1、7.4三角函数应用 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)(A0,0)(A0,0)中中,A,A、分别有什么物理意义分别有什么物理意义? ? 2.2.在三角函数应用题中在三角函数应用题中, ,怎样建立数学模型解题怎样建立数学模型解题? ? 1.1.函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)(A0,0)(A0,0)中中,A,A、的物理意义的物理意义 (1)A(1)A、的物理意义的物理意义: : 简谐运动的振幅就是简谐运动的振幅就是_;_; 简谐运动的周期简谐运动的周期T=_;T=_; 简谐运动的频率简谐运动的频率f= =_;f= =_
2、; _称为相位称为相位; ; x=0 x=0时的相位时的相位_称为初相位称为初相位. . A A 2 1 T 2 x+x+ (2)(2)本质本质:A:A、有各自的物理意义有各自的物理意义, ,各自决定了函数性质中的一部分各自决定了函数性质中的一部分. . (3)(3)应用应用: :根据根据A A、的物理意义的物理意义, ,在解题时能比较简单地求出函数解析式在解题时能比较简单地求出函数解析式. . 【思考】【思考】 在函数在函数y=Asin(x+y=Asin(x+)+b(A0,0)+b(A0,0)中中,A,b,A,b与函数的最值有何关系与函数的最值有何关系? ? 提示提示: :A,bA,b与函数
3、的最大值与函数的最大值y ymax max, ,最小值 最小值y ymin min关系如下 关系如下: : (1)y(1)ymax max=A+b,y =A+b,ymin min=-A+b; =-A+b; maxminmaxmin yyyy 2 Ab. 22 ， 2.2.解三角函数应用题的基本步骤解三角函数应用题的基本步骤 (1)(1)审清题意审清题意; ; (2)(2)搜集整理数据搜集整理数据, ,建立数学模型建立数学模型; ; (3)(3)讨论变量关系讨论变量关系, ,求解数学模型求解数学模型; ; (4)(4)检验检验, ,作出结论作出结论. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记
4、忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )的初相位为的初相位为. . ( () ) (2)“(2)“五点法五点法”作函数作函数y=2sin y=2sin 在一个周期上的简图时在一个周期上的简图时, ,第一个点第一个点 为为 .(.() ) (x) 3 (0) 3 ， 提示提示: :(1)(1). .当当A0,0A0,0时时,y=Asin(x+,y=Asin(x+) )的初相位才是的初相位才是. . (2)(2).“.“五点法五点法”作作y=2sin y=2sin 在一个周期上的简图时在一个周期上的简图时, ,令令
5、x+ =0,x+ =0, 所以第一个点为所以第一个点为 . . (x) 3 3 (,0) 3 2.2.函数函数y= y= 的周期、振幅、初相位分别是的周期、振幅、初相位分别是( () ) A.3, A.3, B.6, B.6, C.3,3,- C.3,3,- D.6,3, D.6,3, 【解析】【解析】选选B.y= B.y= 的周期的周期T= =6,T= =6,振幅为振幅为 , ,初相位为初相位为 . . 11 sin( x) 336 1 3 6 ， 1 3 6 ， 6 6 11 sin( x) 336 2 1 3 1 3 6 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )如
6、图为某简谐运动的图象如图为某简谐运动的图象, ,则这个简谐运动需要则这个简谐运动需要 _s_s往返一次往返一次. 【解析】【解析】观察图象可知此简谐运动的周期观察图象可知此简谐运动的周期T=0.8,T=0.8,所以这个简谐运动需要所以这个简谐运动需要0.8 s0.8 s 往返一次往返一次. . 答案答案: :0.80.8 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一简谐运动中常见物理量的运算类型一简谐运动中常见物理量的运算( (数学建模、数学运算数学建模、数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020南通高一检测南通高一检测) )智能主动降噪耳机工作的原理是智能主动降噪耳机
7、工作的原理是: :通过耳机两端的噪通过耳机两端的噪 声采集器采集周围的噪音声采集器采集周围的噪音, ,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵 消噪音消噪音( (如图如图).).已知某噪音的声波曲线已知某噪音的声波曲线y=Asin(x+y=Asin(x+)(A0,0,0)(A0,0,0 ) 0,0,0(A0,0,0 )0)(0)在在x=0 x=0时的值时的值. . 2 1 T2 【补偿训练】【补偿训练】1.1.函数函数y=3sin y=3sin 的频率为的频率为_,_,相位为相位为_,_,初相初相 位为位为_._. 2.2.某地一天内的温度变化曲
