1、10.3复数的三角形式及其运算 第十章复数 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示. 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 3.了解辐角、辐角主值等概念. 4.了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义. 重点：复数的三角表示. 难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义. 知识梳理 一、复数的三角形式 从而 za+bi（rcos ）+（rsin ）ir（cos +isin ）， 上式的右边称为非零复数za+bi的三角形式（对应地，a+bi 称为复数的代数形式），其中的称为z的辐角. 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个 辐角之间都相差2的整数倍. 特别地，
2、在0，2）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z. 【名师点拨】 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模， 然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可. 因为 00（cos +isin ）， 其中可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的 三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了. 【特别提示】 （1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的 一种方法，它们可以相互转化. （2）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. （3）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐 角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐 角主值. 二、复数三角形式的乘除法 1.复
3、数三角形式的乘法法则 【尝试与发现】 设z1r1（cos 1+isin 1），z2r2（cos 2+isin 2）， 试求出z1z2. 提示：z1z2r1（cos 1+isin 1）r2（cos 2+isin 2） r1r2（cos 1cos 2-sin 1sin 2）+i（sin 1cos 2+ cos 1sin 2） r1r2cos（1+2）+isin（1+2）. 由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则： r1（cos 1+isin 1）r2（cos 2+isin 2） r1r2cos（1+2）+isin（1+2）. z1的模乘以z2的模 等于z1z2的模 （简记：模相乘） z1的辐角与z
4、2的辐角 之和是z1z2的辐角 （简记：辐角相加） 2.复数三角形式乘法的几何意义 上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义， 可以推广到有限个复数的三角形式相乘. 3.复数三角形式的除法法则 模相除辐角相减 4.复数三角形式除法的几何意义 常考题型 一、复数的代数形式与三角形式的互化 【注意】 非零复数zr（cos +isin ）中，辐角可以取辐角主 值，也可以取其他辐角，它们相差2的整数倍. 解：z1+cos 2x+isin 2x2cos 2x+i2sin xcos x 2cos x（cos x+isin x）. 将复数的三角形式化为代数形式的一般方法 1.计算出cos ，sin 的值； 2
5、.整理为a+bi（a，bR）的形式，其中arcos ，brsin . 一 一 二、利用复数的三角形式进行复数的乘除运算 复数的乘法运算 1.若复数为三角形式，则用复数三角形式的乘法公式进行 计算，即 r1（cos 1+isin 1）r2（cos 2+isin 2）r1r2 cos (1+2)+i sin(1+2). 2.若复数为代数形式，可以先化为三角形式再进行计算， 也可利用代数形式计算. 2+2i B D 三、复数乘法和除法的几何意义及其应用 【解题提示】将复数的代数形式化为三角形式，利用复 数乘法的几何意义求得z2的三角形式，再将三角形式转 化为代数形式. C A 小结 1.复数的三角形式 za+bir（cos +isin ）的右边称为非零复数za+bi的 三角形式，其中的称为z的辐角.在0，2）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z. 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模， 然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可. 2.复数三角形式的乘法法则 r1（cos 1+isin 1）r2（cos 2+isin 2） r1r2cos（1+2）+isin（1+2）. 3.复数三角形式的除法法则 模相乘，辐角相加. 模相除，辐角相减.
