2021年全国中考数学真题分类汇编-四边形：命题、四边形中的计算与证明（压轴题）（ 答案版）.doc

1、2021 全国中考真题分类汇编（四边形） -命题、四边形中的计算与证明（压轴题） 一、选择题 1. （2021 湖南省衡阳市）湖南省衡阳市）下列命题是真命题的是（） A正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B正六边形的每一个内角为 120 C有一个角是 60的三角形是等边三角形 D对角线相等的四边形是矩形 【分析】根据多边形的外角和都是 360 度对A作出判断； 根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对B作出判断； 根据等边三角形的判定对C作出判断； 根据矩形的判定对D作出判断 【解答】解：A每个多边形的外角和都是 360，故错误，假命题； B正六边形的内角和是 720，每

2、个内角是 120，故正确，真命题； C有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题； D对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题 故选：B 2. （2021 怀化市）怀化市）以下说法错误的是（） A多边形的内角大于任何一个外角 B任意多边形的外角和是 360 C正六边形是中心对称图形 D圆内接四边形的对角互补 【分析】直接利用中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性 质分别分析得出答案 【解答】解：A多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意； B任意多边形的外角和是 360,正确，不合题意； C正六边形是中心对称图形,正确，不合题意； D圆

3、内接四边形的对角互补,正确，不合题意； 故选：A 3. （2021 岳阳市）岳阳市） 下列命题是真命题的是（） 的720 A. 五边形内角和是B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 内错角相等D. 三角形的重心是这个三角形的三条 角平分线的交点 【答案】B 4. （2021 四川省达州市）四川省达州市）以下命题是假命题的是（） A的算术平方根是 2 B有两边相等的三角形是等腰三角形 C一组数据：3，1，1，1，2，4 的中位数是 1.5 D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据算术平方根、等腰三角形的定义、中位数以及平行公理判断即可 【解答】解：A、2 的算术平方根是，符

4、合题意； B、有两边相等的三角形是等腰三角形，不符合题意； C、一组数据：3，1，4，2，4 的中位数是 6.5，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，不符合题意； 故选：A 5. （2021四川省广元市）四川省广元市）下列命题中，真命题是（） A. 11 2x 2x B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形 D. 已知抛物线，当时， yx24x51x5y0 【答案】D 【解析】 【分析】根据零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除 选项 12 【详解】解：A、2x，错误，故不符合题意； x B、对角线互

5、相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意； C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意； yxx1,0,5,0 245 D、由抛物线可得与x轴的交点坐标为，开口向上，然后可得 当时，正确，故符合题意； y0 1x5 故选 D 6. （2021 四川省凉山州）四川省凉山州）下列命题中，假命题是（） A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合 C. 若，则点B是线段AC的中点 ABBC D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合

6、一以及外心的定义分别判断即可 【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题； B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题； C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题； D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题； 故选 C 7. （20212021 泸州市）泸州市）下列命题是真命题的是（） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的

7、判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、 根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B 8. （2021 遂宁市）遂宁市）下列说法正确的是（） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 xx 14114 C. 在代数式，中，2

8、b是分式 2x985 2by aa3aa D. 若一组数据 2、3、x、1、5 的平均数是 3，则这组数据的中位数是 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质 分别进行判断即可 【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确； B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； x 14114 C.在代数式，985，中，是分式，故选项错误； 2xy 2b2b a a3aa D.若一组数据 2、3、x、1、5 的平均数是 3，则这组数据的中位数是 3，故选项错误； 故选：A 9. （20212021 绥化市）

9、绥化市）下列命题是假命题的是（） A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求 解 【详解】解：选项 A：三角形的两边之差小于第三边，故选项 A 正确，不符合题意； 选项 B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项 B 正确，不符合题意； 选项 C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补

10、，故选项 C 不正 确，是假命题，符合题意； 选项 D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项 D 正确，不符合题意； 故选：C 10. （20212021 呼和浩特市）呼和浩特市）以下四个命题：任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互 相平分A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了 5，4， 3，2，1 场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队两个正六边形一定位似 有 13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数不可能 最少，但可能只比最少的多比其他的都少 其中真命题的个数有 B A1 个B2 个C3

