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1、微积分下全册配套精品完整课件微积分下全册配套精品完整课件 第第2 2章章 多元函数微分学多元函数微分学 2.1 2.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2.2 2.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 2.3 2.3 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数 2.4 2.4 全微分及其应用全微分及其应用 2.5 2.5 方向导数与梯度方向导数与梯度 2.6 2.6 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 2.7 2.7 隐函数微分法隐函数微分法 2.8 2.8 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 2.9 2.9 多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用 2.10 2.10 二

2、元函数的二元函数的TaylorTaylor公式公式 设设),( 000 yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某 一正数，与点一正数，与点),( 000 yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP 的全体，称为点的全体，称为点 0 P的的 邻域，记为邻域，记为),( 0 PU， （1）邻域）邻域 0 P ),( 0 PU | 0 PPP .)()(| ),( 2 0 2 0 yyxxyx 2.1 2.1 多元函数的多元函数的基本基本概念概念 （2）区域）区域 . )( 的内点的内点为为则称则称 ，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点 是平面上的是平面上的是平

3、面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设 EP EPUP PE .EE 的内点属于的内点属于 E P .为开集为开集则称则称 的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集 E E 41),( 22 1 yxyxE例如，例如， 即为开集即为开集 的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于 ，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于 的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点 EPE EPE EP E P 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE 是连通的是连通的开集开集 ，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点

4、都属于 连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线 内内是开集如果对于是开集如果对于设设 D D DD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域 .41| ),( 22 yxyx例如，例如，x y o 开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. .41| ),( 22 yxyx例如，例如， x y o 0| ),( yxyx 有界闭区域；有界闭区域； 无界开区域无界开区域 x y o 例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集 为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切 即即 ，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定

5、点 ，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集 EEP KAP KAPAEP KE 41| ),( 22 yxyx （3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的 一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限 多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点； 10| ),( 22 yxyx 例例 (0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可

6、以不属于E 10| ),( 22 yxyx例如例如, (0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合 1| ),( 22 yxyx例如例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合 （4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组 ),( 21n xxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元 数数组组),( 21n xxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点， 数数 i x称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标. n维空间的记号为维空间的记号为; n R n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(

7、 21n xxxP),( 21n yyyQ .)()()(| 22 22 2 11nn xyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 n RPPPPPU ,|),( 00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离空间两点间的距离 3, 2, 1 n 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 邻域：邻域： 设两点为设两点为 （5）二元函数的定义）二元函数的定义 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因

8、变量等概念因变量等概念. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 例例1 1 求求 的定义域的定义域 2 22 )3arcsin( ),( yx yx yxf 解解 0 13 2 22 yx yx 2 22 42 yx yx 所求定义域为所求定义域为 ., 42| ),( 222 yxyxyxD （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意 取定的取定的DyxP ),(，对应的函数值为，对应的函数值为 ),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐 标、标、z为竖坐标

9、在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxM， 当当x取遍取遍D上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称 为二元函数的图形为二元函数的图形. （如下页图）（如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. x y z o xyzsin 例如例如, 图形如右图图形如右图. 2222 azyx 例如例如, 右图球面右图球面. .),( 222 ayxyxD 222 yxaz . 222 yxaz 单值分支单值分支: 2.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 说明：说明： （1）

10、定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的； 0 PP （2）二元函数的极限也叫）二元函数的极限也叫二重极限二重极限);,(lim 0 0 yxf yy xx （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 例例1 1 求证求证 证证 0 1 sin)(lim 22 22 0 0 yx yx y x 0 1 sin)( 22 22 yx yx 22 22 1 sin yx yx 22 yx , 0 , 当当 时，时， 22 )0()0(0yx 0 1 sin)( 22 22 yx yx原结论成立原结论成立 例例2 2 求极限求极限 . )sin( lim

