（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册1.1.2　空间向量基本定理练习.docx

1、1 1.1.2空间向量基本定理空间向量基本定理 课后篇巩固提升 基础达标练 1.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M 为 AC 与 BD 的交点.若?1?1 ?=a,?1?1?=b,?1?=c,则下列向量中 与?1? ?相等的向量是( ) A.-1 2a+ 1 2b+c B.1 2a+ 1 2b+c C.1 2a- 1 2b+c D.-1 2a- 1 2b+c 解析 ?1? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 1 2(? ? ? ? ?t ? ?) =c+1 2(-a+b)=- 1 2a+ 1 2b+c. 答案 A 2.对于空间一点 O 和不共线的三点 A,B,C,且

2、有 6? ? ? ? ? ? ?+2? ?+3?t? ?,则( ) A.O,A,B,C 四点共面 B.P,A,B,C 四点共面 2 C.O,P,B,C 四点共面 D.O,P,A,B,C 五点共面 解析由 6? ? ? ? ? ? ?+2? ?+3?t? ?,得? ? ? ? ? ?=2(? ? ? ? ? ?)+3(?t? ? ? ? ? ?),即? ?=2? ?+3?t? ?,? ?,? ?,?t? ?共 面.又三个向量的基线有同一公共点 P,P,A,B,C 四点共面. 答案 B 3.(多选)已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点 O,有? ?=x? ? ? 1 3? ? ? ?

3、 1 3 ?t ? ?,则 x的值不可能 为() A.1B.0C.3D.1 3 解析? ?=x? ? ? 1 3 ? ? ? ? 1 3 ?t ? ?, 且 M,A,B,C四点共面, x+1 3 ? 1 3=1,x= 1 3. 答案 ABC 4.已知向量 a,b,且? ? ?=a+2b,?t? ?=-5a+6b,t? ?=7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解析因为? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? t? ? ?=3a+6b=3(a+2b)=3? ?,故? ? ? ? ?,又? ?与? ?有公共点 A,所以 A,B

4、,D 三点共线. 答案 A 3 5.给出下列命题: 若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有? ? ? ? ?t ? ? ? t? ? ? ? ? ? ?=0; |a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; 若? ? ?,t? ?共线,则 ABCD; 对空间任意一点 O与不共线的三点 A,B,C,若? ? ?=x? ?+y? ?+z?t? ?(其中 x,y,zR),则 P,A,B,C 四点共 面. 其中错误命题的个数是() A.1B.2C.3D.4 解析显然正确;若 a,b 共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=|a|-|b|,故错误;若? ? ?,t? ?共线,则直线 A

5、B,CD 可能重合,故错误;只有当 x+y+z=1 时,P,A,B,C 四点才共面,故错误. 答案 C 6.设 e1,e2是空间两个不共线的向量,已知? ? ?=e1+ke2,?t? ?=5e1+4e2,?t? ?=-e1-2e2,且 A,B,D三点共线,实数 k=. 解析? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? t? ? ?=7e1+(k+6)e2, 且? ? ?与? ?共线,故? ?=x? ?, 即 7e1+(k+6)e2=xe1+xke2, 故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0, 又e1,e2不共线, 7-? ? 0, ? ? 6-? ? 0,解得 ? ? 7, ? ? 1

6、,故 k 的值为 1. 答案 1 7.在以下三个命题中,真命题的序号为. 三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面; 4 若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b 共线; 若 a,b 是两个不共线的向量,而 c=a+b(,R 且0),则a,b,c构成空间的一个基底. 解析 c 与 a,b 共面,不能构成基底. 答案 8.已知平行六面体 OABC-OABC,且? ? ?=a,?t? ?=b,?=c. (1)用 a,b,c 表示向量?t ? ?; (2)设 G,H 分别是侧面 BBCC 和 OABC的中心,用 a,b,c 表示?t ?