11、个D4 个 11.(2021 内蒙古包头市内蒙古包头市)下列命题正确的是（） 1 A. 在函数y中，当时，y随x的增大而减小 2x x0 a1a 1aB. 若0，则 C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 各边相等的圆内接四边形是正方形 【答案】D 12. （2021 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）如图，在正方形中，对角线与相交于点 ABCDACBD OEBCDEFDEOFCDG ，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连 接，若，则下列结论：； CFCE4OF6GF2OD2OG tan ODFOCF908 5 CDE 1 ；点 D 到 CF 的距离为其中正确的 2 5 结论是（

12、） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得 BCCD,BOODOAOC,BDC45,BCDDCE90 ，由三角形中位 线可进行判断；由DOC是等腰直角三角形可进行判断；根据三角函数可进行求解； 根据题意可直接进行求解；过点D作DHCF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函 数可进行求解 【详解】解：四边形是正方形， ABCD BCCD,BOODOAOC,BDC45,BCDDCE90 ACBD ， 点是的中点， FDE 1 OFBE,OF/BE ， 2 ， OF6CE4 BECDBC8 12 ，则， OFBE， DGFDCE， DGGF1 ， CDCE2 ，故正确； G

13、F2 点G是CD的中点， OGCD， ODC=45， DOC是等腰直角三角形， ，故正确； OD2OG CE=4，CD=8，DCE=90， CE1 tanCDE ，故正确； CD2 1 tanCDE1 ， 2 ， CDE45 ，故错误； ODF90 过点D作DHCF，交CF的延长线于点H，如图所示： 点F是CD的中点， CF=DF， CDE=DCF， 1 tanCDEtanDCF ， 2 设，则， DHxCH2x 在RtDHC中，x24x264， 8 5 x解 得：， 5 8 5 DH ，故正确； 5 正确的结论是； 故选 C 13.（2021 山东省泰安市）山东省泰安市）如图，在矩形ABCD

14、中，AB5，BC5，点P在线段BC上 运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转 60到AQ，连接 DQ，则线段DQ的最小值为（） AB CD3 【分析】如图，以AB为边向右作等边ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DHQE 于H利用全等三角形的性质证明AFQ90,推出AEF60,推出点Q的运动轨迹 是射线FE,求出DH,可得结论 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH QE于H 四边形ABCD是矩形， ABPBAE90, ABF,APQ都是等边三角形， BAFPAQ60,BAFA,PAQA, BAPFAQ, 在BAP和F

15、AQ中， , BAPFAQ(SAS), ABPAFQ90, FAE906030, AEF903060, ABAF5,AEAFcos30, 点Q的运动轨迹是射线FE, ADBC5, DEADAE, DHEF,DEHAEF60, DHDEsin60, 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为， 故选：A 14. （2021 四川省南充市）四川省南充市）如图，在矩形ABCD中，AB15，BC20，把边AB沿对角线 BD平移，点A，B分别对应点A，B给出下列结论： 顺次连接点A，B，C，D的图形是平行四边形； 点C到它关于直线AA的对称点的距离为 48； ACBC的最大值为 15；

16、 AC+BC的最小值为 9 其中正确结论的个数是（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【分析】根据平行四边形的判定可得结论 作点C关于直线AA的对称点E,连接CE交AA于T,交BD于点O,则CE 4OC利用面积法求出OC即可 根据ACBCAB,推出ACBC15,可得结论 作点D关于AA的对称点D,连接DD交AA于J,过点D作DECD交CD 的延长线于E,连接CD交AA于A,此时CB+CA的值最小，最小值CD 【解答】解：如图 1 中，ABAB,ABAB,ABCD,ABCD, ABCD,ABCD, 四边形ABCD是平行四边形，故正确， 作点C关于直线AA的对称点E,连接CE交AA于T,交BD于

