（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册第一章测评练习.docx

1、1 第一章测评第一章测评 (时间:120 分钟满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.在平行六面体 ABCD-ABCD中,向量? ?、?、? ?是( ) A.有相同起点的向量B.等长的向量 C.共面向量D.不共面向量 解析向量? ?、?、? ?显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ?,?D?,? ?共面,C正确,D 不正确. 答案 C 2.已知 a=(-2,-3,1),b

2、=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是() A.ac,bcB.ab,ac C.ac,abD.以上都不对 解析a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),ab=-4+0+4=0,ab. -4 -2 ? -6 -3 ? 2 1,ac. 答案 C 3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,? ? ? ? t ? ? ? ?1 ?= () A.?11 ? B.?1 ? 2 C.?1 ? D.?1 ? 解析如图所示, 长方体 ABCD-A1B1C1D1中, ? ? ? ? t ? ? ? ?1 ?=(? ? t? ?)+?1? ? ? ? ? ? ?1 ?

3、 ? ?1 ?. 答案 D 4. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,M 为 A1C1的中点,若? ? ?=a,?1?=c,t? ?=b,则t? 可表示为() A.-1 2a+ 1 2b+c B.1 2a+ 1 2b+c C.-1 2a- 1 2b+c D.1 2a- 1 2b+c 解析t ? ? 1 ? ? 1t ?=c+1 2(? ? ? ? t ? ?)= c+1 2(-a+b)=- 1 2a+ 1 2b+c. 答案 A 3 5.在四棱锥 P-ABCD 中,? ? ?=(4,-2,3),? ?=(-4,1,0),? ?=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高 h 等于 () A.1B.

4、2C.13D.26 解析设平面 ABCD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 4?-2? ? 3? ? 0, -4? ? ? ? 0. 不妨令 x=3,则 y=12,z=4,可得 n=(3,12,4), 四棱锥的高 h=|? ? ?| |?| ? 26 13=2. 答案 B 6.已知两不重合的平面与平面 ABC,若平面的法向量为 n1=(2,-3,1),? ? ?=(1,0,-2),?t? ?=(1,1,1),则( ) A.平面平面 ABC B.平面平面 ABC C.平面、平面 ABC 相交但不垂直 D.以上均有可能 解析由题意,n1? ? ?

5、=21+(-3)0+1(-2)=0,得 n1? ?, n1?t ? ?=21+(-3)1+11=0,得 n1?t? ?, 所以 n1平面 ABC, 所以平面的法向量与平面 ABC 的法向量共线,则平面平面 ABC. 答案 A 7.直线 AB 与直二面角-l-的两个面分别交于 A,B 两点,且 A,B 都不在棱 l 上,设直线 AB 与,所成的 角分别为和,则+的取值范围是() A.0+90 B.0+90 4 C.90+180 D.+=90 解析 如图,分别过点 A,B 向平面,作垂线,垂足为 A1,B1,连接 BA1,AB1. 由已知,所以 AA1,BB1,因此BAB1=,ABA1=.由最小角

6、定理得BAA1,而 BAA1+=90,故+=+90-BAA190, 当 ABl时,+=90,应选 B. 答案 B 8.长方体 A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为 1 的正方形,高为 2,则集合x|x=?12 ?,i1,2,3,4,j 1,2,3,4中元素的个数为() A.1B.2 C.3D.4 解析长方体 A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为 1 的正方形,高为 2, 建立如图的空间直角坐标系, 则 A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0), 5 B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2), 则

7、?12 ?=(-1,0,2), 与?11 ?=(0,0,2)相等的向量为?22? ? ?33 ? ? ?44 ?,此时?12?11?=22=4, 与?14 ?=(0,-1,2)相等的向量为?23?,此时?12?14?=22=4, 与?41 ?=(0,1,2)相等的向量为?32?,此时?12?41?=22=4, 与?21 ?=(1,0,2)相等的向量为?34?,此时?12?21?=-1+4=3, 与?12 ?=(-1,0,2)相等的向量为?43?, 此时?12 ?12?=1+4=5, 体对角线向量为?13 ?=(-1,-1,2),此时?12?13?=1+4=5, ?24 ?=(1,-1,2),?

