（2022高考数学一轮复习(步步高)）第5节 基本不等式及其应用.doc

1、第第 5 节节基本不等式及其应用基本不等式及其应用 考试要求1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题. 知 识 梳 理 1.基本不等式： abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号. (3)其中ab 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (2)ab ab 2 2 (a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值

2、 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定 和最小). (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积 最大). 常用结论与微点提醒 1.b a a b2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号. 2.ab ab 2 2 a 2b2 2 . 3. 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (a0，b0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就 会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使 用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 诊 断 自

3、 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个不等式 a2b22ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的.() (2)函数 yx1 x的最小值是 2.( ) (3)函数 f(x)sin x 4 sin x的最小值为 4.( ) (4)x0 且 y0 是x y y x2 的充要条件.( ) 解析(1)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR； 不等式ab 2 ab成立的条件是 a0，b0. (2)函数 yx1 x的值域是(，22，)，没有最小值. (3)函数 f(x)sin x 4 sin x没有最小值. (4)x0 且 y0 是x y y x2 的充分不必要条件. 答案(

4、1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P48T1 改编)已知 x2，则 x 4 x2的最小值是( ) A.2B.4C.2 2D.6 解析x2，x 4 x2(x2) 4 x222 （x2） 4 x2242 6. 当 x2 4 x2，即 x4 时等号成立. 答案D 3.(新教材必修第一册 P45 例 1 改编)若 x0，则 x1 x( ) A.有最小值，且最小值为 2 B.有最大值，且最大值为 2 C.有最小值，且最小值为2 D.有最大值，且最大值为2 解析因为 x0， x1 x x 1 x 2（x） 1 x 2， 当且仅当 x1 时，等号成立，所以 x1 x2. 答案D 4.(2020

5、湖北八校联考)已知实数 x 满足 log1 2x1，则函数 y8x 1 2x1的最大值 为() A.4B.8C.4D.0 解析由 log1 2x1 得 0 x 1 2，12x10，8b0，所以 2a 1 8b2 2a 1 8b22 a3b 2 1 4，当且仅当 2 a1 8b，即 a3，b1 时取等号.故 2 a1 8b的最小值为 1 4. 答案 1 4 考点一利用基本不等式求最值多维探究 角度 1配凑法求最值 【例 11】 (1)(2020重庆一中月考)设 0 x0，则 a 8 2a1的最小值为_. 解析(1)y4x(32x)22x(32x) 2 2x（32x） 2 2 9 2， 当且仅当

6、2x32x，即 x3 4时，等号成立. 3 4 0，3 2 ，函数 y4x(32x) 0 x3 2 的最大值为9 2. (2)由题意可知 a 8 2a1a 1 2 4 a1 2 1 22 a1 2 4 a1 2 1 2 7 2，当且仅 当 a1 2 4 a1 2 ，即 a3 2时等号成立.所以 a 8 2a1的最小值为 7 2. 答案(1)9 2 (2)7 2 规律方法配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用 配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整， 做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的

7、定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 角度 2常数代换法求最值 【例 12】 (2019龙岩一模)已知 x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2，则 xy 的最小值 为() A.3B.5C.7D.9 解析x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2 ，x1y2 1 x1 1 y (x1y) 2 11 y x1 x1 y2 22 y x1 x1 y8， 当且仅当 y x1 x1 y ， 即 x3， y4 时取等号，xy7，故 xy 的最小值为 7. 答案C 规律方法常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为 1；

8、(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值. 角度 3消元法求最值 【例 13】 若正数 x，y 满足 x26xy10，则 x2y 的最小值是() A.2 2 3 B. 2 3 C. 3 3 D.2 3 3 解析因为正数 x， y 满足 x26xy10， 所以 y1x 2 6x .由 x0， y0，即 x0， 1x2 6x 0，解 得 0 x1.所以 x2yx1x 2 3x 2x 3 1 3x2 2x 3 1 3x 2 2 3 ，当且仅当2x 3 1 3x，即 x 2 2 ，y 2 12时取等号，故 x2y 的最小值为 2 2 3

9、. 答案A 规律方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转 化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基 本不等式求解.但应注意保留元的取值范围. 【训练 1】 (1)(角度 1)已知函数 f(x)x 2 x1(x1)，则( ) A.f(x)有最小值 4B.f(x)有最小值4 C.f(x)有最大值 4D.f(x)有最大值4 (2)(多填题)(角度 2)若 a0， b0， 且 a2b40， 则 ab 的最大值为_， 1 a 2 b的最小值为_. (3)(角度 3)若 a，b，c 都是正数，且 abc2，则 4 a1 1 bc的最小值是( ) A.2