17、点O,则CE4OC 四边形ABCD是矩形， BCD90,CDAB15, BD25, BDCOBCCD, OC12, EC48,故正确， ACBCAB, ACBC15, ACBC的最大值为 15,故正确， 如图 2 中，BCAD, AC+BCAC+AD, 作点D关于AA的对称点D,连接DD交AA于J,过点D作DECD交CD的 延长线于E,连接CD交AA于A,此时CB+CA的值最小，最小值CD, 由AJDDAB,可得, , DJ12, DD24, 由DEEDAB,可得, , ED,DE, CECD+DE15+, CD9, AC+BC的最小值为 9故正确， 故选：D 15. （2021 四川省眉山市

18、）四川省眉山市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB6， DAC60，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形 DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：BDEEFC； EDEC； ADFECF；点E运动的路程是 2，其中正确结论的序号为（） ABCD 【分析】根据DAC60，ODOA，得出OAD为等边三角形，再由DFE为等 边三角形，得EDFEFDDEF60，即可得出结论正确； 如图，连接OE，利用SAS证明DAFDOE，再证明ODEOCE，即可得出 结论正确； 通过等量代换即可得出结论正确； 如图，延长OE至E，使OEOD，连接DE，通过D

19、AFDOE，DOE 60，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE运 动到E，从而得出结论正确； 【解答】解：DAC60，ODOA， OAD为等边三角形， DOADAOODA60，ADOD， DFE为等边三角形， EDFEFDDEF60，DFDE， BDE+FDOADF+FDO60， BDEADF， ADF+AFD+DAF180， ADF+AFD180DAF120， EFC+AFD+DFE180， EFC+AFD180DFE120， ADFEFC， BDEEFC， 故结论正确； 如图，连接OE， 在DAF和DOE中， ， DAFDOE(SAS)， DOEDAF60，

20、COD180AOD120， COECODDOE1206060， COEDOE， 在ODE和OCE中， ， ODEOCE(SAS)， EDEC，OCEODE， 故结论正确； ODEADF， ADFOCE，即ADFECF， 故结论正确； 如图，延长OE至E，使OEOD，连接DE， DAFDOE，DOE60， 点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE运动到E， OEODADABtanABD6tan302， 点E运动的路程是 2， 故结论正确； 故选：D 二填空题 1. （2021 江苏省无锡市）江苏省无锡市）下列命题中，正确命题的个数为1 所有的正方形都相似 所有的菱形都相似 边长相

21、等的两个菱形都相似 对角线相等的两个矩形都相似 【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：所有的正方形都相似，正确，符合题意； 所有的菱形都相似，错误，不符合题意； 边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意； 对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意， 正确的有 1 个， 故答案为：1 2.（2021四川省广元市）四川省广元市）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线 ABCDBD 段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、， ODAPCDPFAPBCAFEF AFBDAPPFDEBFEF 交于G，现有以下结论：； PBPDBFSVAEFS PEFG

22、 S APG V 2； 为定值；以上结论正确的有_ 四边形 （填入正确的序号即可） 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45，对于： 易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得AFP=ABD=45，则问题可判定；对于：把 AED绕点A顺时针旋转 90得到ABH，则有DE=BH，DAE=BAH，然后易得 AEFAHF，则有HF=EF，则可判定；对于：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接 AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证AOPABF，进而问题可求解；对于：过点A 作ANEF于点N，则由题意可得AN=AB，若AEF的面积为定值，则EF为

23、定值，进而问 AP2 题可求解；对于由可得，进而可得APGAFE，然后可得相似比为 AF2 AP AF 2 2 ，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解 【详解】解：四边形是正方形， ABCDPFAP APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45， ， ABCAPF180 由四边形内角和可得， BAPBFP180 点A、B、F、P四点共圆， AFP=ABD=45， APF是等腰直角三角形， APPF ，故正确； 把AED绕点A顺时针旋转 90得到ABH，如图所示： DE=BH，DAE=BAH，HAE=90，AH=AE， ， HAFEAF45 AF=AF， AEFAHF（S

24、AS） ， HF=EF， HFBHBF ， DEBFEF ，故正确； 连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示： 点O是对角线的中点， BD OB=OD， BDAC OP=OM，AOB是等腰直角三角形， AB2AO， 由可得点A、B、F、P四点共圆， ， APOAFB ， ABFAOP90 AOPABF， OPOAAP2 ， BFABAF2 2 OPBF ， 2 ， BPDPBPBMPM2OP PBPDBF，故正确； 2 过点A作ANEF于点N，如图所示： 由可得AFB=AFN， ABF=ANF=90，AF=AF， ABFANF（AAS） ， AN=AB， 若AEF的面积为定值，则

