（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第二册第3章 章末综合提升讲义.doc

1、巩固层知识整合 提升层题型探究 两个计数原理的应用 【例 1】 (1)方程x 2 m y2 n 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 其中 m1,2,3,4,5， n1,2,3,4,5,6,7，那么这样的椭圆的个数是_ (2)某电视台连续播放 6 个广告，其中有 3 个不同的商业广告、两个不同的 宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益 广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方 式？ (1)20以 m 的值为标准分类，分五类： 第一类：m1 时，使 nm，n 有 6 种选择； 第二类：m2 时，使 nm，n 有 5 种选择； 第三类：n3

2、时，使 nm，n 有 4 种选择； 第四类：n4 时，使 nm，n 有 3 种选择； 第五类：n5 时，使 nm，n 有 2 种选择； 所以共有 6543220 种方法 (2)解用 1,2,3,4,5,6 表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 2,4,6.分 6 步完成这件事，共有 33221136 种不同的播放方式； 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 1,4,6，分 6 步完成这件事，共 有 33221136 种不同的播放方式 第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 1,3,6，同样分 6 步完成这件事， 共有 33221136 种不同的播

3、放方式由分类加法计数原理得：6 个 广告不同的播放方式有 363636108 种 (变条件)若本例(1)的条件“焦点在 y 轴上”改为“焦点在 x 轴上”，试求满 足条件的椭圆的个数 解因为方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 mn0， 以 m 的取值进行分类 当 m1 时，n 值不存在； 当 m2 时，n 可取 1，只有 1 种选择； 当 m3 时，n 可取 1,2，有 2 种选择； 当 m4 时，n 可取 1,2,3，有 3 种选择； 当 m5 时，n 可取 1,2,3,4，有 4 种选择； 由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有 10 个 应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的

4、问题：1要做什么事； 2如何去做这件事； 3怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则： 分类用加法， 分步用乘法. 跟进训练 1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同 的报名方法？(不一定六名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限 解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同选法，由 分步乘法计数原理，知共有选法 36729(种) (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目 有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目只有

5、4 种选法，由分步乘法计 数原理，得共有报名方法 654120(种) (3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人 参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法 63216(种). 排列、组合的应用 【例 2】(1)5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员排成 1,2,3号参加团体比赛， 则入选的 3名队员中至少有 1名老队员且1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种(用数字作答) (2)在高三一班元旦晚会上，有 6 个演唱节目，4 个舞蹈节目 当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 当要求每 2 个舞蹈节

6、目之间至少安排 1 个演唱节目时， 有多少种不同的节 目安排顺序？ 若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板 2 个节目，但不能 改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ (1)48只有 1 名老队员的排法有 C12C23A3336 种 有 2 名老队员的排法 有 C22C13C12A2212 种所以共有 361248 种 (2)解第一步，先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目，与 6 个演 唱节目一起排，有 A775 040 种方法；第二步，再松绑，给 4 个节目排序，有 A4424 种方法 根据分步乘法计数原理，一共有 5 04024120 960 种 第一步，

7、将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有 A66720 种 方法 第二步，再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位 置)，这样相当于 7 个“”选 4 个来排，一共有 A47840 种 根据分步乘法计数原理，一共有 720840604 800 种 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 A 12 12种排法，但原来的节目已 定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A 12 12 A1010A 2 12132 种排法 1处理排列组合应用题的一般步骤 (1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问 题 (2)抓住问题的本质特征，准确合理

8、地利用两个基本原理进行“分类与分 步” 2处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路：直接法，间接法 (2)两种途径：元素分析法，位置分析法 3排列组合应用题的常见类型和解决方法 (1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略 (2)合理分类与准确分步的策略 (3)正难则反，等价转化的策略 (4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略 (5)元素定序，先排后除的策略 (6)排列、组合混合题先选后排策略 (7)复杂问题构造模型策略 跟进训练 2某次国际合作论坛，为了保护各国国家元首的安全，某部门将 5 个安保 小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这 样的安排方法共有_种(用

