ， 两式相加得()2mnpqa ， 所以2202022022amnpq， 解得1011a ， 故选：A 【点评】本题考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 3已知函数2xyx，ylnxx，ylgxx的零点依次为 1 x、 2 x、 3 x，则 1 x

11、、 2 x、 3 x 的大小关系为() A 123 xxxB 213 xxxC 231 xxxD 132 xxx 【分析】化函数的零点为方程的根，利用估算法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行 零点的大小比较问题是解决本题的关键必要时结合图象进行分析，从而可得答案 【解答】解：已知函数2xyx，ylnxx，ylgxx的零点依次为 1 x、 2 x、 3 x， 20 x yx时，2xx ，即 _1 1 2xx ， ylnxx时，lnxx ，即 22 lnxx ， ylgxx时，lgxx ，即 33 lgxx ， 所以2xyx的零点 1 x必定小于零，( )g xxlnx的零点 2 x必位于(0

12、,1)内，函数 ylgxx的零点 3 x必定大于 1 因此，这三个函数的零点依次增大， 故 1 x、 2 x、 3 x的大小关系为 123 xxx 故选：A 【点评】本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，利用估算方法比较出各函 数零点的大致位置，进而比较出各零点的大小属于基础题 4已知关于x的方程|2| 21 x mm有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A(，1B 1 ( ,1) 2 C1，)D(1,) 【分析】画出函数( ) |2| x f xm的图象，结合图象得到关于m的不等式，解出即可判断 【解答】解：( ) |2| x f xm的图象如下图所示： 由图象可知，

13、若方程|2| 21 x mm有两个不等实根， 则021mm ，解得 1 1 2 m， 故选：B 【点评】本题考查了函数的零点问题，考查常见函数的性质以及转化思想，数形结合思想， 是一道中档题 5 函数( )yf x满足(2)( )f xf x ， 当( 2x ，2时， 2 ( )1f xx， 则( )f x在0，2020 上零点值的个数为() A1009B1010C2019D2020 【分析】 根据(2)( )f xf x 可得( )f x是以 4 为周期的函数， 结合题意容易判断( )f x在0， 2020上零点的个数 【解答】解：(2)( )f xf x ， (4)( )f xf x，即(

14、 )f x是以 4 为周期的函数， 又( 2x ，2时， 2 ( )1f xx，当1x 或1x 时，0y ， ( )f x在每个周期内有两个零点，在其对称轴两侧各有一个， 由图象可知，在y轴右侧，每隔 2 个单位就有一个零点， ( )f x在0，2020上有 1010 个零点； 故选：B 【点评】本题考查函数的周期性和函数的零点，解决的方法是图象法，是容易题 6当 1 (0, ) 2 x时，函数 2 ( )log ( 4log) aa f xxx的图象恒在x轴下方，则实数a的取值范 围是() A 2 ,1) 2 B 2 (0,) 2 C 2,)D(0,1) 【分析】根据题意可知 2 ( )lo

15、g ( 4log)0 aa f xxx对任意 1 (0, ) 2 x恒成立，1a 时，显然 不合题意；01a时，可得出 2 1 41,(0, ) 2 a log xxx，然后根据logayx和 2 41yx的 单调性即可得出 1 2 2 a log，从而解出a的范围即可 【解答】解：根据题意知 2 ( )log ( 4log)0 aa f xxx对任意 1 (0, ) 2 x恒成立， 当1a 时，对任意 2 1 (0, ), 4log0 2 a xxx不满足题意； 当01a时，可得 2 4log1 a xx对任意 1 (0, ) 2 x恒成立， 即 2 41 a log xx， 1 (0, )

16、 2 x 结合单调性可知，只需 12 log2, 22 a a， 又01a， 2 1 2 a ，即a的取值范围是 2 ,1) 2 故选：A 【点评】 本题考查了对数函数和二次函数的单调性， 根据函数的单调性求函数在闭区间上的 最值的方法，分类讨论的思想，考查了计算和推理能力，属于中档题 7Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数( )(I t t的单位：天）的Logistic模型： 0.23(52) ( ) 1 t K I t e 其 中K为最大确诊病例数当( *)0.95I tK时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为(

17、)( 193)ln A60B65C66D69 【分析】由已知可得方程 0.23(52) 0.95 1 t K K e ，解出t即可 【解答】解：由已知可得 0.23(52) 0.95 1 t K K e ，解得 0.23(52) 1 19 t e ， 两边取对数有0.23(52)193tln ， 解得65t ， 故选：B 【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题 8已知函数 2 (3),0 ( ) 2 ,0 xx f x xx k k ，若函数( )()( )g xfxf x有且只有四个不同的零点， 则实数k的取值范围是() A(, 4) B(4,) C(，0)(4，)D

