（2022高考数学一轮复习(步步高)）第1节 直线的方程.doc

1、第第 1 节节直线的方程直线的方程 考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握 确定直线位置的几何要素， 掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式)， 了解斜截式与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上 方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角； (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0； (3)范围：直线的倾斜角的取值范围是0，). 2.直线的斜率 (

2、1)定义：当直线 l 的倾斜角 2时，其倾斜角的正切值 tan 叫做这条直线的斜 率，斜率通常用小写字母 k 表示，即 ktan_. (2)计算公式： 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率 ky2y1 x2x1. 若直线的方向向量为 a(x，y)(x0)，则直线的斜率 ky x. 3.直线方程的五种形式 名称几何条件方程适用条件 斜截式纵截距、斜率ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式过一点、斜率yy0k(xx0) 两点式过两点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 与两坐标轴均不垂直 的直线 截距式纵、横截距 x a y b1 不过原点且与两坐标 轴均不垂

3、直的直线 一般式 AxByC0 (A2B20) 所有直线 常用结论与微点提醒 1.直线的倾斜角和斜率 k 之间的对应关系： 00 2 2 20不存在k0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值， 它可正， 可负， 也可以是零， 而“距离” 是一个非负数. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.() (2)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为.() (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.() (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2 x1)(xx1)

4、(y2y1)表示.() 解析(1)当直线的倾斜角1135，245时，12，但其对应斜率 k11， k21，k1k2. (2)当直线斜率为 tan(45)时，其倾斜角为 135. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 2P89B5 改编)若过两点 A(m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为 12， 则直线的方程为_. 解析由题意得3m6 1m 12，解得 m2，A(2，6)， 直线 AB 的方程为 y612(x2)， 整理得 12xy180. 答案12xy180 3.(老教材必修 2P101B2 改编)若方程 AxByC0 表示与两条坐标轴

5、都相交的 直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是_. 解析由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以 A0 且 B0. 答案A0 且 B0 4.(2020西安调研)直线 xy10 的倾斜角为() A.30B.45C.120D.150 解析由题意得， 直线 yx1 的斜率为 1， 设其倾斜角为， 则 tan 1， 又 0 180，故45. 答案B 5.(2020重庆诊断)已知直线 l 经过 A(2，1)，B(1，m2)两点(mR)，那么直线 l 的 倾斜角的取值范围是() A.0，)B. 0， 4 2， C. 0， 4D. 4， 2 2， 解析直线 l 的斜率 k1m 2 21 1m2，因为 m

6、R，所以 k(，1，所以 直线的倾斜角的取值范围是 0， 4 2，. 答案B 6.(2020济南调研)过点(3，4)，在 x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截 距之和为 12 的直线方程为_. 解析由题设知，横、纵截距均不为 0，设直线的方程为x a y 12a1，又直线 过点(3，4)，从而3 a 4 12a1，解得 a4 或 a9(舍).故所求直线的方程 为 4xy160. 答案4xy160 考点一直线的倾斜角与斜率典例迁移 【例 1】 (一题多解)(经典母题)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3) 为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_. 解

7、析法一设 PA 与 PB 的倾斜角分别为， ， 直线 PA 的斜率 是 kAP1，直线 PB 的斜率是 kBP 3，当直线 l 由 PA 变化到 与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由增至 90，斜率的取值 范围为1，). 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90增至，斜率的变化范围 是(， 3. 故斜率的取值范围是(， 31，). 法二设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0. A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， (2k1k)( 3k)0， 即(k1)(k 3)0，解得 k1 或 k 3. 即直线 l 的

8、斜率 k 的取值范围是(， 31，). 答案(， 31，) 【迁移 1】 若将例 1 中 P(1，0)改为 P(1，0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的 取值范围. 解设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0. A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， (2k1k)( 3k)0， 即(3k1)(k 3)0，解得1 3k 3. 即直线 l 的斜率的取值范围是 1 3， 3. 【迁移 2】 若将例 1 中的 B 点坐标改为 B(2，1)，其他条件不变，求直线 l 倾 斜角的取值范围. 解由例 1 知直线 l 的方程 kxyk0， A，B 两点在

