（2021新人教B版）高中数学必修第四册第十一章 11.4空间中的垂直关系 ppt课件.zip

1、11.4空间中空间中的垂直关系的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直直线与平面垂直 第十一章 立体几何初步 学习目标 1.掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式. 2.掌握线面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明线面垂直，能掌握线面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明线面垂直，能 利用线面垂直得到线线垂直关系利用线面垂直得到线线垂直关系. 3.掌握面面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明面面垂直，能掌握面面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明面面垂直，能 利用面面垂直得到线面垂直关系利用面面垂直得到线面垂直关系. 学习目标 重点重点：空间

2、线、面垂直的定义、判定和性质空间线、面垂直的定义、判定和性质. 难点：难点：空间线线、线面和面面垂直的判定和性质定理的推导以及应用空间线线、线面和面面垂直的判定和性质定理的推导以及应用. 知识梳理 1.异面直线所成的角 一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别 作与a，b平行或重合的直线a，b，则a与b所成角的大小，称为异面直 线a与b所成角的大小. 一一、直线与直线所成的角、直线与直线所成的角 如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即 为；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小 ，即为. 90 45 2.空间两

3、直线垂直 规定空间中两条平行直线所成角的大小为. 两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 空间中两条直线l，m所成角的大小为90时，称l与m垂直，记作. 若ab且bc，则一定有. 0 lm ac 二二、直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的判定定理 两条相交 如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这 个平面. 三三、直线与直线与平面垂直的性质平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质定理（简称为线面垂直的性质定理） 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直. 如果C是平面内一点，且AC与不垂直，则称AC是平面

4、的（相应地， 直线AC称为平面的斜线），称C为斜足. 直线BC称为直线AC在平面内的射影. 特别地，ACB称为直线AC与平面所成的角. ACAD的充要条件是BCBD或ACBADB. 斜线段 例1 一异面直线所成的角异面直线所成的角 常考题型 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点， 求异面直线DB1与EF所成角的大小. 【解】【解】（方法1）如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O， 取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OGB1D，EFA1C1， GOA1为异面直线DB1与EF所成的角. GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1，

5、 异面直线DB1与EF所成的角为90. 求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤 （1）作：根据定义，用平移法作出异面直线所成的角. （2）证：证明作出的角就是要求的角. （3）计算：寻找或作出含有此角的三角形，求解计算. （4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求 出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 60 【方法点拨】【方法点拨】 求异面直线所成角的关键是“作角”，一般需要对两条异面直线采取平移构造 ，即将不相交的两条直线平移转化为相交直线，再求所成角，平移过程多用 到中位线、平行四边形等的平行性质. 例2 二线面垂直的判定与证明问题线面垂直的

6、判定与证明问题 如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角 形，ABBC2，CDSD1. 证明：SD平面SAB. 【解题提示】【解题提示】取AB的中点E，结合图形结构，根据所给长度 ，可以联想到利用勾股定理的逆定理证得SDSE，再由题目 条件易得AB平面SDE，从而得到SDAB，进而得到结论. 判断或证明线面垂直的方法判断或证明线面垂直的方法 （1）证明直线a垂直于平面内的任意一条直线，从而得直线a平面. （2）如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面 垂直，简记为“线线垂直线面垂直”. （3）利用常用结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于

7、一个平面，那么 另一条也垂直于这个平面；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 ，那么它也垂直于另一个平面. （4）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面. 【解题技巧】【解题技巧】 垂直关系的转化是立体几何的重点，要证线面垂直，可证线线垂直；要证线线 垂直，可证线面垂直.关键是在平面内找出（或作出）与已知直线垂直的直线， 利用等腰（边）三角形的性质是解决线线垂直的一种常用方法. 2. 2019安徽安庆高三期末安徽安庆高三期末如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是一个等腰梯形，四边形CDEF是一个矩形，ABCD，ACFB，ABC 60，BC

