（2021新苏教版）高中数学必修第一册课时素养评价 十一 基本不等式的证明练习.doc

1、温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版版，请按住请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴，调节合适的观看调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课时素养评价 十一十一基本不等式的证明基本不等式的证明 (15 分钟35 分) 1.已知 a+2b=2(a0,b0),则 ab 的最大值为 () A.B.2C.3D. 【解析】 选 A.因为 a0,b0,所以 a+2b2,所以 22,所以 ab ,当 且仅当 a=1,b= 时,等号成立. 2.不等式+(x-2)6(其中 x2)中等号成立的条件

2、是 () A.x=3B.x=6 C.x=5D.x=10 【解析】选 C.由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即 x=5(x=-1 舍去). 3.设非零实数 a,b,则“a 2+b22ab”是“ + 2”成立的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 B.因为 a,bR 时, 都有 a 2+b2-2ab=(a-b)20, 即 a 2+b22ab,而 + 2ab0, 所以“a 2+b22ab”是“ + 2”的必要不充分条件. 4.函数 y=1-2x- (x0)的最小值为_. 【解析】因为 x0,所以 y=1-2x- =1+(-2x)+1

3、+2=1+2, 当且仅当 x=-时取等号,故 y 的最小值为 1+2. 答案:1+2 5.若 0a1,0b1,ab,则 a+b,2,2ab,a 2+b2 中最大的一个是_. 【解析】因为 0a1,0b2,a 2+b22ab. 所以四个数中最大的应从 a+b,a 2+b2 中选择. 而 a 2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1). 又因为 0a1,0b1,所以 a(a-1)0,b(b-1)0, 所以 a 2+b2-(a+b)0,即 a2+b20)的最小值. 【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求 a,b.(2)利用基本不等式 求最小值. 【解析】(1)由题意知: 解得 a=

4、1,b=2. (2)由(1)知 a=1,b=2, 所以(2a+b)x-=4x+ , 而 x0 时,4x+ 2=26=12. 当且仅当 4x= ,即 x= 时取等号. 所以(2a+b)x-(x0)的最小值为 12. (30 分钟60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab),其全程的平均时速为 v,则 () A.avB.v= C.vD.v= 【解题指南】先写出全程的平均时速为 v 的表达式,再利用基本不等式与作差法 比较即可. 【解析】选 A.设甲、乙两地相距 s, 则小王用时为 + ,因为 ab, 所以 v=0, 所以 va.

5、2.已知当 x=a 时,代数式 x-4+(x-1)取得最小值 b,则 a+b= () A.-3B.2C.3D.8 【解析】选 C. 令 y=x-4+=x+1+-5,由 x-1,得 x+10,0, 所以由基本不等式得 y=x+1+-52-5=1, 当且仅当 x+1=,即(x+1) 2=9,即 x+1=3,即 x=2 时取等号,所以 a=2,b=1,a+b=3. 3.已知不等式(x+y)9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值 为 () A.2B.4C.9D.16 【解析】选 B.(x+y)=1+a+ 1+a+2=(1+) 2. 当且仅当= 时取等号. 所以(1+) 29,所以 a

6、4. 4.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小 正方形 A1B1C1D1,则以下说法中错误的是() A.(a+b) 24ab B.当 a=b 时,A1,B1,C1,D1四点重合 C.(a-b) 24ab D.(a+b) 2(a-b)2 【解析】选 C.由题图可知正方形 ABCD 的面积不小于 4 个长方形的面积之和,即 有(a+b) 24ab;正方形 A 1B1C1D1的面积为(a-b) 2,结合图形可知(a+b)2(a-b)2,且 当a=b 时 A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与 4 个长方形的面积之 和大小关系不定.因

7、此 C 选项错误. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选 错的得 0 分) 5.设 a,bR,且 ab,a+b=2,则必有() A.ab1B.ab1 C.1 【解析】选 BD.因为 ab,ab, 所以 ab1, 又 1=1,所以 ab11 C.a0,所以 +a2=4 D.因为 x,yR,xy0,所以 + =-+-2=-2 【解析】选 AD.因为 a,b 为正实数,所以 , 为正实数,符合基本不等式的条件, 故 A 正确; 当x=0时,有=1,故B不正确;当a0时, +a2=4是错误的,C不正确; 由 xy0,则函数 y=的最小值为_. 【解

8、析】因为 t0,所以 y=t+ -42-4=-2,且在 t=1 时取等号. 答案:-2 8.规定记号“”表示一种运算,即 ab=+a+b(a,b 为正实数).若 1k=3, 则 k 的值为_,此时的最小值为_. 【解析】1k=+1+k=3,即 k+-2=0, 所以=1 或=-2(舍),所以 k=1. =1+1+2=3, 当且仅当=,即 x=1 时等号成立. 答案:13 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.求 t=x+ 的取值范围. 【解析】当 x0 时,x+ 2=2, 当且仅当 x= ,即 x=1 时,“=”成立, 所以 x+ 2. 当 xbc,求证:(a-c)4. 【证明】因为

9、 a-c=(a-b)+(b-c), 所以(a-b)+(b-c) =2+, 又 abc,所以+2, 故(a-c)4, 当且仅当=时,取“=”. 1.已知 a0,b0,则 + +2的最小值是 () A.2B.2C.4D.5 【解析】选 C. + +22+2 4=4.当 即 a=b=1 时,等号成立, 因此 + +2的最小值为 4. 2.已知 x1x2x2 020=1,且 x1,x2,x2 020都是正数,求(1+x1)(1+x2)(1+x2 020) 的最小值. 【解析】因为 x1x2x2 020=1,且 x1,x2,x2 020都是正数, 所以(1+x1)(1+x2)(1+x2 020)222 =2 2 020 =2 2 020. 当且仅当 x1=x2=x2 020=1 时,取“=”. 故所求最小值为 2 2 020. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块