11、22 2 0 0 yx yx y x 解解 22 2 0 0 )sin( lim yx yx y x , )sin( lim 22 2 2 2 0 0 yx yx yx yx y x 其中其中 yx yx y x 2 2 0 0 )sin( lim u u u sin lim 0 , 1 22 2 yx yx x 2 1 , 0 0 x . 0 )sin( lim 22 2 0 0 yx yx y x yxu 2 例例3 3 证明证明 不存在不存在 证证 26 3 0 0 lim yx yx y x 取取, 3 kxy 26 3 0 0 lim yx yx y x 626 33 0 3 lim

12、 xkx kxx kxy x , 1 2 k k 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 故极限不存在故极限不存在 不存在不存在.观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 播放播放 （1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),( 000 yxP，若若 极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在； （2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim 0 0 yxf yy xx 存在，存在， 但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点 ),( 000 yxP处极限不存

13、在处极限不存在 确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法： n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式可定义利用点函数的形式可定义 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集 0 , PD 是其聚点且是其聚点且DP 0 ，如果，如果)()(lim 0 0 PfPf PP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点 0 P处连续处连续. . 设设 0 P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果 )(Pf在在点点 0 P处处不不连连续续，则则称称 0 P是是函函数数)(Pf的的 间间断断点点. 定义定义3 3 例例4 4 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0 )

14、0 , 0(),(, ),( 22 33 yx yx yx yx yxf 在在(0,0)处的连续性处的连续性 解解 取取,cos x sin y )0 , 0(),(fyxf )cos(sin 33 2 2)0 , 0(),(fyxf 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续. ),0 , 0(),(lim )0,0(),( fyxf yx , 0 , 2 当当 时时 22 0yx 例例5 5 讨论函数讨论函数 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在在(0,0)的连续性的连续性 解解取取kxy 22 0 0 lim yx xy y x 222 2 0 lim

15、 xkx kx kxy x 2 1k k 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在 故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D 上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如 果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上 取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次 （1）最大值和最小值定理）最

16、大值和最小值定理 （2）介值定理）介值定理 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 例例6 6. 11 lim 0 0 xy xy y x 求求 解解 )11( 11 lim 0 0 xyxy xy y x 原式原式 11 1 lim

17、 0 0 xy y x . 2 1 ).()(lim )()( )()(lim 00 0 0 0 PfPfP PfPfP PfPf PP PP 处连续，于是处连续，于是点点 在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且 是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求 多元函数极限的概念多元函数极限的概念 多元函数连续的概念多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性） 小结小结 多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于 点点),( 00 yx时，函数时

18、，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否 断定断定Ayxf yxyx ),(lim ),(),( 00 ？ 思考题思考题 思考题解答思考题解答 不能不能. 例例, )( ),( 242 23 yx yx yxf )0 , 0(),(yx 取取,kxy 2442 223 )( ),( xkx xkx kxxf 0 0 x 但是但是 不存在不存在.),(lim )0,0(),( yxf yx 原因为若取原因为若取, 2 yx 244 26 2 )( ),( yy yy yyf . 4 1 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 若若 y x xyyxyxftan),( 22 , ,则则)

19、,(tytxf= =_. . 2 2、 若若 xy yx yxf 2 ),( 22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1( x y f_. . 3 3、 若若)0()( 22 y y yx x y f, ,则则 )(xf_. . 4 4、 若若 22 ),(yx x y yxf , , 则则 ),(yxf_. . 函数函数 )1ln( 4 22 2 yx yx z 的定义域是的定义域是_. . 练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函数 x y zarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数 xy xy z 2 2 2

20、 2 的间断点是的间断点是_. . 二二、 求求下下列列各各极极限限: : 1 1、 xy xy y x 42 lim 0 0 ； 2 2、 x xy y x sin lim 0 0 ； 3 3、 2222 22 0 0 )( )cos(1 lim yxyx yx y x . . 三、三、 证明：证明：0lim 22 0 0 yx xy y x . . 四、四、 证明极限证明极限 yx xy y x 11 lim 0 0 不存在不存在 . . 一、一、 1 1、 ),( 2 yxft； 2 2、 12 13 , , ),(yxf； 3 3、 x x 2 1 ； 4 4、 y y x 1 1 2