9、数字作答) 150由题意可知， 应将 5 个安保小组分成三组， 共有两种方法， 即分为 1,1,3 或 2,2,1. 若分为 1,1,3，不同的安排方法共有 N1C 1 5C14 A22 A3360 种； 若分为 2,2,1，不同的安排方法共有 N2C 1 5C24 A22 A3390 种； 即共有 N1N26090150 种不同的安排方法 二项式定理及其应用 【例 3】已知 xm x n 展开式的二项式系数之和为 256. (1)求 n； (2)若展开式中常数项为35 8 ，求 m 的值； (3)若(xm)n展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项，求 m 的取值情况 解(1)二项式系数

10、之和为 2n256，可得 n8. (2)设常数项为第 r1 项，则 Tr1Cr8x8 r m x r Cr8mrx8 2r， 故 82r0，即 r4，则 C48m435 8 ，解得 m1 2. (3)易知 m0，设第 r1 项系数最大 则 Cr8mrCr 1 8mr 1 Cr8mrCr 1 8mr 1 ， 化简可得8m1 m1 r 9m m1. 由于只有第 6 项和第 7 项系数最大， 所以 48m1 m1 5， 6 9m m17. 即 5 4m2， 2m7 2. 所以 m 只能等于 2. 1解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式 2解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法 跟

11、进训练 3(1)(x22) 1 x21 5 的展开式的常数项是() A3B2 C2D3 (2)233除以 9 的余数是() A8B4 C2D1 (1)D(2)A(1)二项式 1 x21 5 展开式的通项为：Tr1Cr5 1 x2 5r (1)r Cr5x2r 10(1)r. 当 2r102，即 r4 时，有 x2C45x 2(1)4C4 5(1)45； 当 2r100，即 r5 时，有 2C55x0(1)52. 展开式中的常数项为 523，故选 D. (2)233(23)11(91)11911C111910C21199C1011919(910C11199 C10111)8，233除以 9 的余

12、数是 8.故选 A. 培优层素养升华 【例】长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分 城市，简称“三省一市”现有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙 江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅 游，则恰有一个地方未被选中的概率为() A.27 64 B. 9 16 C. 81 256 D. 7 16 B4 名同学去旅游的所有情况有：44256 种，恰有一个地方未被选中共 有：C14C 2 4C12 A22 A33144 种情况，恰有一个地方未被选中的概率：P144 256 9 16. 该类问题常以新背景、数学传统文化等为依托，将概率计算与

13、排列组合的计 算方法相融合，考查转化化归及数据分析、数学建模的数学素养，正确计数是求 解此类问题的关键. 素养提升 如图为我国数学家赵爽(约 3 世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理 的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜 色，相邻区域颜色不同，则 A，C 区域涂色不相同的概率为() A.1 7 B.2 7 C.3 7 D.4 7 B提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相 邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为 A，B，C，D，E，分 4 步进行分析： ，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ，对于区域 B

14、与 A 区域相邻，有 4 种颜色可选； ，对于区域 E，与 A，B 区域相邻，有 3 种颜色可选； ，对于区域 D，C，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 3 种颜色可选， 若 D 与 B 颜色不相同，D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 2 种颜色可选， 则区域 D，C 有 3227 种选择， 则不同的涂色方案有 5437420 种， 其中，A，C 区域涂色不相同的情况有： ，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ，对于区域 B 与 A 区域相邻，有 4 种颜色可选； ，对于区域 E 与 A，B，C 区域相邻，有 2 种颜色可选； ，对于区域 D，C，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 2 种颜色可选， 若 D 与 B 颜色不相同，D 区域有 1 种颜色可选，C 区域有 1 种颜色可选， 则区域 D，C 有 2113 种选择， 不同的涂色方案有 5423120 种， A，C 区域涂色不相同的概率为 p120 420 2 7 ，故选 B.