（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册期末复习综合测试题（6）.doc

1、必修第一册综合测试题六必修第一册综合测试题六 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1函数 0.5 logyx定义域为() A 1 ,) 2 B 1 ( ,1 2 C1，)D(0，1 2 已知全集UR， 集合 | (4)0Ax x x， 2 |log (1)2Bxx， 则()( U AB ) A |14xxB |01xx C |04xxD 3关于x的方程 1 420 xx m 有实数解的充要条件是() A1m B0mC1mD0m 4若命题“xR ， 22 (1)4(1)3 0kxk x ”是假命题，则k的取值范围是() A |17kkB |17kk C | 71kk D | 71kk

2、5不等式 2 230 xx的解集为() A( 3,1)B( 1,3) C(，3)(1，)D31x 6已知实数0a ，0b ，且22abab，则2ab的最小值为() A 5 2 2 B 9 2 C 5 2 D4 2 7 设( )f x是R上的偶函数， 且当0 x 时( )f x是单调函数， 若满足方程f（a） 3| 1 () | 1 x f x 的实数x有 4 个，则实数 a的取值范围为() A(，3)(3，) B(，3)( 1，0)(0，1)(3，) C(3,) D(0，1)(3，) 8刘徽（约公元 225 年295年） ，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之 一他在割圆术中提出的

3、“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体 而无所失矣” ， 这可视为中国古代极限观念的佳作 割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n个等腰三角形（如图所示） ，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和 近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6的近似值为() A 30 B 60 C 90 D 180 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列说法中不正确的是() A0 与0表示同一个集合 B集合3M ，4与(3,4)N 表示同一个集合 C方程 2 (1) (2)0 xx的所有解的集合可表示为1，1，2 D集合 |45xx不能用列举法表示 10已知a，b

4、为正实数，且142abab，则() Aab的最大值为188 2B2ab的最小值为8 24 Cab的最小值为 4D 1 12 ab ab 的最大值为 3 2 11已知函数( ) | 1 x f x x ，则() A( )yf x为偶函数 B( )f x的值域是( 1,1) C方程 2 ( )0f xx只有一个实根 D对 1 x， 2 xR， 12 xx，有 12 12 ()() 0 f xf x xx 12已知函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象如图所示，则() A2 B 3 C若 12 3 xx ，则 12 ()()f xf x D若 12 3 xx ，则 12 ()()0f

5、xf x 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13已知 1tan 23 1tan ，则tan() 4 14已知0 x ，0y ，且 22 log 2log 42 xy ，则 11 xy 的最小值是 15已知函数 ,1 ( ) 1 1,1 4 lnx x f x xx ，( )g xax，则方程( )( )g xf x恰有两个不同的实根时， 实数a的取值范围是 16已知函数 2 |,0, ( ) 43,0, lnx x f x xxx 若函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点，则 m的范围为 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17已知函数 2

6、( )(sincos )cos2f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和单减区间； （2）求( )f x在区间0， 2 上的最大值和最小值 18已知函数( )1( 21 x a f xa 为常数）是奇函数 （1）求a的值； （2）函数 2 ( )( )logg xf xk，若函数( )g x有零点，求参数k的取值范围 19某公园欲将如图所示的一块矩形空地MNDC进行重新规划，拟在边长为10m的正方形 EFGH内种植红色郁金香，正方形ABCD的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁 金香现要将以AB为一边长的矩形ABMN改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色 郁金香的面积，设GFB

7、，ANym （1）求y与之间的函数关系式； （2）求AN的最大值 20已知函数 2 23yxx，求（1）函数的定义域与值域； （2）函数的单调区间 21已知函数( )2262f xxx （1）求( )f x的定义域； （2）求( )f x的值域 22已知命题p：关于x的方程 22 220 xaxaa有实数根，命题:13q ma m （1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 必修第一册综合测试题六必修第一册综合测试题六 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1函数 0.5 logyx定义域为()

