（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第二册第3章 3.1 3.1.3 第1课时　组合与组合数讲义.doc

1、3.1.3组合与组合数组合与组合数 第第 1 课时课时组合与组合数组合与组合数 学 习 目 标核 心 素 养 1理解组合与组合数的概念(重点) 2会推导组合数公式，并会应用公式 求值(重点) 3理解组合数的两个性质，并会求值、 化简和证明(难点、易混点) 1通过学习组合与组合数的概念，培 养数学抽象的素养 2借助组合数公式及组合数的性质进 行运算，培养数学运算的素养. 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6 大科目 是选考的，如果考生任选 3 科作为自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有 多少种可能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有几种？

2、 1组合的概念 一般地，从 n 个不同对象中取出 m(mn)个对象并成一组，称为从 n 个不同 对象中取出 m 个对象的一个组合 拓展组合概念的两个要点 (1)取出的对象是不同的； (2)“只取不排”，即取出的 m 个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性 质 2组合数的概念、公式 定义 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数， 称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的组合数 表示Cmn(n，mN 且 mn) 组合乘积式CmnA m n Amm nn1n2nm1 m！ 数公 式 阶乘式Cmn n！ m！nm！ 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个组合相同的充要条件

3、是组成组合的元素完全相同() (2)从 a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个 数为 C23() (3)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查，有多 少种不同的选法是组合问题() (4)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，有 3 种不同的选法() 答案(1)(2)(3)(4) 2若 C2n28，则 n() A9B8 C7D6 BC2nnn1 2 28，即 n8. 3(一题两空)C218_，C1718_. 15318C2181817 2 153， C1718 18！ 17！1817！18. 4从 3,5,7,11 这四个数中任取两个相乘

4、，可以得到不相等的积的个数为 _ 6从四个数中任取两个数的取法为 C246. 组合的概念 【例 1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题 (1)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)， 这次比赛需要进行多少场 次？ (2)10 支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从 10 个人里选 3 个代表去开会，有多少种选法？ (4)从 10 个人里选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？ 思路点拨要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序 有关 解(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有 顺序的区别 (2)是排列问题，因为甲

5、队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军 是不一样的，是有顺序的区别 (3)是组合问题，因为 3 个代表之间没有顺序的区别 (4)是排列问题，因为 3 个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别 1根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的 是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的 是组合 2区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置， 看是否会产生新的变化， 若有新变化， 即说明有顺序， 是排列问题； 若无新变化， 即说明无顺序，是组合问题 跟进训练 1(教材 P22练习 AT2改编)从 5 个不同

6、的元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个， 写出所有不同的组合 解要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用 图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示： 由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 组合数公式的应用 【例 2】(1)式子nn1n2n100 100！ 可表示为() AA100 n100BC100n100 C101C100 n100D101C101n100 (2)求值：C5 n nC9 n n1. 思路点拨根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明 (1)D分式的分母是 100！ ，分子是 101 个连续自然数的乘

7、积，最大的为 n 100，最小的为 n， 故nn1n2n100 100！ 101nn1n2n100 101！ 101C101 n100. (2)解由组合数定义知： 05nn， 09nn1， 所以 4n5，又因为 nN， 所以 n4 或 5. 当 n4 时，C5 n nC9 n n1C14C555； 当 n5 时，C5 n nC9 n n1C05C4616. 关于组合数计算公式的选取 1涉及具体数字的可以直接用公式 Cmn Amn Amm nn1n2nm1 m！ 计算 2涉及字母的可以用阶乘式 Cmn n！ m！nm！计算 跟进训练 2(1)计算：C410C37A33； (2)求证：Cmnm1

8、n1 Cm 1 n1. 解(1)C410C37A3310987 4321 7652102100. (2)右边 m1 n1 Cm 1 n1 m1 n1 n1！ m1！nm！ n！ m！nm！ Cmn左 边即等式成立 简单的组合问题 探究问题 解答简单组合问题的关键是什么？ 提示关键是把实际问题模型化，在此基础上选择组合数公式求解 【例 3】现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名 (1)现要从中选 2 名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解(

9、1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元 素中取出 2 个元素的组合数，即 C210109 21 45(种) (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C 2 6种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C 2 4种方法 根据分类加法计数原理，共有 C26C2415621 种不同选法 (3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C 2 6种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C 2 4种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 C26C2415690(种) (变结论)本例其他条件不变，问题变为从中选 2 名教师参加会议，至少有

10、 1 名男教师的选法是多少？最多有 1 名男教师的选法又是多少？ 解至少有 1 名男教师可分两类：1 男 1 女有 C16C 1 4种，2 男 0 女有 C 2 6种 由分类加法计数原理知有 C16C14C2639 种 最多有 1 名男教师包括两类：1 男 1 女有 C16C 1 4种，0 男 2 女有 C 2 4种 由分类加法计数原理知有 C16C14C2430 种 解简单的组合应用题的策略 1解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排 列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关， 而组合问题与取出 元素的顺序无关 2要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活

11、运用 提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏 排列与组合的相同点与不同点 名称排列组合 相同点都是从 n 个不同元素中取 m(mn)个元素，元素无重复 不同点 1.排列与顺序有关； 2两个排列相同，当且仅当这两 个排列的元素及其排列顺序完全 相同 1.组合与顺序无关； 2两个组合相同，当且仅当这两 个组合的元素完全相同 联系AmnCmnAmm 1下列四个问题属于组合问题的是() A从 4 名志愿者中选出 2 人分别参加导游和翻译的工作 B从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中选取 3 个不同的数字，组成一个三位数 C从全班同学中选出 3 名同学出席运动会开幕式 D从全班同学中选出 3

12、名同学分别担任班长、副班长和学习委员 CA、B、D 项均为排列问题，只有 C 项是组合问题 2若 A3n12C2n，则 n 等于() A8B5 或 6 C3 或 4D4 AA3nn(n1)(n2)，C2n1 2n(n1)， 所以 n(n1)(n2)121 2n(n1) 由 nN，且 n3，解得 n8. 3从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，有_种不同的 选法 84由题意可知共有 C39987 32184 种 46 个朋友聚会，每两人握手 1 次，一共握手_次 15每两人握手 1 次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手 C2615 次 5已知 C5nC4nC6nC5n，求 C 12 n的值 解由已知得 2C5nC4nC6n， 所以 2 n！ 5！n5！ n！ 4！n4！ n！ 6！n6！， 整理得 n221n980， 解得 n7 或 n14， 要求 C 12 n的值，故 n12， 所以 n14， 于是 C12 1491.