（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册2.3.2　圆的一般方程练习.docx

1、1 2.3.2圆的一般方程圆的一般方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若方程 ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0 表示圆,则实数 a 的取值范围是() A.RB.(-,0)(0,+) C.(0,+)D.(1,+) 解析当 a0 时,方程为 ?- 2?-2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 4(?2-2?2) ?2 ,由于 a2-2a+2=(a-1)2+10 恒成立,a0 时方 程表示圆. 当 a=0 时,易知方程为 x+y=0,表示直线. 综上可知,实数 a 的取值范围是(-,0)(0,+). 答案 B 2.圆 x2+y2-2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为()

2、A.2B. 2 2 C.1D. 2 解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线 x-y=1 的距离为 d=|1?2-1| 2 ?2. 答案 D 3.方程 x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0 表示() A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 2 解析原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0, ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 ? ? -?, ? ? -?. 方程表示点(-a,-b). 答案 D 4.方程 x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0 表示的图形是半径为 r(r0)的圆,则该圆的圆心在() A.第

3、一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析因为方程 x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0 表示的图形是圆, 又方程可化为 ? ? ? 2 2+(y-a)2=-3 4a 2-3a, 故圆心坐标为 - ? 2 ,? ,r2=-3 4a 2-3a. 又 r20,即-3 4a 2-3a0,解得-4a0, 故该圆的圆心在第四象限. 答案 D 5.圆(x+2)2+y2=5 关于 y 轴对称的圆的方程为() A.x2+(y+2)2=5B.x2+(y-2)2=5 C.(x-2)2+y2=5D.(x-2)2+(y-2)2=5 解析已知圆关于 y 轴对称的圆的圆心坐标为(2,0),半径不变,还是 5

4、,故对称圆的方程为(x-2)2+y2=5. 答案 C 6.已知圆 C 过定点(7,2),且和圆 C:x2+(y-3)2=2 相切于点(1,2),则圆 C 的一般方程是. 解析设定点(7,2)为点 A,切点(1,2)为点 B,圆 C的圆心 C坐标为(0,3),则直线 BC的方程为 x+y-3=0, 3 设圆 C的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 C 点坐标为 - ? 2 ,- ? 2 , 则 - ? 2 - ? 2 -3 ? 0, 72? 22? 7? ? 2? ? ? ? 0, 12? 22? ? ? 2? ? ? ? 0, 解得 ? ? -8, ? ? 2, ? ? -1. 所

5、以圆 C 的一般方程是 x2+y2-8x+2y-1=0. 答案 x2+y2-8x+2y-1=0 7.已知直线与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a0), 则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2. 4 把点 A(5,2)和点 B(3,-2)的坐标代入方程, 得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2, (3-a)2+(-2-2a+3)2=r2, 由可得 a=2,r2=10. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10, 即 x2+y2-4x-2y=5. 10.已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线 x+y-1=0 上,且圆心在第二象限,半径长为 2,求圆的一般

6、方程. 解圆心 C 的坐标为 - ? 2 ,- ? 2 , 因为圆心在直线 x+y-1=0 上, 所以-? 2 ? ? 2-1=0,即 D+E=-2. 又 r= ?2?2-12 2 ?2,所以 D2+E2=20. 由可得 ? ? 2, ? ? -4 或 ? ? -4, ? ? 2. 又圆心在第二象限,所以-? 20, 所以 ? ? 2, ? ? -4, 所以圆的一般方程为 x2+y2+2x-4y+3=0. 能力提升练 1.若 a -2,0,1,2 3 ,则方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示的圆的个数为() A.0B.1C.2D.3 5 解析根据题意,若方程 x2+y2+a

7、x+2ay+2a2+a-1=0 表示的圆,则有 a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0, 解得-2a2 3,又由 a -2,0,1, 2 3 ,则 a=0. 所以方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示的圆的个数为 1. 答案 B 2.(多选)已知圆 M 的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是() A.圆 M 的圆心为(4,-3) B.圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8 C.圆 M 的半径为 25 D.圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6 解析圆 M 的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0, 则(x-4)2+(y+3)2=25. 圆的圆心坐标为(4,-

8、3),半径为 5. 显然选项 C不正确,A,B,D 均正确. 答案 ABD 3.若圆 C 与圆 D:(x+2)2+(y-6)2=1 关于直线 l:x-y+5=0 对称,则圆 C 的方程为() A.(x+2)2+(y-6)2=1B.(x-6)2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1D.(x+1)2+(y+3)2=1 解析设圆心 D(-2,6)关于直线 x-y+5=0 对称的点 C 的坐标为(m,n), 则由 ?-6 ?21 ? -1, ?-2 2 - ?6 2 ? 5 ? 0, 得 m=1,n=3,故对称圆的圆心为 C(1,3),对称圆的半径和原来的圆一样, 故对称圆的方程为(x