8、 A 1 ,) 2 B 1 ( ,1 2 C1，)D(0，1 【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可 【解答】解：由题意得： 0.5 0 log0 x x ， 解得：01x ， 故选：D 2 已知全集UR， 集合 | (4)0Ax x x， 2 |log (1)2Bxx， 则()( U AB ) A |14xxB |01xx C |04xxD 【分析】可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可 【解答】解： |04Axx， |014 |15Bxxxx ，UR， |1 UB x x或5x，() |01 U ABxx 故选：B 3关于x的方程 1 420 xx m 有实数解

9、的充要条件是() A1m B0mC1mD0m 【分析】由 1 420 xx m ，得m的取值范围，逐项判断即可求得答案 【解答】解：因为 12 42(21)10 xxx m ， 所以关于x的方程 1 420 xx m 有实根的充要条件是0m 故选：D 4若命题“xR ， 22 (1)4(1)3 0kxk x ”是假命题，则k的取值范围是() A |17kkB |17kk C | 71kk D | 71kk 【分析】直接利用特称和全称命题及真值表的应用求出结果 【解答】解：命题“xR ， 22 (1)4(1)3 0kxk x ”是假命题， 则命题“xR ， 22 (1)4(1)30kxk x”是

10、真命题， 当1k 时，30恒成立 当 2 22 10 16(1)12(1)0 k kk ，解得17k 故k的取值范围为：17k 故选：B 5不等式 2 230 xx的解集为() A( 3,1)B( 1,3) C(，3)(1，)D31x 【分析】先因式分解，再解一元二次不等式即可 【解答】解： 2 230 xx，(3)(1)0 xx， 解得31x 用集合表示为( 3,1) 故选：A 6已知实数0a ，0b ，且22abab，则2ab的最小值为() A 5 2 2 B 9 2 C 5 2 D4 2 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：0a ，0b ，且22abab，

11、11 1 2ba ， 则 115 2(2 )() 22 ab abab baba 59 2 22 b a a b 当且仅当 ba ab 且 11 1 2ba ， 即 3 2 ab时取等号 2ab的最小值为 9 2 故选：B 7 设( )f x是R上的偶函数， 且当0 x 时( )f x是单调函数， 若满足方程f（a） 3| 1 () | 1 x f x 的实数x有 4 个，则实数 a的取值范围为() A(，3)(3，) B(，3)( 1，0)(0，1)(3，) C(3,) D(0，1)(3，) 【分析】函数( )f x是R上的偶函数，且当0 x 时( )f x是单调函数，所以x大于零时，函数

12、是一一对应的，故本题转化为 3| 1 | 1 x a x 有 4 个根，利用数形结合，可以解出本题 【解答】解：函数( )f x是R上的偶函数，且当0 x 时( )f x是单调函数，所以 3| 1 | 1 x a x 有4个根，令 3| 12 3 | 1| 1 x y xx ，图象如下： (a ，3)( 1，0)(0，1)(3，) 故选：B 8刘徽（约公元 225 年295年） ，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之 一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体 而无所失矣” ， 这可视为中国古代极限观念的佳作 割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n

13、 边形等分成n个等腰三角形（如图所示） ，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和 近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6的近似值为() A 30 B 60 C 90 D 180 【分析】取正 60 边形，设半径为 1，利用等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式 得出方程，即可得出sin6的近似值 【解答】解：取正 60 边形，设半径为 1，则 22 1 601sin61 2 ，解得sin6 30 故选：A 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列说法中不正确的是() A0 与0表示同一个集合 B集合3M ，4与(3,4)N 表示同一个集合 C方程 2 (1) (2)0

14、 xx的所有解的集合可表示为1，1，2 D集合 |45xx不能用列举法表示 【分析】利用元素与集合的关系、集合的性质及其表示法、集合的运算即可判断出 【解答】解：:0A是一个元素（数)，而0是一个集合，二者是属于与不属于的关系，因 此不正确； B：集合3M ，4表示数 3，4 构成的集合，而(3,4)N 表示点集，不正确； C：方程 2 (1) (2)0 xx的所有解的集合可表示为1，1，2，不正确，因为集合的元素 具有互异性，不允许重复，因此方程 2 (1) (2)0 xx的所有解的集合可表示为1，2，因 此不正确； D：集合 | 45xx含有无穷个元素，不能用列举法表示，因此正确； 故选：