7、 ?. 解析(1)?t ? ? ? ?t ? ? ? tt ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? ?=b+c-a. (2)?t ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ?=-? ? ? ?t ? ? =-1 2(? ? ? ? ?t ? ?)+1 2(? ? ? ? ?) =-1 2(a+b+c+b)+ 1 2(a+b+c+c)= 1 2(c-b). 9.已知三个向量 a,b,c 不共面,并且 p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量 p,q,r 是否共面? 解假设存在实数,使 p=q+r,则 a+b-c=(2-7)a+(-3+18)b+(-5+22)c

8、. a,b,c 不共面, 2?-7? ? 1, -3? ? 18? ? 1, -5? ? 22? ? -1, 解得 ? ? 5 3 , ? ? 1 3 , 即存在实数=5 3,= 1 3,使 p=q+r,p,q,r 共面. 10.如图所示,四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形,且不共面,M,N 分别是 AC,BF 的中点.判断tt ? ?与 ?t ?是否共线? 5 解M,N 分别是 AC,BF 的中点,而四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形, ?t ? ? ? ? ? ?t ? ? ? tt ? ? ? 1 2t? ? ? ? ?t ? ? ? 1 2t? ? ?. 又?t ?

9、 ? ?t ? ? ? tt ? ? ? t? ? ? ? ?t ? ?=-1 2t? ? ? ? tt ? ? ? ?t ? ? ? 1 2t? ? ?, 1 2t? ? ? ? ?t ? ? ? 1 2t? ? ?=-1 2t? ? ? ? tt ? ? ? ?t ? ? ? 1 2t? ? ?, tt ? ? ? t? ? ?+2?t? ? ? t? ? ?=2(? ? ?t ? ? ? tt ? ?)=2?t?, tt ? ? ?t ?,即tt? ?与?t?共线. 能力提升练 1.已知非零向量 e1,e2不共线,如果? ? ?=e1+e2,?t? ?=2e1+8e2,? ?=3e1-3

10、e2,则 A,B,C,D 四点( ) A.一定共线 B.恰是空间四边形的四个顶点 C.一定共面 D.一定不共面 解析因为非零向量 e1,e2不共线,? ? ?=e1+e2,?t? ?=2e1+8e2,? ?=3e1-3e2,所以 5? ? ? ? ? ?=5e1+5e2- 3e1+3e2=2e1+8e2=?t ? ?,所以?t? ?=5? ? ? ? ? ?.由向量共面的充要条件可知,A,B,C,D 四点共面. 答案 C 2.在平行六面体 ABCD-EFGH 中,若? ? ?=x? ?-2y?t? ?+3z?t? ?,则 x+y+z 等于( ) 6 A.7 6 B.2 3 C.3 4 D.5

11、6 解析由于? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ?t ? ?,对照已知式子可得 x=1,-2y=1,3z=1,故 x=1,y=-1 2,z= 1 3, 从而 x+y+z=5 6. 答案 D 3.(多选)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P,M 为空间任意两点,如果有? ? ? ?1 ?+7? ?+6?1?-4?1?1?, 那么对 M 判断错误的是() A.在平面 BAD1内 B.在平面 BA1D内 C.在平面 BA1D1内 D.在平面 AB1C1内 解析 ? ? ? ?1 ?+7? ?+6?1?-4?1?1? =?1 ?

12、? ? ? ?+6?1?-4?1?1? =?1 ? ? ?1?1 ?+6?1?-4?1?1? =?1 ?+6(?1? ? ? ? ?)-4(?1? ? ?1 ?) =11?1 ?-6? ?-4?1?, 且 11-6-4=1, 于是 M,B,A1,D1四点共面. 答案 ABD 4.设棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点所构成的集合为 S.向量的集 合 P=m|m=P1?2 ?,P1,P2S,则 P 中长度为 3a 的向量有 个;P 中长度等于 a 的向量有 个. 7 解析每一条体对角线对应两个向量,正方体共有 4 条体对角线,所以 P中长度为 3a 的向量有 8 个.正

13、方体有 12 条棱且长度均为 a,则 P 中长度等于 a 的向量有 24 个. 答案 824 5.已知 O 是空间任一点,A,B,C,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且? ? ?=2x? ?+3yt? ?+4z? ?,则 2x+3y+4z=. 解析? ? ?=2x? ?+3yt? ?+4z? ? =-2x? ? ?-3y?t? ?-4z? ?. 由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即 2x+3y+4z=-1. 答案-1 6.如图,设 O为ABCD 所在平面外任意一点,E 为 OC 的中点,若?t ? ? ? 1 2? ? ?+x? ?+y? ?,求 x,y 的值. 解因为?

