（2021新教材）人教A版高二数学上学期选择性必修第二册 第4章（3）等差、等比数列 能力提升卷.docx

1、绝密绝密启用前启用前 等差、等比数列能力提升复习等差、等比数列能力提升复习 范围：选择性必修二数列 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题一、单选题 1等比数列 n a满足 354 41a aa，且 4 a， 6 1a ， 7 a成等差数列，则该数列公 比q为（） A 1 2 B 1 2 C4D2 2设等差数列 n a的前 n 项和为 n S若 146 11,6aaa ，则当 n S取最小值时， n 等于（ ） A6B7C8D9 3已知等差数列 n a， 1 1a ， 3 3a ，则数列 1 1 nn a a 的前10项和为（） A10 11 B 9 11 C 9 10 D 11

2、10 4某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去 各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有 蜜蜂的数量是（） A 6 5只 B 5 6只 C 5 5只 D 6 6只 5已知数列：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,.，即此数列第一项是 0 2 ，接下来两项 是 01 2 ,2，再接下来三项是 012 2 ,2 ,2，依此类推，设 n S是此数列的前n项的和， 则 2017 S（） A 646 22 B 636 22 C 645 22 D 635 22 6等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且满足

3、 337 2Saa18，则 1 a() A1B2C3D4 7设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 3 9S ， 6 36S ，则 9 S（） A63B45C43D81 8设等差数列an的前 n 项和为,若，, 则当取最大值等于 （ ） A4B5C6D7 二、多选题二、多选题 9在等差数列 n a中，公差0d ，前n项和为 n S，则（） A 4619 a aa aB 13 0S， 14 0S，则 78 aa C若 915 SS，则 n S中的最大值是 12 SD若 2 n Snna，则0a 10计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感 染后，该病毒文件就不

4、断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计 算机病毒传染指数 0, C即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒 的传染指数 0 2,C 若一台计算机有 5 10个可能被感染的文件， 如果该台计算机有一半以 上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经 防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（） A在第 3 分钟内，该计算机新感染了 18 个文件 B经过 5 分钟，该计算机共有 243 个病毒文件 C10 分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为 2 的等比数列 第第 IIII 卷（非选择题）卷（

5、非选择题） 三、填空题三、填空题 11 已知 4，a，b， 25 成等差数列， 4，c，d， 25 成等比数列， 则abcd_ 12设等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2017 0S， 2018 0S对任意 * nN ， 都有 nm aa，则m的值为_ 13已知数列 n a满足 1 2a ， 2 1 12 nn nanann ，若 2 2 n a n b ，则 n b 的前n项和 n S _ 14已知等比数列 n a的前n项和为Sn，且 243 0a aa， 3 1S ，则 n a _. 四、解答题四、解答题 15已知数列 n a中， 1 1a ， 1 3 n n n a a a

6、. （1）求 2 a， 3 a； （2）求证： 11 2 n a 是等比数列，并求 n a的通项公式； （3）数列 n b满足 31 2 n nn n n ba，数列 n b的前 n 项和为 n T，若不等式 1 ( 1) 2 n n n n T 对一切 * nN恒成立，求的取值范围. 16已知公差不为零的等差数列 n a满足 1 a， 2 a， 4 a成等比数列， 3 3a ；数列 n b 满足 11 2 nnn bban ， 11 ba. （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）记 1 2 n n c bn ，求数列 n c的前n项和 n T. 17已知数列 n a满足 11 3

7、 ,31. 2 nn aaanN （1）若数列 n b满足 1 2 nn ba，求证： n b是等比数列； （2）求数列 n a的前项和. n S 18已知递增的等差数列 n a的首项 1 1a ，且 1 a、 2 a、 4 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）设数列 n c对任意 * nN ，都有 12 1 2 222 n n n ccc a 成立，求 122012 ccc的值 （3）若 1n n n a b a * ()nN，求证：数列 n b中的任意一项总可以表示成其他两项之积 参考答案参考答案 1D2A3A4D5A6A7D8B 9AD10ABC11129121

8、00913 1 44 3 n 14( 1)n 15 （1） 2 1 4 a ， 3 1 13 a （2）见解析， 2 31 n n a （3）23 （1）根据递推公式依次求出 2 a， 3 a即可得解； （2）转化条件得 1 1111 3 22 nn aa ，结合 1 113 22a 可得 113 22 n n a 即可得解； （3）由题意 1 2 n n n b ，利用错位相减法可得 1 2 4 2 n n n T ，则条件可转化为 1 2 ( 1)4 2 n n ，根据n为偶数、n为奇数分类讨论即可得解. 【详解】 （1）由 1 1a 得 1 1 2 1 34 a a a ， 2 2 3