15、ABC 10已知a，b为正实数，且142abab，则() Aab的最大值为188 2B2ab的最小值为8 24 Cab的最小值为 4D 1 12 ab ab 的最大值为 3 2 【 分 析 】 由 不 等 式2142 22 2()abababab可 分 析A选 项 ， 由 不 等 式 2 (2) 2282(2) 4 ab abab 可分析B选项，由已知得出(1)(2)16ab，通过恒等变形 以及基本不等式可分析C，D 【 解 答 】 解 ： 对 于A选 项 ，2142 22 2()abababab， 即 (24)(24) 0abab， 又a，b为正实数，所以42ab，即188 2ab，当且仅当

16、2ab时，不等式可取等 号，故A正确； 对于B选项， 2 (2) 2282(2) 4 ab abab ，即 2 (24)128ab， 又a，b为正实数，所以28 24ab，当且仅当2ab时，不等式可取等号，故B正确； 对于C选项，142abab，(1)(2)16ab， (1)(2)3 2 (1)(2)35ababab， 当且仅当12ab ，即3a ，2b 时，不等式可取等号，故C错误； 对于D选项，(1)(2)16ab， 11111 2 12122abab ， 即 1113 2() 12122 ab abab ， 当且仅当12ab ，即3a ，2b 时，不等式可取等号，故D正确； 故选：ABD

17、 11已知函数( ) | 1 x f x x ，则() A( )yf x为偶函数 B( )f x的值域是( 1,1) C方程 2 ( )0f xx只有一个实根 D对 1 x， 2 xR， 12 xx，有 12 12 ()() 0 f xf x xx 【分析】根据选项逐次判断即可得答案 【解答】解：对于:()( ) | 1| 1 xx A fxf x xx ，可得( )f x的奇函数，A错误； 对于 (1)11 1,0 111 :( ) 1 11| 1 1,0 111 xx x x xxx Bf x xxx x xxx ，( )f x的值域是( 1,1)，B正 确； 对于C：由 2 ( )0f

18、xx，显然0 x 是方程的一个实数根，当0 x 时，可得 1 | 1 x x ， 即|10 x xx ，0 x时，显然方程没有实数根，当0 x 时，即 2 10 xx 方程有一个 实数根，C错误； 对于D：当0 x时，可得 1 ( )1 1 f x x 是单调递减函数，当0 x 时，可得 1 ( )1 1 f x x 是单调递减函数，所以对 1 x， 2 xR， 12 xx，有 12 12 ()() 0 f xf x xx ，D正确； 故选：BD 12已知函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象如图所示，则() A2 B 3 C若 12 3 xx ，则 12 ()()f xf x

19、D若 12 3 xx ，则 12 ()()0f xf x 【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的 图象和性质，得出结论 【解答】解：根据函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象， 125 21212 ， 2，( )2sin(2)f xx，故A正确 5 () 1212 26 x 为其图象的一条对称轴，故有2 62 k，Zk， 6 ， 故B错误 6 x 为其图象的一条对称轴，故若 12 3 xx ，则有 12 ()()f xf x，故C正确，D错误， 故选：AC 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13已知 1tan 23 1tan ，则t

20、an() 4 23 【分析】利用两角和的正切公式即可得解 【解答】解：因为 1tan 23 1tan ， 所以 1tan1 tan()23 41tan23 故答案为：23 14已知0 x ，0y ，且 22 log 2log 42 xy ，则 11 xy 的最小值是 32 2 2 【分析】直接利用对数的运算和函数的关系式的变换的应用和基本不等式的应用求出结果 【解答】解：已知0 x ，0y ，且 22 log 2log 42 xy ， 所以 2 2 24 xy ，整理得22xy，即1 2 x y， 所以 111113132 2 ()()12 222222 xyx y xyxyxy ， 当且仅当