14、t ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? tt ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? ? 1 2?t ? ? =-? ? ? ? 1 2?t ? ? =-? ? ? ? 1 2(? ? ? ? ?t ? ?) =-? ? ? ? 1 2(? ? ? ? ? ? ?) =-? ? ? ? 1 2? ? ? ? 1 2(? ? ? ? ? ? ?) 8 =-3 2? ? ? ? 1 2? ? ? ? 1 2? ? ?, 所以 x=1 2,y=- 3 2. 7.已知非零向量 e1,e2不共线,如果? ? ?=e1+e2,?t? ?=2e1+8e2,? ?=3

15、e1-3e2,求证:A,B,C,D 四点共面. 证明证法一:令(e1+e2)+(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0, 则(+2+3v)e1+(+8-3v)e2=0. e1,e2不共线, ? ? 2? ? 3? ? 0, ? ? 8?-3? ? 0. 易知 ? ? -5, ? ? 1, ? ? 1 是其中一组解, 则-5? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?=0. A,B,C,D 四点共面. 证法二:观察易得?t ? ? ? ? ? ?=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5? ?. ? ? ? ? 1 5?t ? ? ? 1 5? ? ?.

16、由共面向量知,? ? ?,?t? ?,? ?共面. 又它们有公共点 A,A,B,C,D 四点共面. 8.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,O 是 B1D1的中点,求证:B1C平面 ODC1. 证明 ?1t ? ? ?1? ? ? ?t1 ? ? t1t ? ? ?1? ? ? ?t1 ? ? ?1? ? 9 =?1? ? ? ?t1 ? ? ?1? ? ? ? ? ?. O 是 B1D1的中点, ?1? ? ? ?1? ?=0,?1t? ? ?t1 ? ? ? ? ?. ?1t ?,?t1?,? ?共面,且 B1C平面 OC1D. B1C平面 ODC1. 素养培优练 1.如图所

17、示,四边形 ABCD 是空间四边形,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 CB,CD 上的点, 且tt ? ? ? 2 3t? ? ?,t? ? ? 2 3t? ? ?.求证:四边形 EFGH 是梯形. 证明E,H 分别是边 AB,AD 的中点, ?t ? ? ? 1 2? ? ?,?t? ? ? 1 2? ? ?, tt ? ? ? ?t ? ? ? ?t ? ? ? 1 2? ? ? ? 1 2? ? ? ? 1 2? ? ?. 又t? ? ? ? t? ? ? ? tt ? ? ? 2 3t? ? ? ? 2 3t? ? ? ? 2 3(t? ? ? ? t? ? ?)

18、=2 3? ? ?, tt ? ? ? 3 4t? ? ?, tt ? ? t? ? ?,|tt? ?|=3 4?t? ? ?|. 又点 F 不在 EH 上,四边形 EFGH 是梯形. 2.已知平行四边形 ABCD,从平面 ABCD 外一点 O 引向量?t ? ?=k? ?,?t? ?=k? ?,? ?=k?t? ?,?t? ?=k? ?. 10 求证:(1)点 E,F,G,H 共面; (2)AB平面 EFGH. 证明(1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,k? ?+k? ?=k? ?. 而?t ? ?=k? ?,?t? ?=k? ?,?t? ?+k? ? ? ?t ? ?. 又?t ? ? ? tt ? ? ? ?t ? ?,tt? ?=k? ?. 同理,tt ? ?=k? ?,t? ?=k?t? ?. ABCD 是平行四边形,?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, t? ? ? ? ? tt ? ? ? ? tt ? ? , 即t? ? ? ? tt ? ? ? tt ? ?.又它们有同一公共点 E, 点 E,F,G,H 共面. (2)由(1)知tt ? ?=k? ?, ? ? ? tt ? ?,即 ABEF.又 AB平面 EFGH, AB 与平面 EFGH 平行,即 AB平面 EFGH.