1、课时分层作业(十九)椭圆的标准方程 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1若曲线 x2 1k y2 1k1 表示椭圆，则 k 的取值范围是( ) Ak1Bk1 C1k1D1k0 或 0k1 D曲线 x2 1k y2 1k1 表示椭圆， 1k0， 1k0， 1k1k， 解得1k1，且 k0 2焦点坐标为(0,3)，(0，3)，长轴长为 10，则椭圆的标准方程为() A x2 100 y2 911 B y2 100 x2 911 Cy 2 25 x2 161 Dx 2 25 y2 161 C由题意 a5，c3，且焦点在 y 轴上，b 52324， 椭圆的标准方程为y 2 25 x2 161 3
2、已知椭圆x 2 8 y21 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 在椭圆上， 则|PF1|PF2| 的最大值是() A8B2 2C10D4 2 A由椭圆的定义得，|PF1|PF2|2a4 2， |PF1|PF2| |PF1|PF2| 2 2 8(当且仅当|PF1|PF2|时取等号) 4已知ABC 的周长为 20，且顶点 B(0，4)，C(0,4)，则顶点 A 的轨迹方 程为() Ax 2 36 y2 201(x0) Bx 2 20 y2 361(x0) Cx 2 6 y 2 201(x0) Dx 2 20 y2 6 1(x0) BABC 的周长为 20，顶点 B(0，4)，C(0,4)
3、， BC8 ABAC20812，128， 点 A 到两个定点的距离之和等于定值， 点 A 的轨迹是椭圆，焦点在 y 轴上， a6，c4，b220， 点 A 的轨迹是x 2 20 y2 361(x0) 5若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准 方程为() Ax 2 5 y21 Bx 2 4 y 2 5 1 Cx 2 5 y21 或x 2 4 y 2 5 1 D以上答案都不对 C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)， 由题意知当焦点在 x 轴上时，c2，b1， a25，所求椭圆的标准方程为x 2 5 y21 当焦点在 y 轴上时，b2，c1， a25，所求椭圆标准方
4、程为y 2 5 x 2 4 1 二、填空题 6已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆与 x 轴的一个交点到两 焦点的距离分别为 3 和 1，则椭圆的标准方程为 x2 4 y 2 3 1由题意可得 ac3， ac1. a2， c1. 故 b2a2c23，所以椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1 7 已知椭圆的中心在原点， 以坐标轴为对称轴， 且经过两点 P1( 6， 1)， P2( 3， 2)，则椭圆的方程为 x2 9 y 2 3 1设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0，且 mn) 椭圆经过点 P1，P2， 点 P1，P2的坐标适合椭圆方程 则 6mn1， 3m2n1， 两式联立，解
5、得 m1 9， n1 3. 所求椭圆方程为x 2 9 y 2 3 1 8如图所示，F1，F2分别为椭圆x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上， POF2是面积为 3的正三角形，则 b2 2 3由题意 SPOF2 3 4 c2 3，c2， a2b24 点 P 坐标为(1， 3)， 把 x1， y 3代入椭圆方程 x2 b24 y2 b21 中得 1 b24 3 b21，解得 b 22 3 三、解答题 9已知椭圆的中心在原点，且经过点 P(3,0)，a3b，求椭圆的标准方程 解当焦点在 x 轴上时，设其方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由椭圆过点 P(3,0)，知 9
6、a2 0 b21，又 a3b，解得 b 21，a29，故椭圆的方程为x2 9 y21 当焦点在 y 轴上时，设其方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 由椭圆过点 P(3,0)，知 0 a2 9 b21，又 a3b，联立解得 a 281，b29，故椭 圆的方程为y 2 81 x2 9 1 故椭圆的标准方程为y 2 81 x2 9 1 或x 2 9 y21 10一动圆过定点 A(2,0)，且与定圆 x24xy2320 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 解将圆的方程化为标准形式为(x2)2y262， 圆心坐标为 B(2,0)，半径为 6，如图： 由于动圆 M 与已知圆 B 相内切，设切点为 C
7、 已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离， 即|BC|MC| |BM|， 而|BC|6，|CM|AM|， |BM|AM|6 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(2,0)和点 A(2,0)为焦点的椭圆，且 2a6 a3，c2，b a2c2 5， 所求圆心的轨迹方程为x 2 9 y 2 5 1 11(多选题)下列命题是真命题的是() A已知定点 F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2| 2的点 P 的轨迹为椭 圆 B已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4 的点 P 的轨迹为线 段 C到定点 F1(3,0)，F2(3,0)距离相等的
8、点的轨迹为椭圆 D若点 P 到定点 F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点 M(5,3)到定点 F1( 4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点 P 的轨迹为椭圆 BDA 中 28，故点 P 的轨迹为椭圆 12一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2， 3)是椭圆上一 点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为() Ax 2 8 y 2 6 1Bx 2 16 y2 6 1 Cx 2 4 y 2 2 1Dx 2 8 y 2 4 1 A设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 由点 P(2， 3)在椭圆上知 4 a2 3 b21又|
9、PF 1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则 |PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a22c，c a 1 2，又 c 2a2b2， 联立 4 a2 3 b21， c2a2b2，得 a28，b26， c a 1 2， 故椭圆方程为x 2 8 y 2 6 1 13(一题两空)已知 A(1,0)，C(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 C 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 M、N 两点，且|MN|3，则椭圆的方程为，若 B 是椭圆上一点，则ABC 的最大面积为 x2 4 y 2 3 13设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21，令 xc，则 y b2 a ，由|MN| 3，得2b 2 a 3，
10、又 a2b2c21，a24，b23，所以椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1，结合椭圆知当 B 点为椭圆与 y 轴交点时，SABC的面积最大，此时 SABC 1 22 3 3 14已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260，椭圆 的短半轴长为 b 3，则PF1F2的面积为 3设|PF1|m，|PF2|n， 则根据椭圆的定义，得 mn2a 又F1PF2中，F1PF260， 根据余弦定理，得 4c2m2n22mncos 60， 即 m2n2mn4c2 联解，得 mn4 3b 2， 根据正弦定理，得PF1F2的面积为：S1 2mnsin 60 1 2 4 33 3 2 3
11、15设 F1，F2分别是椭圆x 2 4 y21 的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0， 1) (1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求|PF1 |PF2 |的最大值； (2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点，且BF1 CF1 ，求的值； (3)设 P 是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值 解(1)因为椭圆的方程为x 2 4 y21， 所以 a2，b1，c 3， 即|F1F2|2 3， 又因为|PF1|PF2|2a4， 所以|PF1|PF2| |PF1|PF2| 2 2 4 2 2 4， 当且仅当|PF1|PF2|2 时取“”， 所以|PF1|PF2|的最大值为 4， 即|PF1 |PF2 |的最大值为 4 (2)设 C(x0，y0)，B(0，1)，F1( 3，0)， 由BF1 CF1 得 x0 31 ，y01 又x 2 0 4 y201，所以有2670， 解得7 或1，又BF1 与CF1 方向相反，故1 舍去，7 (3)因为|PF1|PB|4|PF2|PB|4|BF2|， 所以PBF1的周长4|BF2|BF1|8， 所以当 P 点位于直线 BF2与椭圆的交点处时，PBF1周长最大，最大值为 8
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