21、 ； 5 5、 xyyxyx4, 10),( 222 ； 6 6、 yxyxyx 2 , 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),( 2 xyyx. . 二、二、1 1、 4 1 ； 2 2、0 0； 3 3、 . . 练习题答案练习题答案 一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 2.3 2.3 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数 同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx处对处对y 的偏导数，的偏导数， 为为 y yxfyyxf y ),(),( lim 0000 0 记为记为 0 0

22、 yy xx y z ， 0 0 yy xx y f ， 0 0 yy xx y z 或或),( 00 yxf y . . 0 0 yy xx x z ， 0 0 yy xx x f ， 0 0 yy xx x z 或或),( 00 yxf x . 如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点 ),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对 自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作 x z ， x f ， x z或或),(yxf x . 同理可以定义函数同理可以定

23、义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导 数，记作数，记作 y z ， y f ， y z或或),(yxf y . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx , ),(),( lim),( 0 x zyxfzyxxf zyxf x x , ),(),( lim),( 0 y zyxfzyyxf zyxf y y . ),(),( lim),( 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 例例 1 1 求求 22 3yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数 解解 x z ;32yx y z

24、.23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y x y z .72213 例例 2 2 设设 y xz )1, 0( xx， 求求证证 z y z xx z y x 2 ln 1 . 证证 x z , 1 y yx y z ,ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx .2z 原结论成立原结论成立 例例 3 3 设设 22 arcsin yx x z ，求，求 x z ， y z . 解解 x z x yx x yx x 22 22 2 1 1 322 222 )(|yx y y yx . | 22 yx y

25、|)|( 2 yy y z y yx x yx x 22 22 2 1 1 322 22 )( )( |yx xy y yx yyx x1 sgn 22 )0( y 0 0 y xy z 不存在不存在 例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 p T T V V p . 证证 V RT p; 2 V RT V p p RT V; p R T V R pV T; R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V . 1 pV RT 偏导数偏导数 x u 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分; )

26、.0, 0(),0, 0(,),(, yx ffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明： 、 、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；定义求； 解解 x x f x x 0|0| lim)0 , 0( 0 0 ).0 , 0( y f 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系 例如例如,函数函数 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf, 依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yx ff. 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在

27、偏导数存在 连续连续. 一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续， 多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续， 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义 ,),(),(,( 00000 上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 几何意义几何意义: : ),( 2 2 yxf x z x z x xx ),( 2 2 yxf y z y z y yy ),( 2 yxf yx z x z y xy ),( 2 yxf xy z y z x yx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导 定义：二阶及二

28、阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数偏导数. 二、高阶偏导数 例例 5设设13 323 xyxyyxz， 求求 2 2 x z 、 xy z 2 、 yx z 2 、 2 2 y z 及 3 3 x z . 解解 x z ,33 322 yyyx y z ;92 23 xxyyx 2 2 x z ,6 2 xy 2 2 y z ;182 3 xyx 3 3 x z ,6 2 y xy z 2 . 196 22 yyx yx z 2 , 196 22 yyx 原函数图形原函数图形 偏导函数图形偏导函数图形 偏导函数图形偏导函数图形 二阶混合偏二阶混合偏 导函数图

29、形导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：函数图象间的关系： 例例 6 6 设设byeu ax cos ，求求二二阶阶偏偏导导数数. 解解 ,cosbyae x u ax ;sinbybe y u ax ,cos 2 2 2 byea x u ax ,cos 2 2 2 byeb y u ax ,sin 2 byabe yx u ax .sin 2 byabe xy u ax 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数 xy z 2 及及 yx z 2 在区域在区域 D D 内连续，