9、-1)2+(y-3)2=1. 答案 C 6 4.当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时,它与定点 Q(3,0)的连线 PQ 的中点的轨迹方程是() A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1 解析设 P(x1,y1),PQ 的中点 M 的坐标为(x,y), Q(3,0), ? ? ?1?3 2 , ? ? ?1?0 2 , x1=2x-3,y1=2y. 又点 P在圆 x2+y2=1 上, (2x-3)2+(2y)2=1,故选 C. 答案 C 5.已知圆 x2+y2+4x-6y+a=0 关于直线 y=x+b 成轴对称图形,

10、则 a-b 的取值范围是. 解析由题意知,直线 y=x+b 过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得 b=5, 所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以 a13,由此得 a-b0,圆 M 为ABC 的外接圆. (1)求圆 M 的方程; (2)当 a 变化时,圆 M 是否过某一定点,请说明理由. 7 解(1)设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为圆 M 过点 A(0,a),B(- 3?,0),C( 3?,0), 所以 ?2? ? ? ? ? 0, 3? ?3? ? ? ? 0, 3?- 3? ? ? ? 0, 解得 D=0,E=3-a,F

11、=-3a, 所以圆 M 的方程为 x2+y2+(3-a)y-3a=0. (2)圆 M 过定点(0,-3).理由如下, 圆 M 的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0. 由 3 ? ? ? 0, ?2? ?2? 3? ? 0, 解得 x=0,y=-3. 所以圆 M 过定点(0,-3). 8.已知圆 C 的方程可以表示为 x2+y2-2x-4y+m=0,其中 mR. (1)若 m=1,求圆 C 被直线 x+y-1=0 截得的弦长; (2)若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 OMON(O为坐标原点),求 m 的值. 解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-

12、2)2=4,圆心到直线的距离为|1?2-1| 2 ?2, 所以圆 C 被直线 x+y-1=0 截得的弦长为 2 4-2=2 2. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 直线代入圆的方程得 5x2-8x+4(m-4)=0, 所以 x1+x2=8 5,x1x2= 4(?-4) 5 . 因为 OMON,所以 x1x2+y1y2=0, 8 所以5 4 ? 4(?-4) 5 ? 8 5+4=0, 所以 m=8 5,此时0. 素养培优练 1.已知圆 C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题: E=-4,F=4 是曲线 C 表示圆的充分非必要条件; 若曲线 C与 x轴交于两个不同点 A(x1

13、,0),B(x2,0),且 x1,x2-2,1),则 0F1; 若曲线 C与 x轴交于两个不同点 A(x1,0),B(x2,0),且 x1,x2-2,1),O为坐标原点,则|?t ? ? ? ?t ? ?|的最大 值为 2; 若 E=2F,则曲线 C 表示圆,且该圆面积的最大值为3 2 . 其中所有正确命题的序号是. 解析圆 C:x2+y2+2x+Ey+F=0 中,应有 4+E2-4F0,当 E=-4,F=4 时,满足 4+E2-4F0,曲线 C 表示圆, 但曲线 C 表示圆时,E 不一定等于-4,F 不一定等于 4,故正确; 若曲线 C与 x轴交于两个不同点 A(x1,0),B(x2,0),

14、且 x1,x2-2,1),则 x1,x2是 x2+2x+F=0 的两 根,=4-4F0,解得 F1,故不正确; 由知,|?t ? ? ? ?t ? ?|=|tt? ?|=|x1-x2|= (?1? ?2)2-4?1?2? 4-4?,故当 F=0,即 x1=2,x2=0,或 x1=0,x2=2 时,|?t ? ? ? ?t ? ?|取最大值 2,故正确; 由于 E=2F,则圆的半径的平方为1 4(4+E 2-4F)=1 4(4+4F 2-4F)= ?-1 2 2 ? 3 4, 则圆面积有最小值,无最大值,故不对. 答案 2.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最

15、小覆盖圆.最小覆 盖圆满足以下性质: 9 线段 AB 的最小覆盖圆就是以 AB 为直径的圆; 锐角ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线 W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线 W 上不同的四点. (1)求实数 t 的值及ABC 的最小覆盖圆的方程; (2)求四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程; (3)求曲线 W 的最小覆盖圆的方程. 解(1)由题意,t=-2. 由于ABC 为锐角三角形,外接圆就是ABC 的最小覆盖圆. 设ABC 外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 4-2? ? ? ? 0, 16 ? 4? ? ? ? 0

16、, 4 ? 2? ? ? ? 0, 解得 ? ? -3, ? ? 0, ? ? -4, ABC 的最小覆盖圆的方程为 x2+y2-3x-4=0. (2)DB 的最小覆盖圆就是以 DB 为直径的圆, DB 的最小覆盖圆的方程为 x2+y2=16. 又|OA|=|OC|=24,点 A,C 都在圆内. 四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程为 x2+y2=16. (3)由题意,曲线 W 为中心对称图形. 设曲线 W 上一点 P 的坐标为(x0,y0), 则?0 2 ? ?0 4=16. |OP|2=?0 2 ? ?0 2,且-2y02. 故|OP|2=?0 2 ? ?0 2=16-? 0 4 ? ?0 2=- ? 0 2-1 2 2 ? 65 4 , 当?0 2 ? 1 2时,|OP|max= 65 2 , 10 曲线 W 的最小覆盖圆的方程为 x2+y2=65 4 .