8、12?24?=-1+4=3, ?31 ?=(1,1,2),?12?31?=-1+4=3, ?42 ?=(-1,1,2),?12?42?=1+4=5, 综上集合x|x=?12 ?i?,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5,集合中元素的个数为 3 个. 答案 C 二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对得 3分,有选错的得 0 分. 9.设 a,b,c 是空间一个基底,下列选项中正确的是() A.若 ab,bc,则 ac B.则 a,b,c 两两共面,但 a,b,c 不可能共面 C.对空间任一向

9、量 p,总存在有序实数组(x,y,z),使 p=xa+yb+zc D.则 a+b,b+c,c+a 一定能构成空间的一个基底 解析由 a,b,c 是空间一个基底,知: 在 A 中,若 ab,bc,则 a 与 c 相交或平行,故 A错误; 6 在 B 中,a,b,c 两两共面,但 a,b,c 不可能共面,故 B正确; 在 C 中,对空间任一向量 p,总存在有序实数组(x,y,z),使 p=xa+yb+zc,故 C正确; 在 D 中,a+b,b+c,c+a 一定能构成空间的一个基底,故 D 正确. 答案 BCD 10.已知向量 a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等

10、式中正确的是() A.(ab)c=bc B.(a+b)c=a(b+c) C.(a+b+c)2=a2+b2+c2 D.|a+b+c|=|a-b-c| 解析 A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确; B.左边=(4,2,2)(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)(2,5,-4)=2+10-12=0,左边=右边,因此正确. C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,左边= 右边,因此正确. D.由 C 可得左边= 59,a-b-c=(-1,-3,7),|a-b-c|= 59,左

11、边=右边,因此正确.故 BCD 正确. 答案 BCD 11.已知 ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是() A.(?1? ? ? ?1?1 ? ? ?11 ?)2=3?11? 2 B.?1t ?(?11? ? ?1? ?)=0 C.向量?1 ?与向量?1?的夹角是 60 D.正方体 ABCD-A1B1C1D1的体积为|? ? ?1? ?| 解析已知 ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以(?1? ? ? ?1?1 ? ? ?11 ?)2=?1?2? ?1?1? 2 ? ?11 ? 2=3? 11 ? 2,所 以 A 正确; 7 ?11 ? ? ?1? ? ? ?1 ?,AB

12、1A1C,?1t?1?=0,故 B 正确; ACD1是等边三角形,AD1C=60,又 A1BD1C,异面直线 AD1与 A1B 所成的夹角为 60,但是向量?1 ?与向量?1?的夹角是 120,故 C不正确; ABAA1,? ? ?1?=0, 故|? ? ?1? ?|=0,因此 D 不正确. 答案 AB 12.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ACBD;ACD 是等边三角形;AB 与平面 BCD 所成的角为 60;AB 与 CD 所成的角为 60.其中正确的结论有() A.B.C.D. 解析如图所示,建立空间直角坐标系 Oxyz,设正方形 ABC

13、D 的边长为 2,则 D(1,0,0),B(- 1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以?t ? ?=(0,-1,1),? ?=(2,0,0),t? ?=(1,0,-1),? ?=(1,-1,0),? ?=(-1,-1,0),?t? ? ?=0, 故 ACBD,正确. 又|?t ? ?|= 2,|t? ?|= 2,|? ?|= 2, 所以ACD 为等边三角形,正确. 对于,? ? ?为平面 BCD 的一个法向量, cos= ? ? ? |? ? ?|? | =(-1,-1,0)(0,1,0) 2 1 ? -1 2=- 2 2 . 因为直线与平面所成的角0,90,所以 AB 与平面

14、 BCD 所成的角为 45,故错误. 8 又 cos= AB ? ?CD? ? |AB ? ?|CD? ? | =(-1,-1,0)(1,0,-1) 2 2 =-1 2, 因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以 AB 与 CD 所成的角为 60,故正确. 答案 ABD 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5 分,共 20分. 13.棱长为 a 的正四面体中,? ? ?t? ? ? ?t ? ? ?= . 解析棱长为 a 的正四面体中,AB=BC=a,且? ? ?与t? ?的夹角为 120,ACBD. ? ? ?t? ? ? ?t ? ? ?=aacos 120+0=-? 2 2 . 答案-?

