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(2021新人教B版)高中数学必修第一册2.2.4 第2课时均值不等式的应用 练习.zip

1、第二章第二章2.22.2.4第第 2 课时课时 1若实数 a,b 满足 ab0,则 a24b2的最小值为(C) 1 ab A8B6 C4D2 解析:直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果实数 a,b 满足 ab0,则 a24b24ab4,当且仅当 a2b,且 ab 时,等号成立,故选 C 1 ab 1 ab 1 2 2若 a0,b0,且 ab4,则下列不等式恒成立的是(D) A B 1 1 ab 1 4 1 a 1 b C2Da2b28 ab 解析:4ab2(当且仅当 ab 时,等号成立),即2,ab4, ,A,C 不 abab 1 ab 1 4 成立; 1,B 不成立;a2b2(ab)

2、22ab162ab8. 1 a 1 b ab ab 4 ab 3若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_25_m2_. 解析:设矩形的一边为 x m, 则另一边为 (202x)(10 x)m, 1 2 所以 yx(10 x)225, x10 x 2 当且仅当 x10 x,即 x5 时,ymax25 m2. 4已知关于 x 的不等式 2x7 在 x(a,)上恒成立,则实数 a 的最小值为 2 xa _ _. 3 2 解析:由 xa,知 xa0,则 2x2(xa) 2 xa 2a22a42a,由题意可知 42a7,解得 a ,即实数 a 的最 2 xa 2xa 2 x

3、a 3 2 小值为 . 3 2 第二章第二章2.22.2.4第第 2 课时课时 请同学们认真完成 练案 16 A 级基础巩固 一、单选题(每小题 5 分,共 25 分) 1若 0 x ,则 yx的最大值为(C) 1 214x2 A1B 1 2 C D 1 4 1 8 解析:因为 0 x0,所以 1 2 x 2x ,当且仅当 2x即 x时等号成 14x2 1 214x2 1 2 4x214x2 2 1 414x2 2 4 立,故选 C 2当 x1 时,不等式 xa 恒成立,则实数 a 的取值范围是(D) 1 x1 A(,2B2,) C3,)D(,3 解析:由于 x1,所以 x10,0, 1 x1

4、 于是 xx11213, 1 x1 1 x1 当x1 即 x2 时等号成立, 1 x1 即 x的最小值为 3,要使不等式恒成立,应有 a3,故选 D 1 x1 3(2019江苏南京师大附中高二期中)函数 y(x1)的图像的最低点的坐 x22x2 x1 标是(D) A(1,2)B(1,2) C(1,1)D(0,2) 解析:x1,x10.y(x1)2,当且仅当 x1,即 x121 x1 1 x1 1 x1 x0 时等号成立,即当 x0 时,该函数取得最小值 2.所以该函数图像最低点的坐标为(0,2) 4若对所有正数 x,y,不等式 xya都成立,则 a 的最小值是(A) x2y2 AB2 2 C2

5、D8 2 解析:因为 x0,y0, 所以 xy, x2y22xy2x22y22x2y2 当且仅当 xy 时等号成立, 所以使得 xya对所有正数 x,y 恒成立的 a 的最小值是.故选 A x2y22 5若点 A(2,1)在直线 mxny10 上,其中 m,n 均大于 0,则 的最小值 1 m 2 n 为(C) A2B4 C8D16 解析:因为点 A 在直线 mxny10 上, 所以2mn10,即 2mn1. 因为 m0,n0,所以 2 2428,当且仅 1 m 2 n 2mn m 4m2n n n m 4m n n m 4m n 当 m ,n 时取等号故选 C 1 4 1 2 二、填空题(每

6、小题 5 分,共 15 分) 6已知 x ,则 y的最小值是_1_. 5 2 x24x5 2x4 解析:f(x) x221 2x4 x2 2 1 2x4 2x4 4 1 2x4 21. 2x4 4 1 2x4 当且仅当,即 x3 时取“” 2x4 4 1 2x4 7(2019辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数 x,y 满足 1,且不等式 x 1 x 4 y m23m 有解,则实数 m 的取值范围是_(,1)(4,)_. y 4 解析:不等式 x m23m 有解,(x )min0,y0,且 y 4 y 4 1,x (x )( )2224,当且仅当,即 1 x 4 y y 4 y 4 1 x

7、4 y 4x y y 4x 4x y y 4x 4x y y 4x x2,y8 时取等号,(x )min4,m23m4,即(m1)(m4)0,解得 m4, y 4 故实数 m 的取值范围是(,1)(4,) 8若正数 a,b 满足 abab3,则 ab 的取值范围是_9,)_;ab 的取值 范围是_6,)_. 解析:正数 a,b 满足 abab3, abab323, ab 即()2230, abab 解得3,即 ab9,当且仅当 ab3 时取等号 ab ab9,) 正数 a,b 满足 abab3,ab3ab()2, ab 2 即(ab)24(ab)120,解得 ab6, 当且仅当 ab3 时取等

