（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第7节　抛物线的方程与性质.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 7 节抛物线的方程与性质 知 识 梳 理 1抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 (2)其数学表达式：M|MF|d(d 为点 M 到准线 l 的距离) 2抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y22px(p0) y2 2px(p0) x22py(p0) x2 2py(p0) p 的几何意义：焦点 F

2、 到准线 l 的距离 性 质 顶点O(0，0) 对称轴y0 x0 焦点 F p 2，0F p 2，0F 0，p 2F 0，p 2 离心率e1 准线方程xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 开口方向向右向左向上向下 焦半径公式 (1)若点 P(x0，y0)是抛物线 y22px(p0)上一点，抛物线的焦点为 F，准线为 l，则 线段 PF 叫做抛物线的焦半径，则|PF|x0p 2. (2)若点 P(x0，y0)是抛物线 y22px(p0)上一点，抛物线的焦点为 F，准线为 l， 则线段 PF 叫做抛物线的焦半径，则|PF|x0p 2. 本资料分享自新

3、人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)若点 P(x0，y0)是抛物线 x22py(p0)上一点，抛物线的焦点为 F，准线为 l，则 线段 PF 叫做抛物线的焦半径，则|PF|y0p 2. (4)若点 P(x0，y0)是抛物线 x22py(p0)上一点，抛物线的焦点为 F，准线为 l， 则线段 PF 叫做抛物线的焦半径，则|PF|y0p 2. 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)在抛物线的定义中，若把“Fl”改为“Fl”，则其轨迹是过 F 点且垂直于 l 的一

4、条直线() (2)焦准距 p 的大小决定抛物线 y22px(p0)的张口大小， p 越大张口越大， p 越小， 张口越小() (3)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线， 且其焦点坐标是 a 4，0， 准线方程是 xa 4.( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(3)方程 yax2(a0)可化为 x21 ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点 坐标是 0， 1 4a ，准线方程是 y 1 4a. (4)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 2抛物线 y1 8x 2的焦点坐标为( ) A(2，0)B(0，2)C. 1

5、2，0D. 0，1 2 答案B 解析抛物线的标准方程为 x28y，则其焦点坐标为(0，2)，故选 B. 3若点 P(1，2)在抛物线 yax2(aR)的准线上，则实数 a 的值为() A8B.1 8 C4D.1 4 答案B 解析因为 P(1，2)在抛物线 x21 ay 的准线 y 1 4a上，所以 1 4a2，即 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a1 8，故选 B. 4(2021浙江名师预测卷一)已知抛物线 C：y22px(p0)上一点 P(x0，y0

6、)，满足 |PF|x0|1(点 F 为抛物线 C 的焦点)，则 p 的值是() A.1 2 B1C2D4 答案C 解析由|PF|x0|1 知p 21，故 p2，故选 C. 5 抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1， 则 p_ 答案2 解析依题意，当点 Q 为坐标原点时距离最小，所以p 21，即 p2. 6(2021浙江新高考仿真卷五)抛物线 C：y28x 的焦点 F 的坐标为_，若 点 P( 3，m)在抛物线 C 上，则线段 PF 的长度为_ 答案(2，0)32 解析抛物线 y28x 的焦点坐标为(2，0)，则抛物线的准线方程为 x2，因为 点 P( 3，m)在抛

7、物线上，所以 PF 的长度等于点 P( 3，m)到抛物线的准线的距 离，即|PF| 32. 考点一抛物线的定义及应用 【例 1】 (1)(一题多解)(2020全国卷)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点， 点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p() A2B3C6D9 (2)若抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3，2)，则|PA| |PF|取最小值时点 P 的坐标为_ 答案(1)C(2)(2，2) 解析(1)法一因为点 A 到 y 轴的距离为 9， 所以可设点 A(9， yA)， 所以 y2A18p. 又点 A 到焦点

8、 p 2，0的距离为 12，所以 9p 2 2 y2A12，所以 9p 2 2 18p 122，即 p236p2520，解得 p42(舍去)或 p6.故选 C. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 法二根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 xp 2的距离为 12，因为 点 A 到 y 轴的距离为 9，所以p 2129，解得 p6.故选 C. (2)将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6. 62，A 在抛物线内部，如图 设抛物线上点 P

9、到准线 l：x1 2的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为7 2，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y 22x，得 x2， 点 P 的坐标为(2，2) 感悟升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于 抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到 准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 【训练 1】 (1)(2021北京朝阳区二模)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是抛 物线上的两点，且|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为() A.3 4 B1C

10、.5 4 D.7 4 (2)已知点 P 是抛物线 y24x 上的动点，F(1，0)，A(4，5)，则|PA|PF|的最小值 是_ 答案(1)C(2) 34 解析(1)如图所示， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设抛物线的准线为 l， AB 的中点为 M， 作 AA1l 于点 A1， BB1l 于点 B1， MM1l 于点 M1，由抛物线的方程知 p1 2，由抛物线定义知|AA 1|BB1|AF|BF|3， 所以点 M 到 y 轴的距离为|MM1|p 2