15、2 2 14.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2).若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=. 解析a=(1,n,2),b=(-2,1,2), 2a-b=(4,2n-1,2). 2a-b 与 b 垂直,(2a-b)b=0, -8+2n-1+4=0,解得 n=5 2, a= 1,5 2,2 ,|a|= 1 ? 25 4 ? 4 ? 3 5 2 . 答案3 5 2 15.设 PARtABC 所在的平面,BAC=90,PB、PC 分别与成 45和 30角,PA=2,则 PA 与 BC 的距离是;点 P 到 BC 的距离是. 解析 9 作 ADBC 于点 D, PA面 ABC, PAA

16、D.AD 是 PA 与 BC 的公垂线. 易得 AB=2,AC=2 3,BC=4,AD= 3,连接 PD,则 PDBC,P 到 BC 的距离 PD= 7. 答案 37 16.已知向量 m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中 a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题: 向量 n 与 z轴正方向的夹角恒为定值(即与 c,d 无关); mn 的最大值为 2; (m,n 的夹角)的最大值为3 4 ; 若定义 uv=|u|v|sin,则|mn|的最大值为 2. 其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号) 解析取 z 轴的正方向单位向量 a=(0,0,1), 则 cos= ? |?|?| ? 1

17、?2?2?121 ? 1 2 ? 2 2 , 向量 n 与 z轴正方向的夹角恒为定值 4,命题正确; mn=ac+bd? 2?2 2 ? ?2?2 2 ? ?2?2?2?2 2 ? 1?1 2 =1, 当且仅当 a=c,b=d 时取等号,因此 mn 的最大值为 1,命题错误; 由可得|mn|1,-1mn1, 10 cos= ? |?|?| ? ? ?2?2 ?2?2?12 - 1 1 2=- 2 2 , 的最大值是3 4 ,命题正确; 由可知:- 2 2 cos 2 2 , 4 3 4 , 2 2 sin1, mn=|m|n|sin1 21= 2,命题正确. 综上可知,正确的命题序号是. 答案

18、 四、解答题:本题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)如图所示,在四棱锥 M-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 AM 的长为 3,且 AM 和 AB,AD 的夹角都是 60,N 是 CM 的中点,设 a=? ? ?,b=? ?,c=?t?,试以 a,b,c 为基向量表示出向量 ? ? ?,并求 BN 的长. 解 ? ? ? ? t ? ? ? t? ? ? ? ? ? ? ? 1 2tt ? ? =? ? ? ? 1 2(?t ? ? ?t ? ?) =? ? ? ? 1 2?t ?-(? ? ? ? ? ?) =-1

19、2? ? ? ? 1 2? ? ? ? 1 2?t ?. 所以? ? ?=-1 2a+ 1 2b+ 1 2c, 11 |? ? ?|2=? ?2= -1 2a+ 1 2b+ 1 2c 2 =1 4(a 2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=17 4 . 所以|? ? ?|= 17 2 ,即 BN 的长为 17 2 . 18.(12 分)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面边长为 2. (1)设侧棱长为 1,求证:AB1BC1; (2)设 AB1与 BC1所成角为 3,求侧棱的长. (1)证明 ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ?,t1? ? 1 ? ? t ? ?. 因为 BB1平

20、面 ABC, 所以1 ? ?=0,1?t? ?=0. 又ABC 为正三角形, 所以=-=- 3 ? 2 3 . 因为?1 ?t1?=(? ? ? 1 ?)(1? ? t ? ?) =? ? ?1? ? ? ? ?t? ? ? 1 ? 2 ? 1 ?t? ? =|? ? ?|t? ?|cos+1? 2=-1+1=0, 所以 AB1BC1. (2)解由(1)知?1 ?t1?=|? ?|t? ?|cos+1? 2 ? 1 ? 2-1. 12 又|?1 ?|= ? ?2? 1? 2 ?2 ? 1 ? 2 =|t1 ?|, 所以 cos= 1 ? 2-1 2?1 ? 2 ? 1 2, 所以|1 ?|=2

21、,即侧棱长为 2. 19.(12 分)已知空间中三点 A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设 a=? ? ?,b=?t? ?. (1)若|c|=3,且 ct ? ?,求向量 c; (2)已知向量 ka+b 与 b 互相垂直,求 k 的值; (3)求ABC 的面积. 解(1)空间中三点 A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设 a=? ? ?,b=?t? ?, t ? ?=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), |c|=3,且 ct ? ?,c=mt? ?=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m), |c|= (-2?)2? (

22、-?)2? (2?)2=3|m|=3, m=1,c=(2,1,-2)或 c=(-2,-1,2). (2)由题得 a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2), ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2), 向量 ka+b 与 b 互相垂直,(ka+b)b=1-k+4=0,解得 k=5.k的值是 5. (3)? ? ?=(-1,-1,0),?t? ?=(1,0,-2),t? ?=(2,1,-2), cos= ? ? ?t? ? |? ? ?|?t? ? | ? -1 2 5=- 1 10, sin= 1- 1 10 ? 3 10, SABC=1 2|? ? ?|?t

23、? ?|sin=1 2 2 5 3 10 ? 3 2. 13 20.(12 分)已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)用向量法证明 E,F,G,H四点共面; (2)用向量法证明:BD平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有?t ? ? 1 4(? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?). 证明(1)如图,连接 BG,? ? ?=2? ?,t? ?=2? ?,则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2(t ? ? ? ? ? ?)=? ? ? ? ? ? ?