8、线满足某地一天内的温度变化曲线满足y=3sin(0.2x+25)+15,y=3sin(0.2x+25)+15,则在一天内则在一天内, ,该地的最该地的最 大温差是大温差是_._. 1 (x) 26 【解析】【解析】1.1.频率为频率为 相位为相位为 初相位为初相位为- .- . 答案答案: : 2.2.因为函数因为函数y=3sin(0.2x+25)+15y=3sin(0.2x+25)+15的振幅为的振幅为A=3,A=3,可以判断该地的最大温差是可以判断该地的最大温差是 2A=6.2A=6. 答案答案: :6 6 1 11 2 T24 ， 1 x, 26 6 11 x 4266 类型二三角函数图
9、象类问题类型二三角函数图象类问题( (直观想象、数学抽象直观想象、数学抽象) ) 【典例】【典例】1.1.函数函数y=x+sin|x|,x y=x+sin|x|,x 的大致图象是的大致图象是( () ) ， 2.(20202.(2020新乡高一检测新乡高一检测) )如图如图, ,质点质点P P在半径为在半径为2 2的圆周上逆时针运动的圆周上逆时针运动, ,其初始位其初始位 置为置为P P0 0( ,- ),( ,- ),角速度为角速度为1 rad/s,1 rad/s,那么点那么点P P到到x x轴的距离轴的距离d d关于时间关于时间t t的函数的函数 图象大致为图象大致为( () ) 2 2
10、【思路导引】【思路导引】1.1.根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断. . 2.2.根据题意根据题意, ,选择几个特殊的点马上就能找到答案选择几个特殊的点马上就能找到答案. . 【解析】【解析】1.1.选选C.y=x+sin |x|C.y=x+sin |x|是非奇非偶函数是非奇非偶函数, ,图象既不关于图象既不关于y y轴对称轴对称, ,也不关于也不关于 原点对称原点对称, ,故选故选C.C. 2.2.选选C.C.通过分析可知当通过分析可知当t=0t=0时时, ,点点P P到到x x轴的距离轴的距离d d为为 , ,于是可以排除选项于是可以排除选项A,D
11、,A,D, 再根据当再根据当t= t= 时时, ,可知点可知点P P在在x x轴上轴上, ,此时点此时点P P到到x x轴的距离轴的距离d d为为0,0,排除选项排除选项B.B. 2 4 【解题策略】【解题策略】 解决函数图象与解析式对应问题的策略解决函数图象与解析式对应问题的策略 可以按照定义域、奇偶性、单调性、特殊值的顺序进行判断可以按照定义域、奇偶性、单调性、特殊值的顺序进行判断, ,即先由定义域确即先由定义域确 定图象的范围定图象的范围, ,由奇偶性确定图象的对称性由奇偶性确定图象的对称性, ,由单调性确定图象的变化趋势等判由单调性确定图象的变化趋势等判 断断; ;也可以用特殊点也可以
12、用特殊点( (值值) )判断判断. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 函数函数f(x)=2f(x)=2sin x sin x(x ) (x )的图象大致为的图象大致为( () ) ， 【解析】【解析】选选A.f(-)=2A.f(-)=2sin(-) sin(-)=2 =20 0=1,f =2=1,f =2-1 -1=0.5,f(0)=2 =0.5,f(0)=2sin 0 sin 0=2 =20 0=1,=1, f =2,f()=2f =2,f()=2sin sin =2 =20 0=1.=1.由此知选项由此知选项A A符合要求符合要求. . sin() 2 () 2 2 sin 2 ( ) 2 2
13、 类型三三角函数模型的应用类型三三角函数模型的应用( (数学建模数学建模) ) 角度角度1 1三角函数模型在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用 【典例】【典例】已知电流已知电流I(I(单位单位:A):A)与时间与时间t(t(单位单位:s):s)的关系为的关系为 I=AI=A (1)(1)如图是该函数在一个周期内的图象如图是该函数在一个周期内的图象, ,求该函数的解析式求该函数的解析式; ; sin( t)(A00 |). 2 ， ， (2)(2)如果如果t t在任意一段在任意一段 s s的时间内的时间内, ,电流电流I I都能取到最大值和最小值都能取到最大值和最小值, ,那么那么的的 最小
14、值是多少最小值是多少? ? 【思路导引】【思路导引】可先由图象确定电流可先由图象确定电流I I的解析式的解析式, ,再由函数的性质确定再由函数的性质确定的最小值的最小值. . 1 150 【解析】【解析】(1)(1)由题图知由题图知A=300,A=300, 周期周期T= T= 所以所以= =150.= =150. 又当又当t= t= 时时,I=0,I=0, 即即sin =0,sin =0, 而而| | ,|0,0,|A0,0,| ,| ,求摩天轮转动时的解析式求摩天轮转动时的解析式 H(t);H(t); (2)(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间游客甲坐上摩天轮后多长时间, ,距离地面的高度恰好为
