（2022高考数学一轮复习(步步高)）第2节 过程评价与案例赏析.doc

1、第第 2 节节过程评价与案例赏析过程评价与案例赏析 一测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价 目的给出过程性评价，体现如何让学生在交流过程中展现个性、学会交流、 归纳总结，发现问题、积累经验、提升素养. 评价过程在每一个学生都完成“测量报告”后，安排交流讲评活动.安排讲评 的报告应当有所侧重.例如，测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误 差处理得当，报告书写认真等；或误差明显而学生自己没有察觉，测量过程中构 建的模型有待商榷等.事实表明，这种形式的交流讲评，往往是数学建模过程中学 生收获最大的环节. 附件：某个小组的研究报告的展示片段摘录. 测量不可及“理想大厦”的方法 1.两次测

2、角法 (1)测量并记录测量工具距离地面 h m； (2)用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角； (3)后退 a m，重复(2)中的操作，计算并记录仰角； (4)楼高 x 的计算公式为： x atan tan tan tan h， 其中，a，h 如图所示. 两次测角法示意图 2.镜面反射法 (1)将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到房顶的位置，测量人与 镜子的距离； (2)将镜子后移 a m，重复(1)中的操作； (3)楼高 x 的计算公式为 x ah a2a1，其中 a 1，a2是人与镜子的距离，a 是两次观测 时镜面之间的距离，h 是人的“眼高”，如图所示.根据光的

3、反射原理，利用相似 三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式. 镜面反射法示意图 实际测量数据和计算结果，测量误差简要分析. (1)两次测角法 实际测量数据： 第一次第二次 仰角6752 后退距离为 25 m，人的“眼高”为 1.5 m，计算可得理想大厦的高度约为 71.5 m， 结果与期望值(70 m80 m)相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够 精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角， 再求平均值， 误差就能更小. (2)镜面反射法 实际测量数据： 第一次第二次 人与镜子的距离3.84 m3.91 m 镜子的相对距离 10 m，人的“眼高”为 1.52 m.计算可得理想

4、大厦的高度约为 217 m，结果与期望值相差较大. 产生误差有以下几点原因： 镜面放置不能保持水平； 两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差； 人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点； 人体不一定在两次测量时保证高度不变. 综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小，我们准备用 更多的测量方法找出理想的结果. 对上面的测量报告，教师和同学给出评价.例如，对测量方法，教师和同学评价均 为“优”，因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法；对测量结果， 教师评价为“良”，同学评价为“中”，因为两种方法得到的结果相差较大. 对测量结果的评价，教师和同学产生差异的原因是

5、，教师对测量过程的部分项目 实施加分，包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析；同学则进一步分析 产生误差的主要原因，包括： (1)测量工具问题.两次测角法的同学， 自制量角工具比较粗糙， 角度的刻度误差较 大；镜面反射法的同学，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量有较大误差. (2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差 a 值是测量者自己选定的，因为没 有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差 a 是 1 m.由于间距太小，两次测 量的角度差或者人与镜的距离差太小， 最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意 识到了这个问题后，他们利用运动场 100 m 跑道的自然长度作为间距差 a，使得

6、 测量精度得到较大提高. (3)不少学生用自己的身高代替“眼高”，反映了学生没有很好地理解测量过程中 的“眼高”应当是测量的高度，如照片所示. 在结题交流过程中，教师通过测量的现场照片，引导学生发现问题，让学生分析 测量误差产生的原因.学生们在活动中意识到， 书本知识和实践能力的联系与转化 是有效的学习方式. 测量现场的照片和观察说明： 照片说明 左图：测量角的工具(量角器)太小，造成仰角的测量误差很大. 右上图：用腕尺法测量时，腕尺应与地面垂直，手臂水平，否 则就没有相似的直角三角形. 右下图：用镜子反射法时，要保持镜面水平，否则入射三角形 和反射三角形就不相似. 测量仰角的工具好： 把一个

7、量角器放在复印机上放大 4 倍复印. 在中心处绑上一个铅垂，这样测量视线和铅垂线之间的夹角可 以在图上直接读出，这个角是待测仰角的余角. 测量工具好：用自行车来测距离，解决了皮尺长度不够的问题. 分析建模活动的评价要关注结果，更要关注过程. 对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的 60%， 主要由教师作评价.评价依据 是现场观察和学生上交的测量报告，关注的主要评价点有： (1)测量模型是否有效； (2)计算过程是否清晰准确，测量结果是否可以接受； (3)测量工具是否合理、有效； (4)有创意的测量方法(可获加分)； (5)能减少测量误差的思考和做法(可获加分)； (6)有数据处理的意识和做法

8、(可获加分)； 非数学的评价可以占总评价的 40%，主要评价点有： (1)每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态； (2)测量过程中解决困难的机智和办法； (3)讨论发言、成果汇报中的表现等. 非数学的评价主要是在同学之间进行，可以要求学生给出本小组以外其他汇报小 组的成绩，并写出评价的简单理由. 二黄金数的应用 班级：高三()班 指导老师： 组长： 组员： 研究背景：黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术、建筑甚至是人的 饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识. 我们在数学、物理、化学、生物及美学中都存在很多的最好、最优化的问题，如 何实现最优化从而

9、达到我们的要求，使得我们在各方面都能取得很好的成绩. 研究目的和意义： 1.培养学生对数学的学习兴趣； 2.提高学习的查找、分析、集中能力； 3.拓宽学生的知识面，感受古代数学家高超的证题思想和刻苦钻研的精神； 4.通过集体配合较好完成对本课题的研究，增加同学间团结合作的精神. 研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题报告. 研究步骤：查阅资料、实际调查、计算、总结. 预期成果：在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研 究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术、建筑甚至 是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到

