1、素养等级测评三素养等级测评三 一、单选题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1已知 f(x)3x2,则 f(2x1)等于(B) A3x2B6x1 C2x1D6x5 解析:在 f(x)3x2 中,用 2x1 替换 x,可得 f(2x1)3(2x1)26x3 26x1. 2函数 y 2x 2x23x2的定义域为( B) A(,2 B ,1 2 1 2,2 C ,1 2 1 2,2 D(,1 解析:若使函数有意义,则 2x0, 2x23x20, 由此可得 x2, x2 且 x1 2. 所以,函 数的定义域为 ,1 2 1 2,2.
2、故选 B 3如图,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,M 是 CD 的中点,则当点 P 沿着路径 ABCM(不包含 A,M 点)运动时,APM 的面积 y 关于点 P 经过的路程 x 的函数 y f(x)的图像的大致形状为(A) 解析:根据题意,得 yf(x) 1 2x,0 x1, 3 4 1 4x,1x2, 5 4 1 2x,2x0. 若 f(a)4,则实数 a 等于(B) A4 或2B4 或 2 C2 或 4D2 或 2 解析:当 a0 时,有 a24,a2;当 a0 时,有a4,a4.因此 a4 或 a2. 5已知二次函数 f(x)x2(m1)x2m 在0,1上有且只有一个零点,则
3、实数 m 的取值 范围为(D) A(2,0)B(2,0 C2,0)D2,0 解析:当方程 x2(m1)x2m0 在0,1上有两个相等的实数根时, 有 m128m0, 0m1 2 1, 此时无解 当方程 x2(m1)x2m0 有两个不相等的实数根时,分下列三种情况讨论 有且只有一根在0,1上时,有 f(0)f(1)0, 即 2m(m2)0,解得2m0; 当 f(0)0 时,m0,方程化为 x2x0,解得 x10,x21,满足题意; 当 f(1)0 时,m2,方程可化为 x23x40,解得 x11,x24,满足题意 综上所述,实数 m 的取值范围为2,0 故选 D 6设函数 f(x)(xR)为奇函
4、数,f(1)1 2,f(x2)f(x)f(2),则 f(5)等于( C) A0B1 C5 2 D5 解析:令 x1,得 f(1)f(1)f(2)f(x)为奇函数,f(1)f(1),f(1) f(1)f(2),1 2 1 2f(2),f(2)1.令 x1,得 f(3)f(1)f(2) 1 21 3 2.令 x3,得 f(5) f(2)f(3)5 2. 7已知定义在 R 上的奇函数 f(x),在0,)上单调递减,且 f(2a)f(1a)0, 则实数 a 的取值范围是(D) A 3 2,2B 3 2, C 1,3 2D ,3 2 解析:f(x)在0,)上单调递减且 f(x)为奇函数, f(x)在(,
5、0)上单调递减,从而 f(x)在(,)上单调递减,f(2a)f(a1), 2aa1,a3 2,故选 D 8已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数,若方 程 f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1x2x3x4等于 (C) A6B6 C8D8 解析:f(x)在 R 上是奇函数,所以 f(x4)f(x)f(x),故 f(x)关于 x2 对称,f(x) m 的根关于 x2 对称,x1x2x3x44(2)8. 二、多选题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有 多个选项符合题目
6、要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分) 9下列各组函数表示的是同一个函数的是(BD) Af(x) 2x3与 g(x)x 2x Bf(x)|x|与 g(x) x2 Cf(x)x1 与 g(x)xx0 Df(x)x x与 g(x)x 0 解析:对于 A,f(x) 2x3与 g(x)x 2x的对应关系不同,故 f(x)与 g(x)表示的不 是同一个函数; 对于 B,f(x)|x|与 g(x) x2的定义域和对应关系均相同,故 f(x)与 g(x)表示的是同一个 函数; 对于 C,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为x|x0,故 f(x)与 g(x)表示的不是同一
7、个函 数; 对于 D,f(x)x x与 g(x)x 0的对应关系和定义域均相同,故 f(x)与 g(x)表示的是同一个 函数 10下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(BD) Af(x)1 x Bf(x)x3 Cf(x)x|x|Df(x)3x 解析:Af(x)1 x在定义域(,0)(0,)上是奇函数,且在每一个区间上是减函 数,不能说函数在定义域上是减函数,不满足题意;对于 B,f(x)x3在定义域 R 上是 奇函数,且是减函数,满足题意,对于 C,f(x)x|x| x2,x0, x2,x0 在定义域 R 上是奇 函数,且是增函数,不满足题意;对于 D,f(x)3x在定义域 R 上是奇函
8、数,且是减函 数,满足题意故选 BD 11已知函数 f(x) 1x x3,则(ABD) Af(x)的定义域为3,1Bf(x)为非奇非偶函数 Cf(x)的最大值为 8Df(x)的最小值为 2 解析:由题设可得函数的定义域为3,1,f 2(x)42 x22x34 2 4x12,而 0 4x122,即 4f 2(x)8,f(x)0,2f(x)2 2,f(x) 的最大值为 2 2,最小值为 2,故选 ABD 12下列说法正确的是(AD) A若方程 x2(a3)xa0 有一个正实根,一个负实根,则 a0 B函数 f(x) x21 1x2是偶函数,但不是奇函数 C若函数 f(x)的值域是2,2,则函数 f
9、(x1)的值域为3,1 D曲线 y|3x2|和直线 ya(aR)的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1 解析:设方程 x2(a3)xa0 的两根分别为 x1,x2,则 x1x2a0,故 A 正确;函 数 f(x) x21 1x2的定义域为 x210, 1x20, 则 x1,f(x)0,所以函数 f(x)既是 奇函数又是偶函数,故 B 不正确;函数 f(x1)的值域与函数 f(x)的值域相同,故 C 不正确; 曲线 y|3x2|的图像如图, 由图知曲线 y|3x2|和直线 ya 的公共点个数可能是 2,3 或 4, 故 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
