（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第4节　直线、平面平行的判定及其性质.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 4 节直线、平面平行的判定及其性质 知 识 梳 理 1直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面没有公共点，则称直线 l 与平面平行 (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线平行 于此平面 a，b，a ba 性质 定理 一条直线和一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行 a，a， bab 2.平面与平

2、面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定 定理 一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，则这两个平 面平行 a， b， ab P，a，b 性质 定理 两个平面平行，则其中一个平 面内的直线平行于另一个平面 ，aa 如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线 平行 ，a， bab 3.与垂直相关的平行的判定 (1)a，ba

3、b (2)a，a 1平行关系的转化 2平面与平面平行的六个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等 (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行 (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这 两个平面平行 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行() (2)若直线 a平面，P，则过点 P 且平行于直线 a

4、的直线有无数条() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行() (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或 在平面内，故(1)错误 (2)若 a，P，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故(2)错误 (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平

5、面平行或相交，故 (3)错误 2 (2018浙江卷)已知平面， 直线 m， n 满足 m， n， 则“mn”是“m” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析若 m，n，mn，由线面平行的判定定理知 m.若 m，m， n，不一定推出 mn，直线 m 与 n 可能异面，故“mn”是“m”的充分 不必要条件故选 A. 3下列命题中正确的是() A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B若直线 a 和平面满足 a，那么 a 与内的任何直线平行 C若直线 a，b 和平面满足 a，b，那么 ab D若直线 a，b 和平

6、面满足 ab，a，b，则 b 答案D 解析根据线面平行的判定与性质定理知，选 D. 4(必修 2P56 练习 2 改编)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点， 则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_ 答案平行 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析连接 BD，设 BDACO，连接 EO，在BDD1中，O 为 BD 的中点，E 为 DD1的中点，所以 EO 为BDD1的中位线，则 BD1EO，而 BD1平面 ACE， EO平面

7、ACE，所以 BD1平面 ACE. 5用一个截面去截正三棱柱 ABCA1B1C1，交 A1C1，B1C1，BC，AC 分别于 E， F，G，H 四点，已知 A1AA1C1，则截面的形状可以是_(把你认为可能的 结果都填上) 答案矩形或梯形 解析由题意知， 当截面平行于侧棱时所得截面为矩形， 当截面与侧棱不平行时， 所得的截面是梯形 6设，为三个不同的平面，a，b 为直线 (1)若，则与的关系是_； (2)若 a，b，ab，则与的关系是_ 答案(1)平行(2)平行 解析(1)由，. (2)a，abb，又 b，从而. 考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断 【例 1】 (1)(2019全国卷)设

8、，为两个平面，则的充要条件是() A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 (2)(一题多解)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N， Q 为所在棱的中点， 则在这四个正方体中， 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)B(2)A 解析(1)若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行时，与 可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以

9、平行也可以相交；若，垂直 于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故 A，C，D 中条件均不是的 充要条件根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一 个平面平行，则两平面平行，反之也成立因此 B 中条件是的充要条件 (2)法一对于 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是所在棱 的中点，所以 MQCD，所以 ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所 以 AB平面 MNQ.同理可证 C，D 中均有 AB平面 MNQ.因此 A 不正确 图(1)图(2) 法二对于 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQAB，因为 OQ

10、 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平 行A 不正确 感悟升华(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个 定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉 最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定 结论或用反证法推断命题是否正确 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 48312

11、2854 期待你的加入与分享 【训练 1】 (1)(2021杭州质检)已知三个不同的平面，和直线 m，n，若 m，n，则“”是“mn”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 (2)设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若，m，则 m； 若n，mn，m，则 m； 若 m，n，mn，则. 其中是真命题的是_(填上正确命题的序号) 答案(1)A(2) 解析(1)可知当“”时有“mn”，反之，不一定成立，则“”是 “mn”的充分不必要条件，故选 A. (2)mn 或 m，n 异面，故错误；易知正确；m或 m，故错

12、误； 或与相交，故错误 考点二直线与平面平行的判定与性质 角度 1直线与平面平行的判定 【例 21】 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABAD AC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明：MN平面 PAB； (2)求四面体 NBCM 的体积 (1)证明由已知得 AM2 3AD2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN1 2BC 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4

13、83122854 期待你的加入与分享 又 ADBC，故 TN 綉 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT. 因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB， 所以 MN平面 PAB. (2)解因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2PA. 如图， 取 BC 的中点 E， 连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC， AE AB2BE2 5. 由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM1 24 52 5.所以四面体 N BCM 的体积 VNBCM1 3S BCMPA 2 4 5 3 . 角度 2直线与平面平行性质定理