30、那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这 两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才 相等？相等？ 例例 6 6 验证函数验证函数 22 ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉 斯方程斯方程. 0 2 2 2 2 y u x u 解解),ln( 2 1 ln 2222 yxyx , 22 yx x x u , 22 yx y y u , )()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u . )()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx yx yx

31、 yyyx y u 222 22 222 22 2 2 2 2 )()(yx yx yx xy y u x u . 0 偏导数的定义偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数高阶偏导数 （偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件） 三、小结三、小结 若函数若函数),(yxf在 点在 点),( 000 yxP连连 续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),( 000 yxP 的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？ 思考题思考题 思考题解答思考题解答 不能不能. ,),( 22 yxyxf 在在)0

32、 , 0(处处连连续续, 但但 )0 , 0()0 , 0( yx ff 不存在不存在. 例如例如, 一一、 填填空空题题: : 1 1、 设设 y x ztanln , ,则则 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 设设 x z yxez xy 则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 设设, z y xu 则则 x u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; z u _ _ _ _

33、_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 设设,arctan x y z 则则 2 2 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 2 2 y z _ _ _ _ _ _ _ _; ; yx z 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题 5 5、设、设 z y x u)( , ,则则 yz u 2 _. . 二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、 y xyz)1( ； 2 2、 z yxu)arctan( . . 三、三、 曲线曲线 4 4 22 y yx z , ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向

34、处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ? 四、四、 设设 x yz , ,求求., 2 2 2 2 2 yx z y z x z 和和 五、设五、设)ln(xyxz , ,求求 yx z 2 3 和和 2 3 yx z . . 六、六、 验证验证: : 1 1、 ) 11 ( yx ez , ,满足满足z y z y x z x2 22 ； 2 2、 222 zyxr 满足满足 r z z r y r x r 2 2 2 2 2 2 . . 七、设七、设 0, 0 0,arctanarctan ),( 22 xy xy y x y x y x yxf 求求 xyx ff ,

35、. . 一、一、1 1、 y x y x y x y 2 csc 2 , 2 csc 2 2 ； 2 2、)1( 2 yxye xy , ,)1( 2 xxye xy ； 3 3、xx z x z y z y z y ln 1 , 1 , , xx z y z y ln 2 ； 4 4、 222 22 222222 )( , )( 2 , )( 2 yx xy yx xy yx xy ； 5 5、)ln 1 ()( y x y z yy x z . . 二、二、1 1、 xy xy xyxy y z xyy x z yy 1 )1ln()1(,)1( 12 ; ; 练习题答案练习题答案 2 2

36、、 z z yx yxz x u 2 1 )(1 )( , , , )(1 )( 2 1 z z yx yxz y u z yx yxyx z u 2 )(1 )ln()( . . 三、三、 4 . . 四、四、,)1(,ln 2 2 2 2 2 2 xx yxx y z yy x z )1ln( 1 2 yxy yx z x . . 五、五、 22 3 2 3 1 , 0 yyx z yx z . . 七、七、 0, 0; 0, 0 0, 0, 0,arctan2 yxyx yxy xyy x y x f x , , 0, 0, 1 0, 0, 1 22 22 yx xy yx yx x f

37、 xy . . ),(),(yxfyxxf xyxf x ),( ),(),(yxfyyxf yyxf y ),( 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏增增量量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义一、全微分的定义 2.4 2.4 全微分及其应用全微分及其应用 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内 有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfy

38、yxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增 量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量全增量的概念的概念 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为 )( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于 yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关， 22 )()(yx ， 则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分， yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的 全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz=

39、 =yBxA . . 全微分的定义全微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分， 则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则 函数在该点连续函数在该点连续. 事实上事实上),( oyBxAz , 0lim 0 z ),(lim 0 0 yyxxf y x ),(lim 0 zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 二、可微的条件二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点 ),(yx可可微微

40、分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数 x z 、 y z 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分 为为 y y z x x z dz 证证 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域 )( oyBxAz 总成立总成立, 当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA A x yxfyxxf x ),(),( lim 0 , x z 同理可得同理可得 . y z B 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在