9、直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， (2k1k)(2k1k)0， 即(k1)(k1)0，解得1k1. 即直线 l 倾斜角的取值范围是 0， 4 3 4 ， . 规律方法1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围 求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 ytan x 在 0， 2 2，上的单 调性求解，这里特别要注意，正切函数在 0， 2 2，上并不是单调的. 2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为 2时， 直线斜率不存在. 【训练 1】 如图中的直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3， 则() A.k1k2k3 B.k3k1

10、k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2 解析直线 l1的倾斜角1是钝角，故 k13，所以 0k3k2，因此 k1k3k2. 答案D 考点二直线方程的求法 【例 2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(1，2)，倾斜角的正弦值为4 5； (2)(一题多解)经过点 P(2，3)，并且在两坐标轴上截距相等； (3)经过两条直线 l1：xy2，l2：2xy1 的交点，且直线的一个方向向量 v (3，2). 解(1)由题可知 sin 4 5，则 tan 4 3，直线 l 经过点 P(1，2)，直线 l 的 方程为 y24 3(x1)，即 y 4 3(x1)2，整理得 4x3y20 或 4x

11、3y 100. (2)法一当截距为 0 时，直线 l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线 l 的斜率为 k30 20 3 2， 因此，直线 l 的方程为 y3 2x，即 3x2y0. 当截距不为 0 时，可设直线 l 的方程为x a y a1. 因为直线 l 过点 P(2，3)，所以2 a 3 a1，所以 a5. 所以直线 l 的方程为 xy50. 综上可知，直线 l 的方程为 3x2y0 或 xy50. 法二由题意可知所求直线斜率存在， 则可设 y3k(x2)，且 k0. 令 x0，得 y2k3.令 y0，得 x3 k2. 于是2k33 k2，解得 k 3 2或 k1. 则直线 l 的方程

12、为 y33 2(x2)或 y3(x2)， 即直线 l 的方程为 3x2y0 或 xy50. (3)联立 xy2， 2xy1，得 x1，y1， 直线过点(1，1)， 直线的方向向量 v(3，2)， 直线的斜率 k2 3. 则直线的方程为 y12 3(x1)， 即 2x3y50. 规律方法1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、 截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式， 应 先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零). 【训练 2】 (1)求经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线 方程； (2)求经过

13、点 A(5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程. 解(1)由题意可知，所求直线的斜率为1. 又过点(3，4)，由点斜式得 y4(x3). 所求直线的方程为 xy10 或 xy70. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x 2a y a1，将(5，2)代入所设方程， 解得 a1 2，所以直线方程为 x2y10；当直线过原点时，设直线方程为 y kx，则5k2，解得 k2 5，所以直线方程为 y 2 5x，即 2x5y0.故所求 直线方程为 2x5y0 或 x2y10. 考点三直线方程的综合应用多维探究 角度 1直线过定点问题 【例 31】 已知 kR，写出以

14、下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为 ykx3，则直线过定点_； (2)若直线方程为 ykx3k，则直线过定点_； (3)若直线方程为 xky3，则直线过定点_. 解析(1)当 x0 时，y3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为 yk(x3)，故直线过定点(3，0). (3)当 y0 时，x3，所以直线过定点(3，0). 答案(1)(0，3)(2)(3，0)(3)(3，0) 规律方法1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐 标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系， 即能够看出“动中有定”. 角度 2与直线方程有关

15、的多边形面积的最值问题 【例 32】 已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时， 直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a _. 解析由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2，2)，直线 l1的纵截距为 2a，直线 l2 的横截距为 a22，所以四边形的面积 S1 22(2a) 1 22(a 22)a2a4 a1 2 2 15 4 ，又 0a0； 当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k 的取值范围是0，). (3)解由题意可知 k0，再由 l 的方程， 得 A 12k k ，0 ，B(0，12k). 依题意得 12k k 0

16、， 解得 k0. S1 2|OA|OB| 1 2| 12k k |12k| 1 2 （12k）2 k 1 2 4k1 k4 1 2(224)4， “”成立的条件是 k0 且 4k1 k，即 k 1 2， Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40. A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020菏泽模拟)若平面内三点 A(1， a)， B(2， a2)， C(3， a3)共线， 则 a() A.1 2或 0B.2 5 2 或 0 C.2 5 2 D.2 5 2 或 0 解析由题意知 kABkAC，即a 2a 21 a 3a 31 ，即 a(a22a1)0，解得 a0 或 a 1 2. 答案A