14、的应用 【例 22】 如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均 为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH 平面 ABCD，BC平面 GEFH. (1)证明：GHEF； (2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积 (1)证明因为 BC平面 GEFH， BC平面 PBC， 且平面 PBC平面 GEFHGH， 所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF. (2)解如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PA PC，O 是 AC 的中点，所以 POAC， 本资料分

15、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 同理可得 POBD. 又 BDACO，且 AC，BD 都在底面 ABCD 内，所以 PO底面 ABCD.又因为平 面 GEFH平面 ABCD， 且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH. 因为平面 PBD平面 GEFHGK，PO平面 PBD. 所以 POGK，且 GK底面 ABCD， 又 EF平面 ABCD，从而 GKEF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB8，EB2 及 EKAD， 得 EBABKBDB14

16、， 从而 KB1 4DB 1 2OB，即 K 为 OB 的中点 再由 POGK 得 GK1 2PO， 即 G 是 PB 的中点， 且 GH 1 2BC4.由已知可得 OB 4 2，PO PB2OB2 68326，所以 GK3. 故四边形 GEFH 的面积 SGHEF 2 GK48 2 318. 感悟升华(1)判断或证明线面平行的常用方法有： 利用反证法(线面平行的定义)； 利用线面平行的判定定理(a，b，aba)； 利用面面平行的性质定理(，aa)； 利用面面平行的性质(，a，aa) (2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用 三角形的中位线、平行四边形的对边或过

17、已知直线作一平面找其交线 【训练 2】 在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC1 2AD，E，F，H 分别为 线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求证：AP平面 BEF； (2)求证：GH平面 PAD. 证明(1)连接 EC， ADBC，BC1 2AD， E 为 AD 的中点，BC 綉 AE， 四边形 ABCE 是平行四边形， O 为 AC 的中点， 又F

18、是 PC 的中点，FOAP， 又 FO平面 BEF，AP平面 BEF，AP平面 BEF. (2)连接 FH，OH，F，H 分别是 PC，CD 的中点， FHPD，又 PD平面 PAD，FH平面 PAD， FH平面 PAD. 又O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， OHAD，又AD平面 PAD，OH平面 PAD， OH平面 PAD. 又 FHOHH，平面 OHF平面 PAD. 又GH平面 OHF，GH平面 PAD. 考点三面面平行的判定与性质 【例 3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： 本资料分享

19、自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明(1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点， GH 是A1B1C1的中位线，则 GHB1C1. 又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面 (2)E，F 分别为 AB，AC 的中点，EFBC， EF平面 BCHG，BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. 又 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，A1B1綉 AB， A1G 綉 EB， 四边

20、形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB. A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG.又A1EEFE， 平面 EFA1平面 BCHG. 【变式迁移】 如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 (1)求证：平面 A1BD平面 CD1B1； (2)若平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，求证：B1D1l. 证明(1)由题设知 BB1DD1且 BB1DD1， 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形， 所以 BDB1D1. 又 BD平面 CD1B1，B1D1平面 CD1B1， 所以 BD平面 CD1B1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群

21、 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为 A1D1B1C1BC 且 A1D1B1C1BC， 所以四边形 A1BCD1是平行四边形，所以 A1BD1C. 又 A1B平面 CD1B1，D1C平面 CD1B1， 所以 A1B平面 CD1B1. 又因为 BDA1BB，且 BD，A1B平面 A1BD， 所以平面 A1BD平面 CD1B1. (2)由(1)知平面 A1BD平面 CD1B1， 又平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，平面 ABCD平面 A1BD直线 BD，所以直 线 l直线 BD， 在四棱柱 AB

22、CDA1B1C1D1中，四边形 BDD1B1为平行四边形， 所以 B1D1BD，所以 B1D1l. 感悟升华(1)判定面面平行的主要方法 利用面面平行的判定定理 线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行) (2)面面平行的性质定理 两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面 若一平面与两平行平面相交，则交线平行 提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条 相交直线与另一个平面平行 【训练 3】 在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB. (1)已知 ABBC，AEEC.求证：ACFB； (2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH平面

23、ABC. 证明(1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF， 如图，连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 图 所以 DEAC.同理可得 BDAC. 又 BDDED， 所以 AC平面 BDEF. 因为 FB平面 BDEF， 所以 ACFB. (2)如图，设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI. 图 在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点， 所以 GIEF.又 EFDB， 所以 GIDB.