18、(，4)(4，) 【分析】利用( )f x的解析式先表示出函数( )g x的解析式，然后对0k和0k进行讨论， 再 利 用 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 ， 判 断 出 函 数( )g x为 偶 函 数 ， 将 问 题 转 化 为 2 ( )(0)g xxxxkk有且仅有两个不同的零点，再利用导数求解函数的最小值，使得最 小值小于 0 即可得到答案 【解答】解：因为函数 2 (3),0 ( ) 2 ,0 xx f x xx k k ，则 2 (3),0 () 2 ,0 xx fx xx k k ， 所以函数 2 2 ,0 ( )()( )2 ,0 ,0 xxx g xfxf xx xxx

19、 kk k kk ， 当0k时， 2, 0 ( ) 0,0 xx g x x ，所以( )g x只有一个零点，不符合题意； 当0k时，因为 2 2 ,0 ()2 ,0 ,0 xxx gxx xxx kk k kk ，所以()( )gxg x，则( )g x为偶函数， 所以( )g x有且仅有四个不同的零点可转化为 2 ( )(0)g xxxxkk有且仅有两个不同的 零点， 所以( )2(0)g xxxk， 当0k时，( )0(0)g xx恒成立，此时( )(0)g x x 最多一个零点，不符合题意， 当0k时，令( )20(0)g xxxk，则 2 x k ， 令( )20(0)g xxxk，

20、则0 2 x k ， 所以( )g x在(0,) 2 k 上单调递减，在(,) 2 k 上单调递增， 要使( )g x在(0,)上有且仅有两个不同的零点， 则有 2 ( )( )( )0 222 min g xg kkk kk， 解得0k或4k，又0k， 所以4k， 综上所述，所以实数k的取值范围是(4,) 故选：B 【点评】 本题考查了函数的零点与方程根的关系， 涉及了利用导数研究函数的单调性以及函 数的最值的应用、 函数奇偶性的判断与应用， 对于函数的零点个数问题一般转化为图象的交 点个数进行处理，本题的知识点较多，综合性较强，对学生的分析问题能力有较高的要求 二多选题（共二多选题（共 6

21、 小题）小题） 9设01ab，01c，则() A(1)(1) ab ln cln cB(1)(1) ab cc C baa aabDloglog cc ab 【分析】利用函数 x ya，logcyx，ylnx， x yc，(1)xyc的单调性求解 【解答】解：01ab，01c， 函数 x ya，logcyx均是减函数， ba aa，loglog cc ab，故选项CD错误， 函数ylnx是增函数， x yc是减函数， ab cc，11 ab cc ， (1)(1) ab ln cln c，故选项A正确， 函数(1)xyc是增函数，故选项B正确 故选：AB 【点评】本题主要考查了对数函数和指数函

22、数的性质，是基础题 10已知函数 1 ( ) |( )1| 2 x f xb有两个零点，分别为 1 x， 212 ()xxx，则下列结论正确的是 () A 1 10 x B 2 02x C 12 11 ( )( )2 22 xx D01b 【分析】将问题先化为 1 |( )1| 2 x b 有两个根，问题即转化为yb与 1 |( )1| 2 x y 的有两个 不同交点的问题，画出图象即可求解 【解答】解：函数 1 ( ) |( )1| 2 x f xb有两个零点，即 1 |( )1| 2 x b 有两个根， 问题即转化为yb与 1 ( ) |( )1| 2 x g x 的有两个不同交点 做出函

23、数( )g x的图象如右：其函数解析式为： 1 ( )1,0 2 ( ) 1 1( ) ,0 2 x x x g x x ， 由题意两交点横坐标分别为 1 x， 212 ()xxx， 若有两个交点，则01b，D对； 当0 x 时，令( )1g x ，得1x ，故 1 10 x ，A对； 易知 12 11 1( )( )1 22 xx ，整理得： 12 11 ( )( )2 22 xx ，C对； 由得 21 11 ( )2( )(0,1) 22 xx ，所以 2 0 x ，B错 故选：ACD 【点评】本题考查函数零点的判断方法，以及数形结合思想在解题时的应用属于中档题 11已知定义在R上的函数(