8、CD2，CF3. 求证：FC平面ABCD. 【方法技巧】【方法技巧】 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： （1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. （2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线. （3）根据判定定理得出结论. 三三线线垂直的判定与证明线线垂直的判定与证明问题问题 例3 如图，已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAD是等腰三角形 ，点M，N分别是AB，PC的中点. 求证：MNCD. 【解题提示】【解题提示】要证明MNCD，可先证明MN平面 PCD，只需在平面PCD内找到两条相交直线，使它们都 与MN垂直即可. 判断或证明线线垂直的方法判断或证明线线垂直

9、的方法 （1）两直线垂直的定义，判断两直线所成的角为90. （2）线面垂直的概念，a，bab. （3）平面几何性质（如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂直 于底边等）. 如图所示，平面CD，EA，垂足为A，EB，垂足为B，则CD与AB 的位置关系是. CDAB 小结 一、直线与直线所成的角 1.异面直线所成的角 一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别 作与a，b平行或重合的直线a，b，则a与b所成角的大小，称为异面直 线a与b所成角的大小. 2.空间两直线垂直 空间中两条直线l，m所成角的大小为90时，称l与m垂直，记作lm. 二、直线与平面垂直的判定与性

10、质 直线与平面垂直的性质定理（简称为线面垂直的性质定理） 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 11.4空间中的垂直关系空间中的垂直关系 11.4.2 平面与平面垂直平面与平面垂直 第十一章 立体几何初步 学习目标 1.理解二面角、二面角的平面角的概念理解二面角、二面角的平面角的概念. 2.理解两个平面垂直的定义理解两个平面垂直的定义. 3.理解平面与平面垂直的判定定理理解平面与平面垂直的判定定理. 4.能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题. 5.理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明. 6.能运用

11、性质定理证明一些空间位置关系的简单命题能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 学习目标 重点重点：通过直观感知、操作确认，概括出面面垂直的判定定理、性质通过直观感知、操作确认，概括出面面垂直的判定定理、性质 定理定理. 难点：难点：面面垂直判定定理的应用及二面角的求法，性质定理的证明面面垂直判定定理的应用及二面角的求法，性质定理的证明. 知识梳理 1.二面角定义 一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称 为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角， 这条直线称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 . 一、二面角一、二面角 棱面 2.二面角的

12、平面角 如图所示，在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平 面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二 面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大 小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为 .直二面角 一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是 它们所形成的4个二面角中，不大于90的角的大小. 二二、平面与平面垂直、平面与平面垂直 例1 一求二面角的大小求二面角的大小 常考题型 【点评】【点评】 二面角的平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边与二面角的棱垂直， 垂足为棱上同一个点，因此这个角所在的平面与棱垂直. D

13、 例2 二面面垂直的判定与证明问题面面垂直的判定与证明问题 如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，PA 平面ABC. （1）求证：平面PBC平面PAC. （2）若AEPC，E为垂足，F为PB上任意一点. 求证：平面AEF平面PBC. 1.如图所示，已知ABCD是平行四边形，且PAPC，PDPB. 求证：平面PAC平面ABCD. 三三翻折与探索性问题翻折与探索性问题 翻折问题中的垂直关系 例3 解决折叠问题的方法解决折叠问题的方法 （1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情 况下，折线同侧的量不变，抓住不变量是解决问题的突破口. （2）综合折叠前

14、后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形. 【方法技巧】【方法技巧】 不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相应变 化，元素间的大小与位置关系，哪些不变，哪些变化. 垂直关系中的探索性问题 例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱 形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. （1）求证：ADPB. （2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面 ABCD？证明你的结论. 【点评】【点评】 垂直关系中的探索性问题一般是探索某点在什么位置满足垂直关系，解题时 要充分借助图形特征，利用重要的判定定

15、理与性质定理，先大胆猜想，再仔 细论证. 探索性问题的两种主要类型探索性问题的两种主要类型 一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件. 二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾， 则结论为“不存在”. 小结 一、二面角 1.二面角定义 一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称 为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角， 2.二面角的平面角 在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作 垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面 角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的 平面角大小. 二、平面与平面垂直