25、EF为定值， 点P在线段OD上， 的长不可能为定值，故错误； EF AP2 由可得， AF2 AFB=AFN=APG，FAE=PAG， APGAFE， GPAP2 ， EFAF2 2 S21 VAGP ， S22 VAEF 1 SS ， VAGPVAEF 2 SS ，故正确； 四边形APG PEFGV 综上所述：以上结论正确的有； 故答案为 3. （2021 遂宁市）遂宁市）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对 角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五 ABFDBEVABFVDBEAFBD2BG2BHgBD 个结论：；

26、若，则，你认为其中正确是_（填写序号） CE:DE1:3BH:DH17:16 【答案】 【解析】 【分析】四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得ABDFBE ABFDBE 45，根据等式的基本性质确定出；再根据正方形的对角线等于边长的 2 倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似即可判断；根据两角相等的两个三角形相似得到EBHDBE，从 而得到比例式，根据BEBG，代换即可作出判断；由相似三角形对应角相等得到 2 BAFBDE45，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可 作出判断设CE=x，

27、DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2BHBD，求出BH，DH，即可 判断 【详解】解：四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ABDFBE45， 又ABF45DBF，DBE45DBF， ABFDBE ， 选项正确； 四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形， ADAB，BFBE， BDAB，BE=BF， 22 BDBE ABBF 2 ABFDBE 又， VABFVDBE ， 选项正确； 四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， BEHBDE45， 又EBHDBE， EBHDBE， BDBE ，即BE2BHBD， BEBH 又BEBG， 2 2

28、BG2BHgBD ， 选项确； VABFVDBE 由知：， 又四边形ABCD为正方形，BD为对角线， BAFBDE45， AF在正方形另外一条对角线上， AFBD， 正确， ， CE:DE1:3 设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x， BE=， CE2BC2x24x17xBD4 2x 2 BE2BHBD， BE217x217 2 ， BHx BD4 2x8 17 215 2 DH=BD-BH=, 4 2xxx 88 ， BH:DH17:15 故错误， 综上所述：正确， 故答案是： 4. （2021 天津市）天津市）如图，正方形的边长为 4，对角线相交于点O，点E， ABCDAC,BD B

29、C,CDCE2,DF1EFOECD F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于 GHGH 点H，连接，则的长为_ 【答案】 13 2 【解析】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出 CH 和 MG 的长，再求出 MH 的长，最后利用 勾股定理求解即可 【详解】解:如图,作OKBC，垂足为点K， 正方形边长为 4， OK=2，KC=2， KC=CE， CH是OKE的中位线 1 CHOK1 ， 2 作GMCD，垂足为点M， G点为EF中点， GM是FCE的中位线， 11115 GMCE 1MCFCCDDF41 ， ， 22222 53 MHMCHC 1 ， 22 2 GHMH 2 MG23

30、2 13 在 RtMHG 中，1， 22 13 故答案为： 2 5.（20212021 湖南省张家界市）湖南省张家界市）如图,在正方形外取一点,连接,过点作 ABCDEDEAE CED DEAEPDEDP1PC6APDCED 的垂线交于点,若,.下列结论:； AECECDE3 ABCD 52 2 ；点到直线的距离为；，其中正确结论的序号 S 正方形 为. A AD D E E F F B BC C 6. （2021 福建省）福建省）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，点E，F分别是边AB，BC 上的动点，点E不与A，B重合，且EFAB，G是五边形AEFCD内满足GEGF且 EGF90的点现

31、给出以下结论： GEB与GFB一定互补； 点G到边AB，BC的距离一定相等； 点G到边AD，DC的距离可能相等； 点G到边AB的距离的最大值为 2 其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 7. （2021 广西贺州市）广西贺州市）如图在边长为 6 的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，且，垂足为，是对角线的中点，连接 BCBEBECFAEBFGOBD 3 OGOG 、则的长为_ 【答案】 8 5 5 【解析】 AEBFAOBD 【分析】根据， 则A、B、O、G四点共圆，则可以得到 AGO=45 ，解直角三角形即可得结果 1 ABABMOON AG【详解】解：如图，连接OA ，以