24、 )f x满足()( )0fxf x，且当0 x时， 2 ( )2f xxx，则可 作为方程( )(1)f xfx实根的有() A 13 2 B 1 2 C 13 2 D 33 2 【分析】 由已知求得函数解析式， 得到(1)fx， 进一步写出分段函数( )( )(1)g xf xfx， 求解方程( )0g x 得答案 【解答】解：()( )0fxf x，( )f x为定义在R上的奇函数， 当0 x时， 2 ( )2f xxx，设0 x ，则0 x ， 得 2 ()2( )fxxxf x ，即 2 ( )2f xxx 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x xx x ，则 2 2

25、 1,1 (1) 2 ,1 xx fx xx x ， 令 2 2 263,1 ( )( )(1)21,01 221,0 xxx g xf xfxxx xxx ， 当( )0g x 时，解得 33 2 x 或 1 2 x 或 13 2 x 故选：ABD 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求 解能力，是中档题 12已知正数x，y，z满足346 xyz ，则下列说法中正确的是() A 111 2xyz B346xyzC 3 (2) 2 xyzD 2 2xyz 【分析】对于A，设346 xyz t，0t ，则 3 logxt， 4 logyt， 6 logz

26、t，由此能证 明A正确； 对于B，利用对数运算法则能推导出 3 1 4 x y ， 4 1 6 y z ，由此能比较3x、4y、6z的大小； 对于D，由A结论利用基本不等式可得D正确； 对于C，由D结论，利用基本不等式即可得解C正确 【解答】解：正数x，y，z满足346 xyz ， 设346(0) xyz t t，则 3 logxt， 4 logyt， 6 logzt， 对于A， 1111 log 34log 6 22 ttt log xyz ，故A正确； 对于B， 3 logxt， 4 logyt， 6 logzt，1t ， 3 33logxt， 4 44logyt， 6 66logzt，

27、43 3 4 333 log1 444 log tx ylog t ，34xy， 4 4 6 444 log 61 666 log ty zlog t ， 46yz，346xyz故B错误； 对于D，由于 1111 2 22zxyxy ，两边平方，可得 2 2xyz，故D正确， 对于C，由于 2 2xyz，可得 2 3 22 22 2(2) 2 xyxyzzz，故C正确 故选：ACD 【点评】本题考查对数的运算法则的应用，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运 用，考查了函数思想，属于中档题 三填空题（共三填空题（共 7 小题）小题） 13已知2lga，103 b ，试用a、b表示 12 l

28、og25 2(1) 2 a ab 【分析】根据对数的运算性质计算即可 【解答】解： 12 25252(12)2(1) log25 12(34)3222 lglglga lglglglgab ， 故答案为： 2(1) 2 a ab 【点评】本题考查了对数的运算性质，考查转化思想，是一道基础题 14已知关于x的方程 2 12 221 xax xax 在区间 1 2 ，3上有两个不相等的实数根，则 实数a的取值范围为 5 (2, 2 【分析】观察方程的结构特征，将它进行变形为 2 12 2(1)2 xax xax ，然后构造函数 ( )2tf tt，确定函数的单调性，从而将问题转化为当 1 ,3 2

29、 x时， 2 1xax 有两个不相 等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案 【解答】解：因为方程 2 12 221 xax xax ， 所以变形为 2 12 2(1)2 xax xax ， 令( )2tf tt， 则有 2 (1)()f xf ax， 因为( )2tf tt在R上单调递增， 所以 2 (1)()f xf ax即为 2 1xax ， 故当 1 ,3 2 x时， 2 1xax 有两个不相等的实数根， 在 2 10 xax 中，则有 1 3 22 1 0 1 ( ) 0 2 (3) 0 a f f ，即 2 16 40 11 1 0 42 931 0 a a a a

30、， 解得 5 2 2 a ， 所以实数a的取值范围为 5 (2, 2 故答案为： 5 (2, 2 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的 分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为 2 12 2(1)2 xax xax ，进而构造函数分析， 对于学生的思维能力有较高的要求 15已知函数 2 |,0, ( ) 43,0, lnx x f x xxx 若函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点，则 m的范围为23m 【分析】利用分段函数的解析式，先作出函数( )f x的图象，然后利用换元法将函数 2 ( ) ( )4 ( )1

31、g xf xf xm恰有 8 个零点转化为方程 2 410ttm 在(0t，3必有两 个不等的实数根，再结合图象分析即可得到答案 【解答】解：画出函数( )yf x的图象如图所示， 设( )f xt，由 2 ( ) ( )4 ( )10g xf xf xm ，得 2 410ttm ， 因为( )g x有 8 个零点， 所以方程( )f xt有 4 个不同的实根， 结合( )f x的图象可得在(0t，3内有 4 个不同的实根， 所以方程 2 410ttm 必有两个不等的实数根， 即 2 14mtt 在(0t，3内有 2 个不同的实根， 结合图象可知， 则有314m ，解得23m， 所以m的范围为