21、2 22x ，22y 时，等号成立， 故答案为： 32 2 2 15已知函数 ,1 ( ) 1 1,1 4 lnx x f x xx ，( )g xax，则方程( )( )g xf x恰有两个不同的实根时， 实数a的取值范围是 1 4 ， 1) e 【分析】依题意可知，0 x 显然不是方程( )( )g xf x的根，所以 ( )f x a x ，即直线ya与 函数 ( )f x y x 的图象有两个交点， 作出函数 ( )f x y x 的图象，即可数形结合解出 【解答】解：因为0 x 显然不是方程( )( )g xf x的根，所以方程( )( )g xf x即为 ( )f x a x ，

22、直线ya与函数 ( )f x y x 的图象有两个交点， 因为 ,1 11 ,1 4 lnx x x y x x ，作出函数 ( )f x y x 的图象，如图所示： 又因为函数 lnx y x 在(1, ) e上单调递增， 在( ,)e 上单调递减， 所以 11 4 max y e ， 且0 lnx x ， 故实数a的取值范围是 1 4 ， 1) e 故答案为： 1 4 ， 1) e 16已知函数 2 |,0, ( ) 43,0, lnx x f x xxx 若函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点，则 m的范围为23m 【分析】利用分段函数的解析式，先作出

23、函数( )f x的图象，然后利用换元法将函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点转化为方程 2 410ttm 在(0t，3必有两 个不等的实数根，再结合图象分析即可得到答案 【解答】解：画出函数( )yf x的图象如图所示， 设( )f xt，由 2 ( ) ( )4 ( )10g xf xf xm ，得 2 410ttm ， 因为( )g x有 8 个零点， 所以方程( )f xt有 4 个不同的实根， 结合( )f x的图象可得在(0t，3内有 4 个不同的实根， 所以方程 2 410ttm 必有两个不等的实数根， 即 2 14mtt 在(0t，3内有 2

24、个不同的实根， 结合图象可知， 则有314m ，解得23m， 所以m的范围为23m 故答案为：23m 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17已知函数 2 ( )(sincos )cos2f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和单减区间； （2）求( )f x在区间0， 2 上的最大值和最小值 【分析】 （1）利用平方关系、辅助角公式将函数化简为( )2sin(2)1 4 f xx ，根据正弦 函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性即可得解，需要注意限定了区间0， 2 【解答】解： 2 ( )(sincos )cos21sin2cos22sin(2)1 4 f xx

25、xxxxx ( ) ( )I f x的 最 小 正 周 期 2 2 T ， 令 3 222 242 x k k，Zk， 解 得 5 88 x k k，Zk， ( )f x的单调递增区间为 8 k， 5 8 k，Zk （2）0 x， 2 ， 2 44 x ， 5 4 ，可得 2 sin(2) 42 x ，1， 可得( )2sin(2)10 4 f xx ，21，即( )f x在区间0， 2 上的最小值是 0，最大值 是12 18已知函数( )1( 21 x a f xa 为常数）是奇函数 （1）求a的值； （2）函数 2 ( )( )logg xf xk，若函数( )g x有零点，求参数k的取值

26、范围 【分析】 （1）根据题意，求出函数的定义域，由奇函数的定义域可得()( )0fxf x，即 110 2121 xx aa ，变形分析可得答案， （2）若函数( )g x有零点，则直线 2 logyk与曲线( )yf x有交点，分析( )f x的值域，即 可得 2 log(k ，1)(1，)，解可得k的取值范围，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，函数( )1 21 x a f x ，则有210 x ，解可得0 x ， 即函数( )f x的定义域为(，0)(0，)， 根据奇函数的定义，对于(x ，0)(0，)，则有()( )0fxf x， 即110 2121 xx aa ，化简得：2