10、将答案填在题中横线上) 13若 f(x) a x,x1. x3a,x1 是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是 _ 1 2,_. 解析:f(x)x3a 在 x(,1)上是单调递减的,且 f(x)在 R 上是单调函数, f(x)在 R 上一定单调递减, a0, a13a, 解得 a1 2.a 1 2,. 14函数 f(x)1x 1x的定义域为_(,1)(1,)_,单调递减区间为_( ,1)和(1,)_. 解析:函数 f(x)的定义域为(,1)(1,)任取 x1,x2(1,)且 x1 x2,则 f(x1)f(x2) 2x2x1 1x11x20,即 f(x 1)f(x2),故 f(x)在(1
11、,)上为减函数; 同理,可得 f(x)在(,1)上也为减函数 15函数 yf(x)是 R 上的增函数,且 yf(x)的图像经过点 A(2,3)和 B(1,3),则不 等式|f(2x1)|3 的解集为_ 1 2,1_. 解析: 因为 yf(x)的图像经过点 A(2, 3)和 B(1,3), 所以 f(2)3, f(1)3.又|f(2x 1)|3,所以3f(2x1)3,即 f(2)f(2x1)f(1)因为函数 yf(x)是 R 上的增函数, 所以22x12, 2x11 2, x1, 所以1 2x0,所以方程有两根,相应地,函数 f(x)x2ax1(a(4,5)有 2 个不动点 四、解答题(本大题共
12、 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10 分)已知函数 f(x)2x1 x1 . (1)求函数的定义域; (2)试判断函数在(1,)上的单调性,并给予证明; (3)求函数在3,5上的最大值和最小值 解:(1)函数 f(x)2x1 x1 ,x10,x1.函数的定义域是x|x1 (2)函数 f(x)在(1,)上是增函数 证明如下:任取 x1,x2(1,),且 x1x2,f(x)2x1 x1 2 3 x1, 则 f(x1)f(x2) 2 3 x11 2 3 x21 3 x21 3 x11 3x1x2 x11x21. 1x1x2,x1x20, f(x1)f(x2)0
13、,即 f(x1)1,求证:|x1x2|1. 解:(1)证明:对任意实数 x,有 f(x) x2 x21 x2 x21f(x),故函数 f(x)是偶函数 (2)当 x0 时,f(x)f 1 x x2 x21 1 x2 1 x21 x2 x21 1 x211, ABf(1)f(1) f2f 1 2 f2 020f 1 2 0202 020. (3)证明:由 f(x1)f(x2)1,得 x21 x211 x22 x2211,即 x 2 1(x221)x22(x211)(x211)(x221), 所以 x21x221,所以|x1x2|1. 20(12 分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,
14、出厂单价定为 60 元该厂为 了鼓励销售商订购,决定每一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出 厂单价就降 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元 (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好为 51 元? (2)当销售商一次订购 x 个零件时,该厂获得的利润为 P 元,写出 Pf(x)的表达式 解析: (1)设每个零件的实际出厂价格恰好为 51 元时, 一次订购量为 x0个, 则 600.02(x0 100)51,解得 x0550,所以当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好为 51 元 (2)设一次订量为 x 个时,零件的实际出厂单价为
15、W,工厂获得利润为 P,由题意 P(W 40)x, 当 0 x100 时,W60; 当 100 x550 时,W600.02(x100)62 x 50; 当 x550 时,W51. 当 0 x100 时, f(x)(6040)x20 x; 当 100 x550 时, f(x)(22 x 50)x22x 1 50 x 2; 当 x550 时, f(x)(5140)x11x. 故 f(x) 20 x0 x100,xN 22xx 2 50 100 x550,xN 11xx550,xN . 21(12 分)已知函数 f(x)xm x ,且此函数图像过点(1,5) (1)求实数 m 的值; (2)判断
16、f(x)的奇偶性; (3)讨论函数 f(x)在2,)上的单调性 解:(1)函数 f(x)的图像过点(1,5),1m5, m4. (2)由(1)知 f(x)x4 x, x0,f(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称 f(x)x 4 xf(x),f(x)是奇函数 (3)任取 x1,x22,),且 x1x2,f(x1)f(x2) x14 x1x 2 4 x2(x 1x2)4x 2x1 x1x2 x1x2x1x24 x1x2 . x1,x22,)且 x1x2,x1x24, f(x1)f(x2)0,f(x)在2,)上单调递增 22(12 分)设函数 f(x)的定义域为 Ux|xR 且 x0,且满
17、足条件 f(4)1.对任意的 x1,x2U,有 f(x1x2)f(x1)f(x2),且当 x1x2时,有fx2fx1 x2x1 0. (1)求 f(1)的值; (2)如果 f(x6)f(x)2,求 x 的取值范围 解:(1)因为对任意的 x1,x2U,有 f(x1x2)f(x1)f(x2), 所以令 x1x21,得 f(11)f(1)f(1)2f(1),所以 f(1)0. (2)设 0 x1x2,则 x2x10. 又因为当 x1x2时,fx2fx1 x2x1 0, 所以 f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1),所以 f(x)在定义域内为增函数 令 x1x24,得 f(44)f(4)f(4)112,即 f(16)2. 当 x60, x0, 即 x0 时,原不等式可化为 fx(x6)f(16) 又因为 f(x)在定义域上为增函数,所以 x(x6)16,解得 x2 或 x8. 又因为 x0,所以 x2. 所以 x 的取值范围为(2,)
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