10、黄金数 的知识. 研究结果： 一、黄金数的发展“历史” 黄金数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的.一天， 毕达哥拉斯从 一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便停下来仔细 聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密.他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁 砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系.回到家里，毕达哥拉斯拿出 一根线，想将它分为两段.怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定 10.618 的比例截断最优美. 0.618 在数学中叫黄金比值， 又称黄金数.这是意大利著名画家达芬奇给它的美称. 其实数学上有许多几何图形蕴涵了黄金比，如五角星等. 代数上也有许多

11、黄金数的知识，其中最有名的裴波那契数列，也就是 1，1，2，3， 5，8，13，21，34，55，89，或许大家要问这里面没有黄金数啊，其实如果用 前一项比后一项，它的比值将会在 0.618 上下波动，如果你有兴趣还可以算下去， 最后你还会得到一个数，一个无限接近于黄金数的比值，不信你可以试一试. 二、黄金数的广泛应用 1.艺术中的黄金数 “0.618”，这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中，因为凡 符合黄金分割律的形体总是最美的形体.在美术史上曾经把它作为经典法则来应 用.有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著.例如达芬奇的蒙娜丽莎、拉 斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意

12、地用上了这个比值. 黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系.例如照相机的片窗比例：135 相机 就是 2436 即 23 的比例， 这是很典型的.只要我们翻开影集看一看， 就会发现， 大多数的画幅形式，都是近似这个比例. 2.饮食、生活作息中的黄金数 “黄金分割”的比值为 0.618， 它不仅是美学造型方面常用的一个比值， 也是一个 饮食参数.日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素. 在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄 金分割的比值. 医学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病. 还有喝 5 杯水.人体内的水分占体重的 61.

13、8%，不计出汗，每天失去和需要补充的 水达 2 500 毫升.其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约 1 500 毫升，大 约占 61.8%.其余 1 000 毫升需要补充，才能保持水平衡.因此，每人一天要喝 5 杯 水. 一天合理的生活作息也应该符合黄金分割，24 小时中，2/3 时间是工作与生活， 1/3 时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生 命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工 作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道.掌握与运用好黄金分割， 可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量. 3.植物中的黄金数 植物

14、叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界. 尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的.你 从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约为 137.5.如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差 约是 137.5，以后二到三层，三到四层，四到五层两叶之间都成这个角度数. 植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的.叶子的排布， 多么精巧叶子间的 137.5中， 藏有什么“密码”呢？我们知道， 一周是 360， 360 137.5222.5，137.5222.50.618.瞧，这就是“密码”！叶

15、子的精巧而神 奇的排布中，竟然隐藏着 0.618. 有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的. 4.建筑中的黄金数 世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”.遍布全球的众多优秀近现 代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面，都有意无意地运用了黄金分 割的法则，给人以整体上的和谐与悦目之美. 举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子，神庙外部呈长方形，长 228 英尺，宽 101 英尺，有 46 根多立克式环列圆柱构成柱廊. 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高之比 都接近于 0.618，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在现代建筑中，一些摩天建

16、筑中使用“黄金分割点”进行处理，在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或 装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致.如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今 世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔(553.33 米)，都是根据黄金分割的原则 来建造的.上海的东方明珠广播电视塔， 塔身高达 468 米.为了美化塔身， 设计师巧 妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地 面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化.更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高 度 58 的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是 58 这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果. 三、

17、开展生活中实际调查的研究及成果 经过我们的讨论，我们觉得应该自己去寻找生活中的黄金数. 1.下面就是我们实地测量结果的统计表格，从中我们发现其实黄金数就在我们的 身边.只要稍微留心一下便可发现它离我们的生活有多近！在生活中，只要我们善 于观察，善于思考，将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣，生活中 处处都应用着数学的知识. 物品宽(cm)长(cm)比值 教室墙体砖块18290.621 一片叶子0.91040.6428 学生921500.613 安中学生证6.1100.61 安中校园雕像51830.614 安中课桌40650.615 2.在实地调查、相关问题的访问、同学们之间互相交流讨论

18、后，我们从中获得了 不少的生活小知识. 如(1)报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？ 答：根据黄金分割，应站在舞台宽度的 0.618 处以站在舞台长度的黄金分割点的 位置最美观，声音传播得最好. (2)假如您打算买台 25 寸的国产彩色电视机，要想物美价廉，最佳价位是多少？ 答：如上所述，要想确定最佳价格，我们得知道同一品牌的最高价与最低价，然 后根据公式：(最高价位最低价位)0.618最低价位最佳价位. 以下是我们的调查结果 名牌高档的价格(元)低档的价格(元)最佳的价格(元) 长虹彩电1 3501 2801320 创维彩电1 29511001 221 (3)请问在夏季，人们为什么格外留恋春

19、天的感觉？ 答：人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在 22 至 24 摄氏度之间， 而这种气温与人的正常体温 37 摄氏度正呈现微妙之处：人的正常体温 37 摄氏度 与 0.618 的乘积为 22.8 摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理活 动均处于最佳状态. 四、问题与建设 在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研究.从中我们 了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术、建筑甚至是人的饮食 都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识. 在研究中，当然也会遇到各种无法预料的问题.刚开始，大家对于黄金数的知识都 很缺乏，只是带着一份好奇去探询其中的奥秘，而且黄金数的资料学校图书馆比 较缺乏，网上资料又是十分杂乱，对于信息需要筛选，留下对课题研究有用的部 分.在学习大量资料以后，我们渐渐了解了黄金数，我们惊奇地发现小小的“黄金 数”竟然有这么多神奇的应用！ 既然知道了， 我们就更应该在生活中使用黄金数， 美化生活.