15、距离地面的高度恰好为3030米米? ? (3)(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱若游客乙在游客甲之后进入座舱, ,且中间相隔且中间相隔5 5个座舱个座舱, ,在摩天轮转动一周在摩天轮转动一周 的过程中的过程中, ,记两人距离地面的高度差为记两人距离地面的高度差为h h米米, ,求求h h的最大值的最大值. . 2 【思路导引】【思路导引】(1)(1)根据函数解析式根据函数解析式H(t)=Asin(t+H(t)=Asin(t+)+B,)+B,求出求出A,B,A,B,和和的值的值 即可即可; ; (2)(2)令令H(t)=30,H(t)=30,求出求出t0,30t0,30内的值即可内的值即可; ;
16、 (3)(3)根据游客甲距离地面高度的解析式根据游客甲距离地面高度的解析式y y甲 甲和乙距离地面高度的解析式 和乙距离地面高度的解析式y y乙 乙, ,利用三 利用三 角函数的图象计算角函数的图象计算h=|yh=|y甲 甲-y -y乙 乙| |的最大值即可 的最大值即可. . 【解析】【解析】(1)H(1)H关于关于t t的函数解析式为的函数解析式为H(t)=Asin(t+H(t)=Asin(t+)+B,)+B, 由由 解得解得A=40,B=50;A=40,B=50; 又又t=0t=0时时,H(0)=40sin ,H(0)=40sin +50=10,+50=10,解得解得sin sin =-
17、1,=-1, 因为因为| | ,| ,所以所以=- ;=- ; 又又T=30,T=30,所以所以= = 所以摩天轮转动时的解析式为所以摩天轮转动时的解析式为 H(t)=40sin +50.H(t)=40sin +50. AB90, AB10, 2 2 22 T3015 ； (t) 152 (2)(2)令令H(t)=30,H(t)=30,得得40sin +50=30,40sin +50=30, 即即sin =- ,sin =- , 所以所以cos t= ,cos t= , 解得解得 t= ,t= ,或或 t= ,t= , 解得解得t=5,t=5,或或t=25;t=25; 所以游客甲坐上摩天轮后所
18、以游客甲坐上摩天轮后5 5分钟分钟, ,和和2525分钟时分钟时, ,距离地面的高度恰好为距离地面的高度恰好为3030米米. . (t) 152 (t) 152 1 2 15 1 2 15 3 15 5 3 (3)(3)由题意知由题意知, ,游客甲距离地面高度的解析式为游客甲距离地面高度的解析式为y y甲 甲=40sin +50, =40sin +50, 游客乙距离地面高度的解析式为游客乙距离地面高度的解析式为y y乙 乙=40sin +50, =40sin +50, 则则h=|yh=|y甲 甲-y -y乙 乙|=40 |=40 令令 =,=,解得解得t=10,t=10,此时此时h=|yh=|
19、y甲 甲-y -y乙 乙| |取得最大值为 取得最大值为40;40; 所以两人距离地面的高度差所以两人距离地面的高度差h h的最大值为的最大值为4040米米. . (t) 152 (t) 1532 |costcos(t)| 15153 13 40|costsint| 215215 40|cos(t)| 153 ； t 153 【解题策略】【解题策略】解三角函数应用问题的基本步骤解三角函数应用问题的基本步骤 (1)(1)已知函数模型已知函数模型, ,利用题目中提供的数据和有关性质解决问题利用题目中提供的数据和有关性质解决问题, ,其关键是求出其关键是求出 函数解析式中的参数函数解析式中的参数,
20、,将实际问题转化为三角方程或三角不等式将实际问题转化为三角方程或三角不等式, ,然后解方程或然后解方程或 不等式不等式, ,可使问题得以解决可使问题得以解决. . (2)(2)未知函数模型未知函数模型, ,把实际问题抽象转化成数学问题把实际问题抽象转化成数学问题, ,建立三角函数模型建立三角函数模型, ,再利用再利用 三角函数的有关知识解决问题三角函数的有关知识解决问题, ,其关键是建模其关键是建模. . 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020三门峡高一检测三门峡高一检测) )在一个港口在一个港口, ,相邻两次高潮发生的时间间隔为相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h,12 h,
21、 低潮时水深低潮时水深9 m,9 m,高潮时水深高潮时水深15 m.15 m.每天潮涨潮落时每天潮涨潮落时, ,该港口水的深度该港口水的深度y(m)y(m)关于关于 时间时间t(h)t(h)的函数图象可以近似地看成函数的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(t+y=Asin(t+)+k)+k的图象的图象, ,其中其中 0t24,0t24,且且t=3t=3时涨潮到一次高潮时涨潮到一次高潮, ,则该函数的解析式可以是则该函数的解析式可以是( () ) A.y=3sin t+12A.y=3sin t+12B.y=-3sin t+12B.y=-3sin t+12 C.y=3sin t+12C.y=3