24、 在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.又 HIGII， 所以平面 GHI平面 ABC， 因为 GH平面 GHI， 所以 GH平面 ABC. 基础巩固题组 一、选择题 1 设 m， n 是不同的直线， ， 是不同的平面， 且 m， n， 则“”是“m 且 n”的() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析若 m，n，则 m且 n；反之若 m，n，m且 n， 则

25、与相交或平行，即“”是“m且 n”的充分不必要条件 2如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1中，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是() A异面B平行 C相交D以上均有可能 答案B 解析在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面 ABC，A1B1平面 ABC， A1B1平面ABC， 过A1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1， DEAB. 3有下列命题： 若直线 l 平行于平面内的无数条直线，则直线 l； 若直线 a 在平面外，则 a； 若直线 ab，b，则 a； 若直线 ab，b，则 a 平行于平面内的无数条直线 其中真命题的个数是

26、() A1B2C3D4 答案A 解析命题l 可以在平面内，不正确；命题直线 a 与平面可以是相交关系， 不正确；命题a 可以在平面内，不正确；命题正确 4下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在 棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 ABCD 答案B 解析中，易知 NPAA， MNAB，又 MNNPN. 平面 MNP平面 AAB， 可得出 AB平面 MNP(如图) 中，

27、NPAB，NP平面 MNP，AB平面 MNP，能得出 AB平面 MNP.在 中不能判定 AB平面 MNP. 5.在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形，SASBSC15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于 D，E，F，H，且 D，E 分别是 AB，BC 的 中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为() A.45 2 B.45 3 2 C45D45 3 答案A 解析取 AC 的中点 G，连接 SG，BG. 易知 SGAC，BGAC， 故 AC平面 SGB，所以 ACSB. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3230313

28、80 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，则 SBHD. 同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F 也为 AS，SC 的中点，从 而得 HF 綊 1 2AC 綊 DE， 所以四边形 DEFH 为平行四边形 又 ACSB，SBHD，DEAC， 所以 DEHD，所以四边形 DEFH 为矩形， 其面积 SHFHD1 2AC 1 2SB 45 2 . 6.在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列结论中错误的是()

29、 AACBD BAC截面 PQMN CACBD D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 答案C 解析因为截面 PQMN 是正方形，所以 MNQP，又 PQ平面 ABC，MN平面 ABC，则 MN平面 ABC，由线面平行的性质知 MNAC，又 MN平面 PQMN， AC平面 PQMN，则 AC截面 PQMN，同理可得 MQBD，又 MNQM，则 ACBD，故 A，B 正确又因为 BDMQ，所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等 于 PM 与 QM 所成的角，即为 45，故 D 正确 二、填空题 7在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则 MN 与平面 ABD 的位

30、置关系是_；与平面 ABC 的位置关系是_ 答案平行平行 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析如图，取 CD 的中点 E. 连接 AE，BE，由于 M，N 分别是ACD，BCD 的重心，所以 AE，BE 分别过 M，N，则 EMMA12，ENBN12， 即 EMMAENBN， 所以 MNAB.因为 AB平面 ABD， MN平面 ABD， AB平面 ABC， MN平面 ABC， 所以 MN平面 ABD， MN平面 ABC. 8正方体 ABCDA1B1C1

31、D1的棱长为 1 cm，过 AC 作平行于对角线 BD1的截面， 则截面面积为_cm2；其周长为_cm. 答案 6 4 2 5 解析如图所示，截面 ACEBD1，平面 BDD1平面 ACEEF，其中 F 为 AC 与 BD 的交点，E 为 DD1的中点， SACE1 2 2 3 2 6 4 (cm2) AC 2，CEAE 5 2 ， 其周长为 ACAECE 2 5(cm) 9如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BCAC，BAC 3，AC4，M 为 AA1的中点，点 P 为 BM 的中点，Q 在线段 CA1上，且 A1Q3QC，则 PQ 的长度 为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全

32、 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案13 解析由题意知，AB8，过点 P 作 PDAB 交 AA1于点 D，连接 DQ，则 D 为 AM 中点， PD1 2AB4. 又A1Q QC A1D AD 3， DQAC，PDQ 3， DQ3 4AC3， 在PDQ 中，由余弦定理得 PQ4232243cos 3 13. 10如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱 CC1， C1D1，D1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部

33、运动， 则 M 只需满足条件_时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确 的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 答案点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析连接 HN，FH，FN，则 FHDD1，HNBD， 易知平面 FHN平面 B1BDD1，只需 MFH，则 MN平面 FHN，MN平面 B1BDD1. 三、解答题 11一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 (1)请将

34、字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论 解(1)点 F，G，H 的位置如图所示 (2)平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体， 所以 BCFG，BCFG， 又 FGEH，FGEH，所以 BCEH，BCEH，于是四边形 BCHE 为平行四边 形，所以 BECH.又 CH平面 ACH，BE平面 ACH， 所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH. 又 BEBGB，所以平面 BEG平面 ACH. 12如图，四边形 ABCD 为矩形，ED平面 ABCD，AFED.求证：BF平面