41、 微分存在微分存在 多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在 例如，例如，. 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在点在点)0 , 0(处有处有 0)0 , 0()0 , 0( yx ff )0 , 0()0 , 0(yfxfz yx , )()( 22 yx yx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(， 则则 22 )()(yx yx 22 )()(xx xx , 2 1 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时， ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfz

42、 yx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微. 说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在， 定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏 导数导数 x z 、 y z 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx 可微分可微分 证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxf x ),( 1 )10( 1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理 xx

43、yxf x 1 ),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性） 且且当当0, 0 yx时时，0 1 . 其中其中 1 为为yx ,的函数的函数, xxyxf x 1 ),( yyyxf y 2 ),( z 21 21 yx , 0 0 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微. 同理同理),(),(yxfyyxf ,),( 2 yyyxf y 当当0 y时，时，0 2 , 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dy y z dx x z dz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 .dz z u dy y u dx x u du 通常

44、我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况 例例 1 1 计算函数计算函数 xy ez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分. 解解 , xy ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y z .2 22 dyedxedz 所求全微分所求全微分 例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当 4 x， y， 4 dx， dy时的全微分时的全微分.

45、 解解),2sin(yxy x z ),2sin(2)2cos(yxyyx y z dy y z dx x z dz ), 4 ( ), 4 ( ), 4 ( ).74( 8 2 例例 3 3 计计算算函函数数 yz e y xu 2 sin的的全全微微分分. 解解 , 1 x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u , yz ye z u 所求全微分所求全微分 .) 2 cos 2 1 (dzyedyze y dxdu yzyz 例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, 1 sin ),( 22 yx yx yx xy yxf在在 点点)

46、0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0( 不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微. 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论. 证证 令令,cos x,sin y 则则 22 )0,0(),( 1 sinlim yx xy yx 1 sincossinlim 2 0 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0( x f x fxf x )0 , 0()0 ,( lim 0 , 0 00 lim 0 x

47、 x 同理同理. 0)0 , 0( y f 当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxf x , 1 cos )( 1 sin 22322 2 22 yxyx yx yx y 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时, ),(lim )0,0(),( yxf x xx , |2 1 cos |22|2 1 sinlim 3 3 0 xx x x x x 不存在不存在. 所以所以),(yxf x 在在)0 , 0(不连续不连续. 同理可证同理可证),(yxf y 在在)0 , 0(不连续不连续. )0 , 0(),(fyxff 22 )()( 1 sin yx y

48、x )()( 22 yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0 )0,0( df 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 函数可导函数可导 三三 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式 连续，且连续，且个偏导数个偏导数 的两的两在点在点当二元函数当二元函数 yxyxfyxf yxPyxfz yx ,),(),( ),(),( .),(),(yyxfxyxfdzz yx 也可写成也可写成 .),(),(),( ),( yyxfxyxfyxf yyx

49、xf yx 例例 5 5 计算计算 02. 2 )04. 1(的近似值的近似值. 解解 .),( y xyxf 设函数设函数 .02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取 , 1)2 , 1( f ,),( 1 y x yxyxf,ln),(xxyxf y y , 2)2 , 1( x f , 0)2 , 1( y f 由公式得由公式得 02. 0004. 021)04. 1( 02. 2 .08. 1 、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念； 、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法； 、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系 （注意：与一元函数有

50、很大区别）（注意：与一元函数有很大区别） 三、小结 函数函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是: （1）),(yxf在点在点),( 00 yx处连续；处连续； （2）),(yxf x 、),(yxf y 在点在点),( 00 yx的的 某邻域存在；某邻域存在； （3）yyxfxyxfz yx ),(),(， 当当0)()( 22 yx时是无穷小量；时是无穷小量； （4） 22 )()( ),(),( yx yyxfxyxfz yx , 当当0)()( 22 yx时是无穷小量时是无穷小量. 思考题思考题 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 设设 x