11、 1 2(|AA 1|BB1|)p 2 1 23 1 4 5 4，故选 C. (2)点 A(4，5)在抛物线 y24x 的外部，连接 AF 交抛物线于点 P，当 P 与 P重合 时，|PA|PF|AF| 34. 考点二抛物线的标准方程 【例 2】 (1)已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C 2：x2 2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为() Ax28 3 3 yBx216 3 3 y Cx28yDx216y (2)已知圆 C 的方程为 x2y210 x0， 与 y 轴相切且与圆 C 外切的动圆圆心 P

12、的 轨迹方程为_ 答案(1)D(2)y220 x(x0)或 y0(x0)； 当点 P 在 y 轴左侧时，则|PC|x5，此时点 P 的轨迹就是 x 轴的负半轴，所 以轨迹方程为 y0(x0)或 y0(x0)或 x22py(p0)，把(3，1)代入两个方程，分别解得 p1 6或 p 9 2. 即得 y21 3x 或 x 29y. (2)令 y0，x4，则p 24，p8，即得 y 216x. 考点三抛物线的性质 【例 3】 (1)(2020北京卷)设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l，P 是抛物 线上异于 O 的一点，过 P 作 PQl 于 Q.则线段 FQ 的垂直平分线() A经过点 O

13、B经过点 P C平行于直线 OPD垂直于直线 OP (2)已知抛物线 x24y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距 离为() A.3 4 B.3 2 C1D2 (3)已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别 作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_ 答案(1)B(2)D(3)2 解析(1)如图所示，连接 PF，则|PF|PQ|，FQ 的垂直平分线过点 P.故选 B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q

14、Q 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)由题意知，抛物线的准线 l：y1，过点 A 作 AA1l 交 l 于点 A1，过点 B 作 BB1l 交 l 于点 B1， 设弦 AB 的中点为 M， 过点 M 作 MM1l 交 l 于点 M1， 则|MM1| |AA1|BB1| 2 .因为|AB|AF|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以 |AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点 M 到 x 轴的距离 d2，故选 D. (3)由题意知 F(1，0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小 值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定

15、义知，当|AB|为通径，即|AB|2p4 时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2. 感悟升华(1)判定符合条件的几何元素的个数，要注意运用对称性 (2)求最值(范围)问题注意利用定义和抛物线的范围 【训练 3】 (1)过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两 点若|AF|8|OF|(O 为坐标原点)，则|AF| |BF|_ (2)已知抛物线 C：x22y，F 是其焦点，AB 是抛物线 C 上的一条弦若点 A 的坐 标为(2，2)，点 B 在第一象限上，且|BF|2|AF|，则直线 AB 的斜率为_， ABF 的外接圆的标准方程为_ 答案(1)7(2)1

16、2 x1 2 2 y13 4 2 125 16 解析(1)由抛物线的对称性不妨设点 A 位于 x 轴的上方，则由|AF|8|OF|得 xA p 28 p 2，解得 x A7p 2 ，代入抛物线的方程解得 yA 7p，所以直线 AB 的方程为 y 7p 7p 2 p 2 xp 2 ，即 y 7 3 xp 2 ，与抛物线 y22px 联立，消去 x 得 y26 7p 7 y p20，解得 yB 7p 7 ，所以|AF| |BF| |yA| |yB| 7p 7p 7 7. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q

17、Q 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)因为|BF|2|AF|，所以 yB1 22 yA1 2 2 21 2 ，解得 yB9 2，代入抛物 线的方程得点 B 的坐标为 3，9 2 ，则直线 AB 的斜率 kAB 9 22 3（2） 1 2，直线 AF 的斜率 kAF 21 2 20 3 4，直线 BF 的斜率 k BF 9 2 1 2 30 4 3，则 k AFkBF1， 直线 AF 与直线 BF 相互垂直，即ABF 为直角三角形，则ABF 的外接圆的圆 心为 32 2 ， 9 22 2 ，即 1 2， 13 4 ，半径为1 2 （23）2 29 2 2 5 5 4 ，所以外 接

18、圆的标准方程为 x1 2 2 y13 4 2 125 16 . 基础巩固题组 一、选择题 1过点 A(3，0)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹是() A椭圆B双曲线C抛物线D直线 答案C 解析圆心设为 P，则 PA 等于 P 到 y 轴的距离，点 P 轨迹为抛物线 2 点 M(5， 3)到抛物线 yax2(a0)的准线的距离为 6， 那么抛物线的方程是() Ay12x2By12x2或 y36x2 Cy36x2Dy 1 12x 2或 y1 36x 2 答案D 解析分两类 a0，a0)上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则 p 的取值范围是 () Ap1Cp2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全

19、QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析由题意p 21，p2. 4设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 yk x(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴， 则 k() A.1 2 B1C.3 2 D2 答案D 解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由 PFx 轴知，|PF|2，所以 P 点 的坐标为(1，2)，代入曲线 yk x(k0)得 k2，故选 D. 5(2021北京通州区一模)已知抛物线 y28x 的准线与圆心为 C 的圆 x2y22x 80 交于 A，B 两点，那么