35、 CDE. 证明法一四边形 ABCD 为矩形，ABCD， AB平面 CDE，CD平面 CDE，AB平面 CDE； 又 AFED，AF平面 CDE，ED平面 CDE， AF平面 CDE； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AFABA，AB平面 ABF，AF平面 ABF， 平面 ABF平面 CDE， 又 BF平面 ABF，BF平面 CDE. 法二如图，在 ED 上取点 N，使 DNAF，连接 NC，NF， AFDN，且 AFDN， 四边形 ADNF 为平行四

36、边形， ADFN，且 ADFN， 又四边形 ABCD 为矩形，ADBC 且 ADBC，FNBC，且 FNBC， 四边形 BCNF 为平行四边形， BFNC，BF平面 CDE，NC平面 CDE， BF平面 CDE. 能力提升题组 13给出下列关于互不相同的直线 l，m，n 和平面，的三个命题：若 l 与 m 为异面直线，l，m，则； 若，l，m，则 lm； 若l，m，n，l，则 mn. 其中真命题的个数为() A3B2C1D0 答案C 解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的 l，m；中 l 与 m 也可能异 面；中 l l n ln，同理，lm，则 mn，正确 14如图，正方体 ABCDA1B

37、1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA1，CC1的中 点，过 EF 的平面与棱 BB1，DD1分别交于点 G，H.设 BGx，x0，1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 四边形 EGFH 一定是菱形； AC平面 EGFH； 四边形 EGFH 的面积 Sf(x) 在区间0，1上具有单调性；四棱锥 AEGFH 的体积为定值 以上结论正确的个数是() A4B3C2D1 答案B 解析由正方体的性质易得 D1HBGx，则四边形 A1D1HE、四边形 ABG

38、E、四 边形 CBGF、四边形 C1D1HF 为四个全等的直角梯形，则 HEEGGFFH，即 四边形 EGFH 为菱形， 正确； 因为 ACEF， EF平面 EGFH， AC平面 EGFH， 所以 AC平面 EGFH，正确；在线段 DD1上取 DMx，则易得HMG 为直角 三角形，且 HM12x，则 GH HM2GM2 （12x）22，则菱形 EGFH 的面积 Sf(x)1 2EFGH 2 2 （12x）22，易得其在 0，1 2 上单调递减，在 1 2，1上单调递增，在0，1上不具有单调性，错误；V四棱锥AEGFHV三棱锥AEFH V三棱锥AEGFV三棱锥FAEHV三棱锥FAEG1 31 1

39、 21 1 2 1 31 1 21 1 2 1 6， 为 定值，正确综上所述，正确结论的个数是 3，故选 B. 15如图所示，棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，设 D 是 A1C1上的点且 A1B平面 B1CD，则 A1DDC1的值为_ 答案1 解析设 BC1B1CO，连接 OD. A1B平面 B1CD 且平面 A1BC1平面 B1CDOD， A1BOD， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 四边形 BCC1B1是菱形， O 为 BC1的

40、中点， D 为 A1C1的中点，则 A1DDC11. 16如图所示，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点， 且 APa 3，过 B 1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ _ 答案 2 2 3 a 解析平面 A1B1C1D1平面 ABCD， 而 平 面 B1D1P 平 面 ABCD PQ ， 平 面 B1D1P 平 面 A1B1C1D1 B1D1， B1D1PQ. 又B1D1BD，BDPQ， 设 PQABM， ABCD， APMDPQ. PQ PM PD AP2，即 PQ2PM. 又知APMADB，PM BD AP

41、AD 1 3， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 PM1 3BD，又 BD 2a，PQ 2 2 3 a. 17(2021无锡调研)如图，ABCD 是菱形，DE平面 ABCD，AFDE，DE2AF. (1)求证：AC平面 BDE； (2)求证：AC平面 BEF. 证明(1)因为 DE平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 DEAC. 因为 ABCD 是菱形，所以 ACBD， 因为 DEBDD， 且 BD平面 BDE，DE平面 BDE， 所以 AC平面 B

42、DE. (2)如图，设 ACBDO，取 BE 中点 G，连接 FG，OG， 所以，OGDE 且 OG1 2DE. 因为 AFDE，DE2AF，所以 AFOG 且 AFOG， 从而四边形 AFGO 是平行四边形，FGAO. 因为 FG平面 BEF，AO平面 BEF， 所以 AO平面 BEF， 即 AC平面 BEF. 18如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB， AD，EF 的中点，求证： 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加

43、入与分享 (1)BE平面 DMF； (2)平面 BDE平面 MNG. 证明(1)如图，连接 AE，设 DF 与 GN 的交点为 O， 则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O， 连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线， 所以 BEMO，又 BE平面 DMF，MO平面 DMF， 所以 BE平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN， 又 DE平面 MNG，GN平面 MNG， 所以 DE平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN， 又 BD平面 MNG，MN平面 MNG， 所以 BD平面 MNG， 又 DE，BD平面 BDE，DEBDD， 所以平面 BDE平面 MNG.