32、23m 故答案为：23m 【点评】本题考查的是函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数图象的画法、换元法的 应用， 对于函数零点个数的问题， 一般运用数形结合的方法将零点的个数转化为两个函数图 象的交点个数进行求解 16已知函数 2 ,221 ( )() 2,212 xx f xZ xx kk k k kkk ，( ) |g xlgx，则函数( )( )( )h xf xg x 的零点个数为18 个 【分析】根据题中给出的分段函数解析式，判断出它是周期函数和偶函数，然后在同一坐标 系中作出函数( )yf x与函数ylgx的图象，将函数的零点问题转化为两个函数图象的交 点个数问题，再利用周期性和

33、奇偶性进行分析，即可得到答案 【解答】解：因为函数 2 ,221 ( )() 2,212 xx f xZ xx kk k k kkk ，即( ) |2 |f xx k，21xk， 21()Zkk， 所以函数( )f x是以 2 为周期的偶函数， 当0 x时，在同一坐标系中，函数( )yf x与函数ylgx的图象如图所示， 因为0( ) 1f x，091lg，111lg， 所以函数( )yf x与函数ylgx的图象有 9 个交点， 又因为( )yf x与( ) |g xlgx都是偶函数， 则其图象关于y轴对称，所以当0 x 时，函数( )yf x与函数ylgx的图象也有 9 个交点， 所以函数(

34、 )( )( )h xf xg x的零点个数为 18 个 故答案为：18 个 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用、函数零点与方程 根之间的关系、函数性质的应用，解题的关键是确定函数的周期和奇偶性，对于函数零点个 数问题一般转化为图象的交点个数来处理 四解答题（共四解答题（共 10 小题）小题） 17已知 2 ( )3f xxax （1）若( )0f x 对任意的 1 2a，4恒成立，求x的取值范围； （2）试判断( )yf x在 1 2 ，4上的零点个数 【分析】 （1）将a看成自变量，得到关于a为自变量的一次函数，根据一次函数在指定区间 的端点处取得最小值，由此

35、构造出关于x的不等式组，求解即可； （2）分离参数，利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况，据此构造出a的不 等式组，求解 【解答】解： （1）原函数式可化为g（a） 2 3x ax ， 1 ,2 2 a 由题意可得 1 ( )0 2 (4)0 g g ，即 2 2 1 30 2 430 xx xx ，解得 3,1 xR xx 或 ， 故x的取值范围是 |3x x ，或1x （2）令( )0f x 得 2 30 xax，因为 1 ,4 2 x， 故 3 ax x ， 1 ,4 2 x，令 31 ( ), ,4 2 h xxx x ， 由对勾函数的性质可知，函数( )h x在 1 , 3

36、 2 上单调递减，在( 3,4上单调递增， 且( 3)2 3h， 113 ( ) 22 h，h（4） 19 4 故当 19 13 (, 3 42 a 时，函数( )f x只有一个零点； 当 19 ( 3, 4 a时，原函数有两个零点； 当3a 或 13 2 a 时，原函数没有零点 【点评】本题考查函数思想在解决不等式恒成立、方程的根与函数的零点问题中的应用属 于中档题 18已知某工厂生产机器设备的年固定成本为 200 万元，每生产 1 台还需另投入 20 万元， 设该公司一年内共生产该机器设备x台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为( )R x万 元，且 800 40,030 ( ) 280

37、1000 ,30 x x R x x x x （1）求年利润y（万元）关于年产量x（台)的函数解析式； （2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润 【分析】 （1）由( )(20200)yxR xx分段写出函数解析式； （2）分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得结论 【解答】解： （1）当030 x 时，( )(20200)20600yxR xxx； 当30 x 时，( )(20200)20280800yxR xxxx 20600,030 20280800,30 xx y xxx ； （2）当030 x 时，20600yx在(0，30上

38、为增函数， 当30 x 时，1200 max y（万元） ； 当30 x 时，20280800yxx ， 令(30)xt t， 2 20(7)1780yt ， 当7t ，即49x 时，1780 max y（万元） 综上，当年产量为 49 台时，获得的年利润最大，最大为 1780 万元 【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及配方法求最值，考查运算求 解能力，是中档题 19已知函数( )() 1 m f xxmR x （1）当1m 时，解不等式( )1(1)f xf x ； （2）设3x，4，且函数( )3yf x存在零点，求实数m的取值范围 【分析】 （1） 把1m 代入函数解