8、号, ab6,) 三、解答题(共 20 分) 9(6 分)(2019湖北华中师大一附中高二检测)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,且 abc1.求证:abc. 1 a2 1 b2 1 c2 解析:因为 a,b,c 都是正实数,且 abc1, 所以2c, 1 a2 1 b2 2 ab 2a, 1 b2 1 c2 2 bc 2b, 1 a2 1 c2 2 ac 以上三个不等式相加,得 2()2(abc), 1 a2 1 b2 1 c2 即abc. 1 a2 1 b2 1 c2 因为 a,b,c 不全相等, 所以上述三个不等式中的“”不都同时成立 所以 abcbc,nN 且,求 n 的最大值 1

9、 ab 1 bc n ac 解析:abc,ab0,bc0,ac0. , 1 ab 1 bc n ac n. ac ab ac bc ac(ab)(bc), n, abbc ab abbc bc n2. bc ab ab bc 22(2bac 时取等号) bc ab ab bc bc ab ab bc n4.n 的最大值是 4. 11(7 分)已知 a,b,c 都是正实数,且 abc1, 求证:(1a)(1b)(1c)8abc. 解析:abc1, (1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab) 又 a,b,c 都是正实数, 0,0,0. ab 2ab bc 2bc ac 2ac abc. ab

10、bcac 8 (1a)(1b)(1c)8abc, 当且仅当 abc 时,等号成立 1 3 B 级素养提升 一、单选题(每小题 5 分,共 10 分) 1某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平 均增长率为 x,则(B) AxBx ab 2 ab 2 CxDx ab 2 ab 2 解析:由条件知 A(1a)(1b)A(1x)2, 所以(1x)2(1a)(1b)2, 1a1b 2 所以 1x1,故 x. ab 2 ab 2 2已知正实数 m,n 满足 mn1,且使 取得最小值若 y ,x 是方程 1 m 16 n 5 m 4 n yx的解,则 (C) A1B

11、1 2 C2D3 解析: ( )(mn)1 1617 17225. 1 m 16 n 1 m 16 n 16m n n m 16m n n m 16m n n m 当且仅当 ,又 mn1, 16m n n m 即 m ,n 时,上式取等号, 1 5 4 5 即 取得最小值时,m ,n ,所以 y25,x5,255. 1 m 16 n 1 5 4 5 得 2. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分) 3设 a0,b0,下列不等式恒成立的是(ABC) Aa21aB(a )(b )4 1 a 1 b C(ab)( )4Da296a 1 a 1 b 解析:由于 a21a(a )2 0, 1 2 3

12、 4 a21a,故 A 恒成立; 由于 a 2,b 2, 1 a 1 b (a )(b )4,当且仅当 ab1 时,等号成立,故 B 恒成立; 1 a 1 b 由于 ab2, 2, ab 1 a 1 b 1 ab (ab)( )4,当且仅当 ab 时,等号成立,故 C 恒成立; 1 a 1 b 当 a3 时,a296a,故 D 不恒成立;故选 ABC 4设 a,bR,且 ab,ab2,则必有(BD) Aab1Bab1 C1 a2b2 2 a2b2 2 解析:因为 ab()2,ab,所以 ab1, ab 2 又 11,所以 ab10,则取最小值时 a 的值为_2_. 1 2|a| |a| b 解

13、析:因为 ab2, 所以 1 2|a| |a| b 2 4|a| |a| b ab 4|a| |a| b 21, a 4|a| b 4|a| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b a 4|a| 当且仅当时等号成立 b 4|a| |a| b 又 ab2,b0, 所以当 b2a,a2 时,取得最小值 1 2|a| |a| b 四、解答题(共 10 分) 7某厂家拟在 2019 年举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量(也即该产品的 年产量)x 万件与年促销费用 m(m0)万元满足 x3(k 为常数),如果不搞促销活动, k m1 则该产品的年销售量只能是 1 万件已知 2019

14、年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将 2019 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 (2)该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解析:(1)由题意知,当 m0 时,x1, 13k,即 k2,x3, 2 m1 每件产品的销售价格为 1.5(元), 816x x 2019 年该产品的利润 y1.5x816xm(m1)29(m0) 816x x 16 m1 (2)m0,(m1)28, 16 m116 y82921,当且仅当 m1,即 m3 时,ymax21.故该厂家 2019 年的促 16 m1 销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大利润为 21 万元

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