10、B.3C.4D.6 解析(1)f(x)x 2 x1 x211 x1 x1 1 x1 x1 1 x12 (x1) 1 （x1）2. 因为 x1，所以 x10， 所以 f(x)2 124， 当且仅当(x1) 1 （x1），即 x2 时，等号成立. 故 f(x)的最小值为 4. (2)a0，b0，且 a2b40，a2b4，ab1 2a2b 1 2 a2b 2 2 2， 当且仅当 a2b，即 a2，b1 时等号成立，ab 的最大值为 2.1 a 2 b 1 a 2 b a2b 4 1 4 52b a 2a b 1 4 52 2b a 2a b 9 4， 当且仅当 ab 时等号成立， 1 a 2 b的最

11、小值为 9 4. (3)由题意可得 bc2a0，所以 0a2. 4 a1 1 bc 4 a1 1 2a 4（2a）（a1） （2a）（a1） 93a a2a2 3（3a） （a3）25（a3）4 3 （3a） 4 3a5 3 1 2 453，当 且仅当 a1 时等号成立，所以 4 a1 1 bc的最小值是 3. 答案(1)A(2)2 9 4 (3)B 考点二基本不等式的实际应用 【例 2】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 2 x2 360 升，司机的工资是每小时 14 元.

12、 (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解(1)所用时间为 t130 x (h)， y130 x 2 2 x2 360 14130 x ，x50，100. 所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y13018 x 2130 360 x，x50，100 (或 y2 340 x 13 18x，x50，100). (2)y13018 x 2130 360 x26 10， 当且仅当13018 x 2130 360 x， 即 x1810时等号成立. 故当 x1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26

13、10元. 规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解. 【训练 2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商 业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网 络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足函数关系式 x3 2 t1.已知 网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 万件进

14、货价格为 32 万元，若 每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费 用的一半”之和， 则该公司最大月利润是_万元. 解析由题意知t 2 3x1(1x0，0)，则4 1 的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2 (2)(2020长沙模拟)如图，在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA 3，PB2，PC1.设 M 是底面 ABC 内一点，定义 f(M)(m，n，p)，其中 m， n，p 分别是三棱锥 MPAB、三棱锥 MPBC、三棱锥 MPCA 的体积.若 f(M) 1 2，x，y，且1 x a y 8 恒成立，则正实数 a 的最小值为_.

15、 解析(1)由题意可知，AP AB4AD ，又 B，P，D 共线，由三点共线的充要 条件可得41， 又因为0， 0， 所以4 1 4 1 (4)816 8 2 16 16，当且仅当 1 2， 1 8时等号成立，故 4 1 的最小值为 16.故 选 A. (2)PA，PB，PC 两两垂直， 且 PA3，PB2，PC1， VPABC1 3 1 23211 1 2xy. xy1 2，则 2x2y1. a0，1 x a y 1 x a y (2x2y)22a2y x 2ax y 22a4 a(当且仅当2y x 2ax y ，即 y ax 时，取等号)，因此 22a4 a8，解得 a1， 正实数 a 的

16、最小值为 1. 答案(1)A(2)1 规律方法(1)当基本不等式与其它知识相结合时，往往是提供一个应用基本不 等式的条件，然后利用常数代换法求最值. (2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的 条件，从而得到参数的值或范围. 【训练 3】 (2020厦门联考)对任意 m，nR ，都有 m2amn2n20，则实数 a 的最大值为() A. 2B.2 2C.4D.9 2 解析对任意 m，nR，都有 m2amn2n20， m22n2amn，即 am 22n2 mn m n 2n m 恒成立， m n 2n m 2 m n 2n m 2 2，当且仅当m n 2n m 即

17、m 2n 时取等号，a2 2，故 a 的最大值为 2 2，故选 B. 答案B A 级基础巩固 一、选择题 1.已知 a，bR，且 ab0，则下列结论恒成立的是() A.ab2 abB.a b b a2 C.| a b b a|2D.a2b22ab 解析因为a b和 b a同号，所以| a b b a| a b| b a|2. 答案C 2.若 x0，y0，且 xy18，则 xy的最大值为() A.9B.18C.36D.81 解析因为 xy18，所以 xyxy 2 9，当且仅当 xy9 时，等号成立. 答案A 3.(多选题)下列结论错误的是() A.当 x0 且 x1，lg x 1 lg x2 B

18、. 1 x210 时， x 1 x2 D.当 0 x2 时，x1 x无最大值 解析对于 A，当 0 x1 时，lg x0 时， x 1 x2 x 1 x2，当且仅当 x1 时等号成立； 对于 D，当 00，b0)经过圆 x2y22x4y10 的圆心，则1 a 2 b的最小值为( ) A.4B.9 2 C.5 2 D.6 解析圆的一般方程化成标准方程得(x1)2(y2)24， 依据圆心(1， 2)在直 线 axby20 上，得 a2b2(a0，b0)，1 a 2 b 1 2(a2b) 1 a 2 b 1 2 142b a 2a b 1 2(52 4) 9 2(当且仅当 ab 2 3时取等号).