27、0a即2a ； （2）若函数( )g x有零点，则直线 2 logyk与曲线( )yf x有交点， 又由21( 1,) x ， 那么 2 (, 2)(0,) 21 x ， 则( )f x的值域为(，1)(1，)； 故由 2 log(k ，1)(1，)， 解得： 1 (0, )(2,) 2 k ， 即k的取值范围为：(0， 1) (2 2 ，) 19某公园欲将如图所示的一块矩形空地MNDC进行重新规划，拟在边长为10m的正方形 EFGH内种植红色郁金香，正方形ABCD的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁 金香现要将以AB为一边长的矩形ABMN改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色 郁金

28、香的面积，设GFB，ANym （1）求y与之间的函数关系式； （2）求AN的最大值 【分析】 （1）通过求解三角形推出10cosFB，10sinFA，10(sincos )AB，结 合面积关系，推出AN的不等式即可 （2）令sincost，则2sin() 4 t ，化简函数的解析式，结合函数的单调性求解 函数最值即可 【解答】解： （1）在Rt GFB中，GFB，则10cosFB， 同理在Rt FEA中，FEA，则10sinFA， 10(sincos )AB，10sinGBFA， 绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积， 则4 GFB AB ANS， 420sincos sincos GFB S

29、AN AB ， 20sincos sincos y ，(0,) 2 （2）令sincost，则2sin() 4 t ， (0,) 2 ，(1,2t， 2 10(1)1 10() t yt tt ， 易知 1 ( )f xx x 在(1, 2上单调递增， 1 10( 2)5 2 2 max y， 答：AN的最大值为5 2m 20已知函数 2 23yxx，求（1）函数的定义域与值域； （2）函数的单调区间 【分析】本题第（1）题根据根式的性质及解一元二次不等式可得定义域，根据定义域和换 元法经过计算可得值域；第（2）题根据同增异减的方法判断复合函数的单调性 【解答】解： （1）由题意，可知 由 2

30、 23 0 xx ，解得13x ， 故函数的定义域为 1，3； 令 2 23txx ， 1x ，3则yt 22 23(1)4txxx ， 当 1x ，3时，有04t ， 02y 故函数的值域为0，2 （2）由题意，可知 函数 2 23txx ， 1x ，3在 1，1上单调递增，在1，3上单调递减； 而函数yt在0，)上单调递增， 故函数函数 2 23yxx在 1，1上单调递增，在1，3上单调递减 21已知函数( )2262f xxx （1）求( )f x的定义域； （2）求( )f x的值域 【分析】 （1）由题意知， 22 0 620 x x ，解之即可； （2）将( )2262f xxx两

31、边平方化简整理后得， 22 ( )44(2)1fxx，结合 ( )f x的定义域和二次函数的图象与性质即可得解 【解答】解： （1）由题意知， 22 0 620 x x ，解得13x ， 故( )f x的定义域为1，3 （2）易知( ) 0f x ， 将( )2262f xxx两边平方得， 222 ( )222 (22)(62 )62424161244(2)1fxxxxxxxx， ( )f x的定义域为1，3， 2( ) 4fx，8， 故( )f x的值域为2,2 2 22已知命题p：关于x的方程 22 220 xaxaa有实数根，命题:13q ma m （1）若命题p是真命题，求实数a的取值

32、范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 【 分 析 】 （ 1 ） 由 命 题p是 真 命 题 ， 可 得 命 题p是 假 命 题 ， 即 关 于x的 方 程 22 220 xaxaa无实数根，可得0，解得a的取值范围 （2）若p是q的必要不充分条件，则由q能推出p，但是由p不能推出q可得： |13 |2a ma ma a ，即可得出实数m的取值范围 【解答】解： （1）命题p是真命题，命题p是假命题，即关于x的方程 22 220 xaxaa无实数根， 因此 22 44(2)0aaa，解得2a 实数a的取值范围是2a （2）若p是q的必要不充分条件，则由q能推出p，但是由p不能推出q |13 |2a ma ma a ， 3 2m ，解得1m 实数m的取值范围是1m