22、sin t+12D.y=3cos t+12D.y=3cos t+12 6 12 6 12 【解析】【解析】选选A.A.根据题意根据题意, ,由由= ,= ,排除选项排除选项C,D.C,D.当当t=3t=3时时, , 3sin t+12=3sin +12=15,3sin t+12=3sin +12=15,符合题意符合题意,-3sin t+12=-3sin +12=9.,-3sin t+12=-3sin +12=9. 不符合题意不符合题意, ,故选项故选项B B错误错误. . 22 T126 6 (3) 6 (3) 6 6 2.2.一根长一根长l cml cm的线的线, ,一端固定一端固定, ,另
23、一端悬挂一个小球另一端悬挂一个小球, ,小球摆动时离开平衡位置小球摆动时离开平衡位置 的位移的位移s(cm)s(cm)与时间与时间t(s)t(s)的函数关系式为的函数关系式为s=3cos ,s=3cos ,其中其中g g是重力加速是重力加速 度度, ,当小球摆动的周期是当小球摆动的周期是1 s1 s时时, ,线长线长l=_cm.=_cm. g (t) 3 l 【解析】【解析】由已知得由已知得 =1,=1,所以所以 =2,=2, 所以所以 =4=42 2,l= .,l= . 答案答案: : 2 g l g l g l 2 g 4 2 g 4 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.简谐运动简谐
24、运动y=4sin y=4sin 的相位、初相位、频率是的相位、初相位、频率是( () ) A.5x- A.5x- B.5x- ,4, B.5x- ,4, C.5x- ,- C.5x- ,- D.4, ,2D.4, ,2 【解析】【解析】选选C.C.相位是相位是5x- ,5x- ,当当x=0 x=0时的相位为初相位即时的相位为初相位即- ,- ,周期周期T= ,T= , 频率频率f= .f= . (5x) 3 2 335 ， 3 2 5 3 , 3 5 2 3 3 3 2 5 5 2 2.2.在两个弹簧上各有一个质量分别为在两个弹簧上各有一个质量分别为M M1 1和和M M2 2的小球做上下自由
25、振动的小球做上下自由振动. .已知它们已知它们 在时间在时间t(s)t(s)离开平衡位置的位移离开平衡位置的位移s s1 1(cm)(cm)和和s s2 2(cm)(cm)分别由分别由s s1 1=5sin ,=5sin , s s2 2=10cos2t=10cos2t确定确定, ,则当则当t= st= s时时,s,s1 1与与s s2 2的大小关系是的大小关系是( () ) A.sA.s1 1ss2 2B.sB.s1 1ss2 2 C.sC.s1 1=s=s2 2D.D.不能确定不能确定 【解析】【解析】选选C.C.当当t= t= 时时,s,s1 1=5sin =5sin =-5,=5sin
26、 =5sin =-5, 当当t= t= 时时,s,s2 2=10cos =10=10cos =10 =-5, =-5,故故s s1 1=s=s2 2. . (2t) 6 2 3 2 3 4 () 36 3 2 4 3 1 () 2 2 3 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )函数函数f(x)=2sin(x+f(x)=2sin(x+) ) 的部分图象如图所示的部分图象如图所示, ,则则,的值分别是的值分别是 ( () ) A.2,- A.2,- B.2,- B.2,- C.4,- C.4,- D.4, D.4, (0,) 22 3 6 6 3 【解析】【解析】选选A.
27、A.由图象可知由图象可知 , ,所以所以T= =,T= =,所以所以=2.=2.因为因为 是五点作图的第二个点是五点作图的第二个点, ,所以所以2 2 + += ,= ,所以所以=- .=- . T115 212122 2 5 (,2) 12 5 12 2 3 4.4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数, ,五一节某商场的人流量满足函五一节某商场的人流量满足函 数数F(t)=50+4sin (t0),F(t)=50+4sin (t0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的则在下列哪个时间段内人流量是增加的 ( () ) 【解析】【解析】选选C.C.由由2
28、k- 2k+ ,kZ,2k- 2k+ ,kZ,知函数知函数F(t)F(t)的增区间的增区间 为为 ,kZ.,kZ.当当k=1k=1时时,t ,t t 2 A 0 5 B 5 10 C 1015 D 15 20 ， ， ， t 22 2 4k4k ，35 101535 .， ，而， 5.5.某港口在一天某港口在一天2424小时内的潮水的高度近似满足关系式小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)=2sin f(t)=2sin 其中其中f(t)f(t)的单位为的单位为m,tm,t的单位是的单位是h,h,则则1212点时潮水的高度是点时潮水的高度是_m._m. 【解析】【解析】当当t=12t=12时时,f(12)=2sin =1.,f(12)=2sin =1. 答案答案: :1 1 5 (t), 126 5 (5) 2sin 66
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