39、析式， 再由( )1(1)f xf x ， 得关于x的分式不等式求解； （2）把函数( )3yf x在3，4上存在零点，转化为 2 (1)4mx 在3，4上有解， 再由函数的单调性求得函数的值域得答案 【解答】解： （1）当1m 时， 1 ( ) 1 f xx x ， 由( )1(1)f xf x ，得 11 ()1(1) 1 xx xx ， 即 11 1xx ，解得0 x 或1x 不等式( )1(1)f xf x 的解集为(，0)(1，)； （2）函数( )3yf x在3，4上存在零点方程( )30f x 在3，4上有解， 即方程30 1 m x x 在3，4上有解， 即 2 (1)4mx

40、在3，4上有解，函数 2 (1)4yx 在3，4上是减函数 则 21y ，12， 从而，实数m的取值范围是 21，12 【点评】本题考查分式不等式的解法，考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想， 训练了利用函数单调性求最值，是中档题 20已知函数 2 3,1 ( )() 43,1 x a x f xaR xxx 且(f f（1）)0 （1）求a的值，并在直角坐标系中作出函数( )f x的大致图象 （2）若方程( )0f xb有三个实数解，求实数b的取值范围 【分析】 （1）通过函数的解析式，求出函数值，然后推出a，即可得到函数的解析式 （2） 【解答】解： （1） f f（1）(0)10

41、fa ，则1a ； 所以 2 31,1 ( ) 43,1 x x f x xxx （2） 2 31,1 ( ) 43,1 x x f x xxx 的图象如图， 方程( )0f xb有三个实数解， 根据图象可知b的取值范围是( 1，0 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题 21 （1）作出( )|4|f xx x的图象，并讨论方程( )f xm的实根的个数； （2）已知函数( )|()f xx xaa aR，若存在3x，5，使( )0f x 成立，求实数a的 取值范围 【分析】 （1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合得答案； （2）写出命题存在3x，5，使(

42、 )0f x 成立的否定，即3x ，5，使( ) 0f x 成立， 分类求解a的取值范围，再由补集思想得答案 【解答】解： （1） 2 2 4 ,4 ( )|4| 4 ,4 xx x f xx x xx x ， 其图象如图： 由图可知，当(m ，0)(4，)时，方程( )f xm有 1 个实根， 当0m 或 4 时，方程( )f xm有 2 个实根， 当(0,4)m时，方程( )f xm有 3 个实根； （2）函数( )|()f xx xaa aR， 命题若存在3x，5，使( )0f x 成立的否定为3x ，5，使( ) 0f x 成立 下面求使命题3x ，5，使( ) 0f x 成立的a的范

43、围 若3a ，则3x 时，( )f x在3，5上取得最小值，f（3）3(3)94aaa， 940a ，即 9 4 a； 若35a ，则xa时，( )f x取得最小值为f（a）a ，0a 不满足( ) 0f x 恒成立； 若5a ，( ) min f xmin f（3） ，f（5）3(3)minaa，5(5) 0aa， 解得 25 4 a 综上可得，3x ，5，使( ) 0f x 成立的a的范围是 925 (, ,) 44 ， 则存在3x，5，使( )0f x 成立的a的取值范围为 9 25 ( ,) 44 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化、数形结合及分类讨论的数学思 想方法

44、，考查逻辑思维能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题 22已知函数( )(1) x f xln exk是偶函数（其中e为自然对数的底数，2.71828)e （1）求k的值； （2）若方程 1 ( ) 2 f xxb在区间 1，0上有实数根，求实数b的取值范围 【分析】 （1）利用偶函数的定义，求出k的值； （2）分离参数b，然后构造函数并结合单调性求出新函数的值域，则b的范围可求 【解答】解： （1）由( )f x是偶函数得： ( )()(1)(1)() xx f xfxln exln ex kk 11 222 11 xx x xx x ee lnxlnxlnex ee e kkk (21)0 xk恒成立，故210 k，即 1 2 k （2）由（1）知 1 ( )(1) 2 x f xln ex 由 1 ( ) 2 f xxb得(1) x bln ex， 1x ，0 令 1 ( )(1)(1) x x g xln exln e ， 1x ，0 当 1x ，0时， 1 12 x e ，1 e，故 1 (1)2 x lnln e ，(1)lne 故2bln，(1)lne时，方程 1 ( ) 2 f xxb在区间 1，0上有实数根 即b的取值范围是2ln，(1)lne 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的零点与函数值域间的关系属于中档题