24、? ? ? ? ? ? ?, 由共面向量定理的推论知 E、F、G、H四点共面. (2)因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2? ? ? ? 1 2? ? ? =1 2(? ? ? ? ? ? ?)=1 2? ? ?. 所以 EHBD,又 EH平面 EFGH,BD平面 EFGH, 所以 BD平面 EFGH. (3)连接 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG, 由(2)知? ? ? ? 1 2? ? ?,同理? ? ? 1 2? ? ?,所以? ? ? ? ? ?, EHFG,EH=FG,所以 EG、FH 交于一点 M 且被 M 平分, 所以?t ? ? 1 2(? ? ?

25、 ? ? ? ?)=1 2 1 2(? ? ? ? ? ? ?)+1 2(?t ? ? ? ? ? ?) =1 4(? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?). 14 21.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 解取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 AB=AC 得 AEBC,从而 AEAD, AE= ?2-?2?A2-( t 2 ) 2 ?5. 以 A 为坐标原点,? ? ?的方向为 x

26、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 由题意知,A(0,0,0),P(0,0,4),M(0,2,0),C( 5,2,0),N 5 2 ,1,2 ,?t ?=(0,2,-4), ? ? ?= 5 2 ,1,-2 ,? ? ?= 5 2 ,1,2 . 设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则 ?t ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 2?-4? ? 0, 5 2 ? ? ?-2? ? 0,可取 n=(0,2,1). 15 于是|cos|= |? ?| |?|? ? | ? 8 5 25 .设 AN 与平面 PMN 所成的角为,则 sin =8 5 25 , 直线 AN

27、与平面 PMN 所成的角的正弦值为8 5 25 . 22.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ADC=90,平面 PAD底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC=1 2AD=1,CD= 3. (1)求证:平面 PBC平面 PQB; (2)当 PM 的长为何值时,平面 QMB 与平面 PDC 所成的角的大小为 60? (1)证明ADBC,Q 为 AD 的中点,BC=1 2AD, BCQD,BC=QD, 四边形 BCDQ 为平行四边形,BQCD. ADC=90,BCBQ. PA=PD,AQ=QD,PQAD.

28、又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD, PQ平面 ABCD,PQBC.又PQBQ=Q,BC平面 PQB. BC平面 PBC,平面 PBC平面 PQB. 16 (2)解由(1)可知 PQ平面 ABCD.如图,以 Q为原点,分别以 QA,QB,QP 所在直线为 x轴,y 轴,z 轴,建立 空间直角坐标系,则 Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3),B(0, 3,0),C(-1, 3,0), ? ? ?=(0, 3,0),?t? ?=(0, 3,0),? ?=(1,0, 3),?t? ?=(-1, 3,- 3), PC= (-1)2? ( 3)2? (-

29、3)2?7. 设PM ? ?=PC? ?,则PM? ?=(-, 3,- 3),且 01,得 M(-, 3, 3 ? 3),QM ?=(-, 3, 3(1-). 设平面 MBQ 的法向量为 m=(x,y,z),则 ?t ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 -? ?3? ?3(1-?)? ? 0, 3? ? 0. 令 x= 3,则 y=0,z= ? 1-?, 平面 MBQ 的一个法向量为 m=3,0, ? 1-? . 设平面 PDC 的法向量为 n=(x,y,z),则 ?t ? ? ? 0, ? ? ? ? 0,即 3? ? 0, ? ?3? ? 0. 令 x=3,则 y=0,z=- 3,平面 PDC 的一个法向量为 n=(3,0,- 3). 平面 QMB 与平面 PDC 所成的锐二面角的大小为 60, cos 60=|?| |?|?| ? |3 3- 3 ? 1-?| 12 3?( ? 1-?) 2 ? 1 2, =1 2.PM= 1 2PC= 7 2 . 17 即当 PM= 7 2 时,平面 QMB 与平面 PDC 所成的角大小为 60.