32、为半径，的中点作圆，过作 2 ABCDBD 是正方形，是对角线 ABO45 AO=AO AGOABO45 ， 1 ANNEAE 2 ABCDBC3BE 是正方形， ABBC6, BE2 AEAB2BE2 622 10 22 11 ABBEAE BG 22 g BG AB BE623 AE2 105 10 在中 RtABE tan BE21 EAB AB63 BG9 AG tanGAB5 10 NGAGAN 1 AGAE 2 9 1010 5 4 5 10 在RtONG中 OG 4 10 NG8 55 cosNGO25 2 8 故答案为5 5 8.8.（2021 湖北省黄石市）湖北省黄石市） 如

33、图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上， 且EAF45，AE交BD于M点，AF交BD于N点 （1）若正方形的边长为 2，则CEF的周长是_ BMDNMNFCDtanAEF2 （2）下列结论：；若是的中点，则；连 222 MFVAMF 接，则为等腰直角三角形其中正确结论的序号是_（把你认为所有正确 的都填上） 【答案】. 4. 【解析】 DEAFDEAG(SAS) 【分析】(1)将AF绕点A顺时针旋转 90，F点落在G点处，证明， DDEFDFBECEF FADGAB(SAS) ，进而得到，即可求出的周长； (2)对于：将AM绕点A逆时针旋转 90，M点落在H点处，证明 DBAMD

34、DAH(SAS)DMANDHAN(SAS) ，即可判断； 对于：设正方形边长为 2，BE=x，则EF=x+1，CE=2-x，在 RtEFC中使用勾股定理求 出x，在利用AEF=AEB即可求解； 对于：证明A、M、F、D四点共圆，得到AFM=ADM=45进而求解 【详解】解：(1)将AF绕点A顺时针旋转 90，F点落在G点处，如下图所示： EAF45 ，且 FAG=90 45， EAG AFAG EAG=45 EAFEAG 在EAF和中：， AE=AE DEAFDEAG(SAS) ， ， EF=GE 又1+2=45，3+2=45， 1=3， ABCD为正方形， AD=AB， ADAB 在FAD和

35、 中：， GAB13 AF=AG DFADDGAB(SAS) ， ABG=ADF=90 ABG+ABE=90 +90 =180， G、B、E三点共线， ， EF=GE=GB+BE=DF+BE CD=EF+EC+CF=DF+BE+EC+CF=DF+CF+BE+EC=CD+BC= ()()()4 CEF ， 故答案为：4； (2)对于：将AM绕点A逆时针旋转 90，M点落在H点处，如下图所示： 1+2=45，1+4=EAH-EAF=45， 2=4， BADA 在BAM和 中：, DAH24 AMAH DBAMDDAH(SAS) ， =BMDH ADHABM45 ， 454590， NDH=ADH+

36、ADN=+= RtDHNDNH 2 =DH 2 +DN2=BM 2 +DN2在 中，由勾股定理得：， ANAN DHANMANHAN45 MAN 在和中：, AMAH DMANDHAN(SAS) ， ， MNNH MN=NH=BM+DN，故正确； 2222 对于：由(1)中可知：EF=BE+DF，设正方形边长为 2，当F为CD中点时， GB=DF=1，CF=1，设BE=x，则EF=x+1，CE=2-x， 在 RtEFC中，由勾股定理：， EF2CF2CE2 22 xBE ，解得， 即， (x+1)2=12+(2 -x)2 33 AB3 tanAEF=tanAEB=2=3 ,故错误； BE2 对

37、于：如下图所示： EAF=BDC=45， A、M、F、D四点共圆， AFM=ADM=45， AMF为等腰直角三角形，故正确； 故答案为： 三、解答题 1. （2021 辽宁省本溪市）辽宁省本溪市）在中，平分，交对角线 ABCDBAD=DEADCAC 1 EP 于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段 2 =120APAPAC （1）如图 1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系； （2）如图 2，当=90时，过点B作于点，连接，请写出线段， BFEPAFAFAB AD 之间的数量关系，并说明理由； 1 =120APBE=ABVAPEVCDG （3）当时，连接，若，请直接