9、1 313 a a a . （2）由 1 3 n n n a a a 得 1 313 1 n nnn a aaa ，即 1 1111 3 22 nn aa ， 又 1 113 22a ，所以 11 2 n a 是以 3 2 是为首项，3为公比的等比数列. 所以 1 1133 3 222 n n n a ，即 2 31 n n a . （3） 1 22 31 n n n n n ba nn ， 01221 11111 123(1) 22222 n nn Tnn ， 答案第 2页，总 5页 211 1111 12(1) 22222 n nn T nn . 两式相减得 1210 111112 2 2

10、222222 n nnn Tn n ， 1 2 4 2 n n n T ，所以 1 2 ( 1)4 2 n n . 令 * 1 2 4 2n f nn N，易知 f n单调递增， 若n为偶数，则 2 1 2 4 2 f n ，所以3； 若n为奇数，则 1 1 2 4 2 f n ，所以2，所以2 . 所以23 . 【点睛】 本题考查了递推公式的应用、 等比数列的证明、 数列通项的求解、 错位相减求数列前n项和， 考查了恒成立问题的处理方法和分类讨论的思想，属于中档题. 16(I) 2 2 , 2 nn nn an b .（II） 2 n n T n . 试题分析：（1） 第 （1） 问， 先直

11、接利用已知求出 1 1,1da,得到数列 n a的通项公式, n an 再利用累加法求出数列 n b的通项公式.(2)第（2）问，利用裂项相消求数列 n c的前n项 和 n T. 试题解析：(I)设数列 n a的公差为 d 则: 2 2 214111 ,3aa aadaad, 1 ad, 又 3 a3 11 2331,1addda , n1 a =a +n-1d=n（） . 11111 1,1 nnn babbban 当2n时 1122332211nnnnnnn bbbbbbbbbbbb 2 2 1232 1 2 nn nnn ，又 1 1b 满足上式 2 2 2 n nn b ，. （II）

12、 2 12211 2 2321212 n n c bnnnnnnn 11111111 2222 2334112 n T nnnn 2 1 22 n nn . 17(1) 见解析；(2) 31 2 n n n S . 【解析】 试题分析： （1）通过恒等变形，得到 1 11 3 22 nn aa 即 1 3 nn bb ，结论得证; （2）由(1)可得 1 1 3 2 n n a ，分成一个等比数列，一个常数列求和即可. 试题解析： (1) 由题可知 * 1 11 3 22 nn aanN ，从而有 1 3 nn bb ， 11 1 1 2 ba，所以 n b是以 1 为首项，3 为公比的等比数

13、列. (2) 由(1)知 1 3n n b ，从而 1 1 3 2 n n a ， 答案第 4页，总 5页 有 1 11131 133 2222 n n n n S . 点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据 1 31 nn aa 得到 1 11 3 22 nn aa ，即 1 3 nn bb 证得 n b是等比数列;第二问中的通项由 111 11 1333 22 nnn nnn baa 知，从而，比较明显地可以分成一个等比数列， 一个常数列求和即可. 18 （1）(*) n an nN； （2） 2013 2 ； （3）见解析. 【分析】 （1）根据 2 214

14、 =aa a解出公差，即可得到通项公式； （2）当2n 时，由 12 2 1 222 n n ccc n，及 112 21 222 n n ccc n ，两式作差 求出2n n c ，即可求解； （3）通过数列通项公式关系对数列 n b中的任意一项 1 n n b n ，都存在 1 2 1 n n b n 和 2 2 2 2 21 2 nn nn b nn 使得2 1 2 nn nn bbb ，即可得证. 【详解】 （1） n a是递增的等差数列，设公差为d(0)d 1 a、 2 a、 4 a成等比数列， 2 214 =aa a 由 2 (1)1 (13 )dd 及0d 得1d (*) n a

15、n nN （2） 1 1 n an ， 12 2 1 222 n n ccc n对 * nN 都成立 当1n 时， 1 2 2 c 得 1 4c 当2n 时，由 12 2 1 222 n n ccc n，及 112 21 222 n n ccc n 得1 2 n n c ，得2n n c 4 (1) 2(2) n n n c n 22011 2320122013 122012 2 (1 2) 422242 1 2 ccc （3）对于给定的 * nN ，若存在 * , ,k tn k tN，使得 nkt bbb 1 n n b n ，只需 111nkt nkt ， 即 111 1(1) (1) nkt ，即 1111 nktkt 即ktntnkn， (1)n k t kn 取1kn，则(2)tn n 对数列 n b中的任意一项 1 n n b n ，都存在 1 2 1 n n b n 和 2 2 2 2 21 2 nn nn b nn 使得2 1 2 nn nn bbb 【点睛】 此题考查求数列通项公式以及数列求和，考查对数列通项公式的理解认识，证明相关结论.