19、答案B 8.(2020信阳模拟)已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与 x 轴的非负半轴重 合，且都为第一象限的角，的终边上分别有点 A(1，a)，B(2，b)，且2， 则1 ab 的最小值为( ) A.1B. 2C. 3D.2 解析由已知可得 tan a，tan b 2， 2，tan tan 2，a 2b 2 1 b 2 2， 即 a 4b 4b2，由 a0，b0 得 4b 4b20，则 0b0， 故y x182 25 8， 当且仅当 x5 时等号成立， 此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大， 最大值为 8 万元. 答案8 11.(一题多解)(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，

20、P 是曲线 yx4 x(x0) 上的一个动点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_. 解析法一由题意可设 P x0，x04 x0(x00)， 则点 P 到直线 xy0 的距离 d| x0 x04 x0| 2 | 2x04 x0| 2 22x04 x0 2 4， 当且仅当 2x04 x0，即 x 0 2时取等号.故所求最小值是 4. 法二设 P x0， 4 x0 x 0 (x00)， 则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k14 x20.令 1 4 x20 1，结合 x00 得 x0 2，P( 2，3 2)，曲线 yx4 x(x0)上的点 P 到直线 xy0 的最短距离即为此时点 P 到直线

21、 xy0 的距离，故 dmin| 23 2| 2 4. 答案4 12.(2019天津卷)设 x0，y0，x2y4，则（x1）（2y1） xy 的最小值为 _. 解析 （x1）（2y1） xy 2xyx2y1 xy 2xy5 xy 2 5 xy. x0，y0 且 x2y4， 42 2xy(当且仅当 x2，y1 时取等号)， 2xy4， 1 xy 1 2，2 5 xy2 5 2 9 2. 答案 9 2 B 级能力提升 13.正数 a，b 满足1 a 9 b1，若不等式 abx 24x18m 对任意实数 x 恒 成立，则实数 m 的取值范围是() A.3，)B.(，3 C.(，6D.6，) 解析因为

22、 a0，b0，1 a 9 b1， 所以 ab(ab) 1 a 9 b 10b a 9a b 102 916， 当且仅当b a 9a b ， 即 a4， b12 时，等号成立. 由题意，得 16x24x18m， 即 x24x2m 对任意实数 x 恒成立， 令 f(x)x24x2， 则 f(x)x24x2(x2)26， 所以 f(x)的最小值为6， 所以6m，即 m6. 答案D 14.(2020山东师大附中模拟)已知ABC 的面积为 1，内切圆半径也为 1，若 ABC 的三边长分别为 a，b，c，则 4 ab ab c 的最小值为() A.2B.2 2C.4D.22 2 解析因为ABC 的面积为

23、1，内切圆半径也为 1， 所以1 2(abc)11，所以 abc2， 所以 4 ab ab c 2（abc） ab ab c 2 2c ab ab c 22 2， 当且仅当 ab 2c，即 c2 22 时，等号成立， 所以 4 ab ab c 的最小值为 22 2. 答案D 15.若 a，bR，ab0，则a 44b41 ab 的最小值为_. 解析a，bR，ab0， a 44b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 ab2 4ab 1 ab4， 当且仅当 a22b2， 4ab 1 ab， 即 a2 2 2 ， b2 2 4 时取得等号. 答案4 16.已知函数 f(x)x 2ax11 x1

24、 (aR)，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围是_. 解析对任意 xN*，f(x)3， 即x 2ax11 x1 3 恒成立，即 a x8 x 3. 设 g(x)x8 x，xN *，则 g(x)x8 x4 2， 当 x22时等号成立，又 g(2)6，g(3)17 3 ， g(2)g(3)，g(x)min17 3 . x8 x 38 3， a8 3，故 a 的取值范围是 8 3，. 答案 8 3， C 级创新猜想 17.(新定义题)规定：“”表示一种运算，即 ab abab(a，b 为正实数). 若 1k3，则 k 的值为_，此时函数 f(x)kx x 的最小值为_. 解

25、析由题意得 1k k1k3，即 k k20，解得 k1 或 k2(舍 去)，所以 k1，故 k 的值为 1. 又 f(x)1x x xx1 x 1 x 1 x123， 当且仅当 x 1 x，即 x1 时取等号， 故函数 f(x)的最小值为 3. 答案13 18.(多填题)(2020东莞联考)已知 a，bR，且 ab0，ab1，则 a22b2 的最小值为_， 4 ab 1 2b的最小值为_. 解析因为 ab1，所以 a1b.又因为 ab0，所以 0b1 2.所以 a 22b2 (1b)22b23b22b13 b1 3 2 2 3，当 b 1 3时，a 22b2取得最小值2 3.因 为 4 ab 1 2b 4 12b 1 2b，12b0，所以 4 ab 1 2b 4 12b 1 2b (12b2b) 5 8b 12b 12b 2b 549，当且仅当 b1 6时，等号成立.故 4 ab 1 2b的最小 值为 9. 答案 2 3 9