38、写出与面积的比 2 值 AF1ADAB 3【答案】（1）；（2）,理由见解析； （3） APAC2(2 2) 24 【解析】 PECDQAPEACQ【分 析】（1）延长，交于点，根据已知条件证明即可； FCFMBCCBMAFECBF （2）连接，过 F 作交的延长线于点，由，得 AFFCRtVFMC ，在由 三边关系利用勾股定理可得； EG VAPEVCDGAEG AEGCDG （3）证明，得值，与的面积分别与的面积 GD VAPEVCDG成比例，可得 与面积的比值 【PECDQ 详解】（1）如图,延长，交于点， 1 由题意，将线段绕点E顺时针旋 转， EB 2 BEP60 =120 B60

39、EQ/BC ABCD 四边形是平行四边形 AD/BC EQ/AD AEQD 四边形是平行四边形 DEADC 平分 ADECDE QAB/CD AEDEDC ADEAED AEAD AEQD 四边形是菱形 AEEQ AEDBEP60 AEQ 是等边三角形 AEAQ,AQE60 AB/CD CQEAEQ60 AQCAQEEQC120AEP120 , EQ/ADAD/BCBE/CQ ， BCQE 四边形是平行四边形 CQBE PEBE = PECQ VVACQ在 APE和中 AEAQ AEPAQC PECQ APEACQ APAC FCFMBCCBM （2）连接，过 F 作交的延长线于点 =90 A

40、BCDFEB45 四边形是矩形， BFEP FBE45FBFE ， FBCFBEABC135 ， FEA180BEF135 DEADC 平分 1 ADEADC45 2 AEDPEB45 AEAD ABCD 四边形是矩形 ADBC AEBC 在AFE和中 VCFB AEBC AEFCBF EFBF AFECBF AFFC ADa,ABb,AF c设 则 BEABAEABADba FMBC FBM45 2 MFMBsinFBMFBFB 2 2 BFsinFEBEBBE 2 11 MFMBBE(ba) 22 在中 RtVFMC FCFMMC 222 baba c2()2( a)2即 22 2122

41、c=(ab) 整理得： 2 21(2 2) AFADAB 2 （3）如图 由（1）可知APEACQ 1 BE=AB 2 PEBEAE DEADC 平分 ADECDE QAB/CD AEDEDC ADEAED AEAD PEAD APED 四边形是平行四边形 SS APEADE AE/CD AEGCDG EGAE GDCD 11 AEBEABCD 22 AE CD = 1 2 EG GD 1 2 S3S ADEAEG S4S CGDAGE S:S3: 4 APECDG 2. （2021 宿迁市）宿迁市）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周 CFCF (1)如图，连接B

42、G、CF，求的值； BGBG (2)当正方形AEFG旋转至图位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接 MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由； (3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫 过的面积 1 MNBE;MNBE 9【答案】（1）；（2）； （3） 2 2 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质联想到连接，证明即可求解； AF、ACCAFBAG （2）由M、N分别是CF、BE的中点，联想到中位线，故想到连接BM并延长使BM=MH， 连接FH、EH，则可证BMCHMF即可得到HFBCBA，再由四边形BEFC内 360B

43、ACHFEBAEHFEBHE 角和为可得，则可证明，即是等腰直角三角 形，最后利用中位线的性质即可求解； （3）Q、N两点因旋转位置发生改变，所以Q、N两点的轨迹是圆，又Q、N两点分别是 BF、BE中点，所以想到取AB的中点O，结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答 【详解】解：（1）连接AF、AC 四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 ABBC,AGFG,BADGAECBAAGF90 AF、ACEAG,BAD 分别平分 BACGAF45 BAGCAF BACCAGGAFCAG 即 ABC,AGF 且都是等腰直角三角形 ACAF ABAG 2 CAFBAG CFAC BGAB 2 （2）连