17、2.(2020广东七校联考)若过点 P(1a，1a)和 Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角， 则实数 a 的取值范围是() A.(2，1)B.(1，2) C.(，0)D.(，2)(1，) 解析由题意知2a1a 31a 0，即a1 2a0，解得2a0，b0 时，a0，b0，结合选项知 B 符合，其他均不符合. 答案B 4.(2020成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线 yx1 的倾斜角小 4的直线方 程是() A.x2B.y1C.x1D.y2 解析直线 yx1 的倾斜角为3 4 ，则所求直线的倾斜角为 2，故所求直线斜 率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为 x2. 答案A 5.

18、已知直线 l 的斜率为 3，在 y 轴上的截距为另一条直线 x2y40 的斜率的 倒数，则直线 l 的方程为() A.y 3x2B.y 3x2 C.y 3x1 2 D.y 3x2 解析因为直线 x2y40 的斜率为1 2，所以直线 l 在 y 轴上的截距为 2，所以 直线 l 的方程为 y 3x2. 答案A 6.(2020湖北四地七校联考)已知函数 f(x)asin xbcos x(a0， b0)， 若 f 4x f 4x，则直线 axbyc0 的倾斜角为() A. 4 B. 3 C.2 3 D.3 4 解析由 f 4xf 4x知函数 f(x)的图象关于直线 x 4对称， 所以 f(0)f 2

19、 ， 所以 ab， 由直线 axbyc0 知其斜率 ka b1， 所以直线的倾斜角为 3 4 ， 故选 D. 答案D 7.直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是() A.0，)B. 0， 4 3 4 ， C. 0， 4D. 0， 4 2， 解析设直线的倾斜角为，则有 tan sin . 又 sin 1，1，0，)，所以 0 4或 3 4 0，即(a1)(a 3)0，所以 3a1，又知直线 l 的 斜率 ka，即 3k0，bc0，bc0 C.ab0D.ab0，bc0 解析易知直线的斜率存在， 则直线方程可化为 ya bx c b， 由题意知 a b0， 所以 ab0，bc0. 答案A 15

20、.已知数列an的通项公式为 an 1 n（n1）(nN *)，其前 n 项和 Sn9 10，则直 线 x n1 y n1 与坐标轴所围成的三角形的面积为_. 解析由 an 1 n（n1）可知 a n1 n 1 n1， 所以 Sn 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 1 n1， 又知 Sn 9 10，所以 1 1 n1 9 10，所以 n9. 所以直线方程为 x 10 y 91，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐 标轴所围成的三角形的面积为1 210945. 答案45 16.(2020豫北名校调研)直线 l 过点 P(6，4)，且分别与两坐标轴的

21、正半轴交于 A， B 两点，当ABO 的面积最小时，直线 l 的方程为_. 解析设直线 l 的方程为 y4k(x6)(k0)，则 A 64 k，0，B(0，46k)，由 题意知 k0，则 SABO1 2|OA|OB| 1 2 64 k (46k)2418k8 k，k0，8 k0，18k 8 k2 （18k） 8 k 24，当且仅当18k 8 k，即 k 24 9，也即 k 2 3时取得等号，所以ABO 的面积的最小值为 48，此 时直线 l 的方程为 y42 3(x6)，即 2x3y240. 答案2x3y240 C 级创新猜想 17.(多选题)下列叙述正确的是() A.若直线的斜率存在，则必有

22、倾斜角与之对应 B.每一条直线都对应唯一一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0或 90 D.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 tan 解析A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；B.每一条直线都对 应唯一一个倾斜角，正确；C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0或 90，正确； D.当90时，则直线的斜率不存在，因此不正确. 答案ABC 18.(多填题)设点 A(2，3)，B(3，2)，已知直线 l 的方程为 axy20，则直 线 l 过定点_，若直线 l 与线段 AB 没有交点，则实数 a 的取值范围是 _. 解析直线 axy20 恒过点 M(0， 2)， 且斜率为a， kMA3（2） 20 5 2，k MB2（2） 30 4 3，结合题意可知a 5 2，且a 4 3，a 4 3， 5 2 . 答案(0，2) 4 3， 5 2