44、接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH M 是CF的中点 CMMF 又 CMBFMH CMBFMH BCHF,BCMHFM 在四边形BEFC中 BCMCBEBEFEFC360 又 CBAAEF90 BCMABEAEBEFC3609090180 即 HFMEFCABEAEB180 即 HFEABEAEB180 BAEABEAEB180 HFEBAE 又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 BCABFH,EAEF BAEHFE BEHE.BEAHEF HEFHEAAEF90 BEAHEA90BEH 三角形BEH是等腰直角三角形 M、N分别是BH、BE的中点 1 MN/ /HE,MNHE 2 1

45、 MNBHEB90,MNBE 2 1 MNBE,MNBE 2 （3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF ABF 在中，O、Q分别是AB、BF的中点 1 OQAF 2 1 ON AE同理可得 2 AF2AE6 2 OQ3 2,ON3 所以QN扫过的面积是以O为圆心，3 2和3为半径的圆环的面积 2 S 3 2329 3. （2021 山东省临沂市）山东省临沂市）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将ABE沿直 线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与DAF的平分线相交于点H，与AE，CD 分别相交于点G，M，连接HC （1）求证：AGGH； （2）若AB3，BE1，求点D到直

46、线BH的距离； （3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，BHC的大小是否变化？为什么？ 【分析】(1)由折叠的性质得出BAGGAFBAF,B,F关于AE对称,证出EAH BAD45,由等腰直角三角形的性质得出答案； (2)连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AFAD,FAHDAH,得出DHF90,由 勾股定理求出AE,证明AEBABG,得出比例线段,可求出 AG,BG的长,则可求出答案 (3)方法一:连接BD,由锐角三角函数的定义求出,证明BDFCDH,由相似三 角形的性质得出CDHBFD,则可得出答案 方法二:连接BD,证出点B,C,H,D四点共圆,则可得出结论 【解答】(1)证明:

47、将ABE沿直线AE折叠，点B落在F处， BAGGAFBAF,B,F关于AE对称, AGBF, AGF90, AH平分DAF, FAHFAD, EAHGAF+FAHBAF+FAD(BAF+FAD)BAD, 四边形ABCD是正方形, BAD90, EAHBAD45, HGA90, GAGH； (2)解:如图 1,连接DH,DF,交AH于点N, 由(1)可知AFAD,FAHDAH, AHDF,FNDN, DHHF,FNHDNH90, 又GHA45, FNH45NDHDHN, DHF90, DH的长为点D到直线BH的距离, 由(1)知AE2AB2+BE2, AE, BAE+AEBBAE+ABG90,

48、AEBABG, 又AGBABE90, AEBABG, , AG, BG, 由(1)知GFBG,AGGH, GF,GH, DHFHGHGF 即点D到直线BH的距离为； (3)不变 理由如下: 方法一:连接BD,如图 2, 在 RtHDF中, 在 RtBCD中,sin45, , BDF+CDH45,FDC+CDH45, BDFCDH, BDFCDH, CDHBFD, DFH45, BFD135CHD, BHD90, BHCCHDBHD1359045 方法二: BCD90,BHD90, 点B,C,H,D四点共圆, BHCBDC45, BHC的度数不变 4. （2021 陕西省）陕西省）问题提出 （1

49、）如图 1，在ABCD中，A45，AD6，E是AD的中点，且DF5，求四边 形ABFE的面积（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境如图 2 所示，现规划在河畔的一处滩 地上规划一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、 CD、AE、AB上，且满足BO2AN2CP，ABC90，AB800m，CD 600m，AE900m为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要 求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点 N到点A的距离，请说明理由 【分析】（1）过点A作AHCD交CD的延长线于

50、H，先求出AH3，同理EG ，最后用面积的差即可得出结论； （2）分别延长AE，与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，设ANx米，则PC x米，BO2x米，BN（800 x）米，AMOC（12002x）米，MK2x米，PK （800 x）米，进而得出S四边形OPMN4（x350）2+470000，即可得出结论 【解答】解：（1）如图 1， 过点A作AHCD交CD的延长线于H， H90， 四边形ABCD是平行四边形， CDAB8，ABCD， ADHBAD45， 在 RtADH中，AD2， AHADsinA6sin453， 点E是AD的中点， DEAD8， 同理EG， DF5， FCCDDF3