20、|CA CB|( ) A2B2 2C2 5D4 2 答案D 解析抛物线的准线为 x2，圆的圆心 C(1，0)，半径为 3，C 到 AB 的距离 为 1，|CA CB|AB|2 3214 2. 6已知点 A(0，2)，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相 交于点 M，与其准线相交于点 N，若|FM| |MN| 5 5 ，则 p 的值为() A.1 4 B2C4D8 答案B 解析过点 M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点 M，则易得|MM|MF|，所以 cosNMM|MM| |MN| |MF| |MN| 5 5 ，则 kAMtanNMM 1cos2NMM cos2

21、NMM 2，则直线 AM 的方程为 y22x，令 y0 得抛物线的焦点坐标 F(1，0)， 则 p212，故选 B. 二、填空题 7(2019北京卷)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相 切的圆的方程为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(x1)2y24 解析抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，准线 l 为直线 x1， 圆的圆心坐标为(1，0) 又圆与 l 相切，圆心到 l 的距离为圆的半径，r

22、2. 圆的方程为(x1)2y24. 8已知 P 是抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 x2(y4)21 上一动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是_ 答案171 解析抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，圆 x2(y4)21 的圆心为 C(0，4)，设 点 P 到抛物线的准线距离为 d，根据抛物线的定义有 d|PF|， 所以|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|1 171. 9已知点 M(3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y22x 的焦点为 F，点 Q 是抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是_ 答案 5 2 解析抛物线的

23、准线方程为 x1 2. 当 MQx 轴时，|MQ|QF|取得最小值此时点 Q 的纵坐标 y2，代入抛物线 方程，得 Q 的横坐标 x2，则|MQ|QF|23|2 1 2|5 2. 10(2021浙江新高考仿真卷二)已知抛物线 yax21 的焦点是坐标原点，则 a _，以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为_ 答案 1 4 2 解析抛物线 yax21 可以看作是由抛物线 yax2向下平移 1 个单位长度得到 的，因为抛物线 yax21 的焦点为坐标原点，所以抛物线 yax2，即 x21 ay 的 焦点为(0，1)，则 1 4a1，解得 a 1 4，则抛物线方程为 y 1 4x 21，易

24、得其与坐标 轴的交点分别为(2，0)，(2，0)，(0，1)，构成的三角形的面积为1 21(22) 2. 三、解答题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 11根据下列条件分别求抛物线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点； (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5； (3)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(3，m)到焦点的 距离等于 5. 解(1)由题意可知双

25、曲线左顶点为(3，0)， 设抛物线方程为 y22px(p0)且p 23， 所以 p6， 所以抛物线的方程为 y212x. (2)设所求的抛物线方程为 y22px(p0)，A(m，3)， 由抛物线定义得 5|AF|m p 2|. 又因为(3)22pm， 所以 p1 或 p9， 所以抛物线方程为 y22x 或 y218x. (3)设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点 F p 2，0，准线方程为 xp 2，由|MF| 5 得p 235，p4， 所以抛物线方程为 y28x. 12如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1，2)，A(x1， y1)，B(x2，y2)均在抛物线

26、上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率 解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 点 P(1，2)在抛物线上，222p1，解得 p2. 故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB， 则 kPAy12 x11(x 11)，kPBy 22

27、x21(x 21)， PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB. 由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y214x1， y224x2， y12 1 4y 2 11 y22 1 4y 2 21 ，y12(y22) y1y24. 由得，y21y224(x1x2)， kABy1y2 x1x2 4 y1y21(x 1x2) 能力提升题组 13设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心， |FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0的取值范围是() A(0，2)B0，2 C(2，)D2，) 答案C 解析抛物线 C：x

28、28y 的焦点 F(0，2)，准线 y2，由题意|MF|y024， y02. 14已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点若FP 4FQ ，则|QF|() A.7 2 B.5 2 C3D2 答案C 解析FP 4FQ ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 |FP |4|FQ |，|PQ| |PF| 3 4. 如图，过 Q 作 QQl，垂足为 Q， 设 l 与 x 轴的交点为 A， 则|AF

29、|4，|PQ| |PF| |QQ| |AF| 3 4， |QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3，故选 C. 15已知点 P 是抛物线 y24x 上的动点，F(1，0)，A(4，3)，则|PA|PF|的最大 值是_，最小值是_ 答案3 23 2 解析点 A(4，3)在抛物线 y24x 的内部，连接 AF 并延长交抛物线于 M，N 两点 (如图) 则|AF|NA|NF|PA|PF|MA|MF|AF|， 又|AF|3 2， |PA| |PF|的最大值为 3 2，最小值为3 2. 16.(2021嘉兴测试)如图， 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交其准线

30、 l 于点 C， 若 F 是 AC 的中点， 且|AF|4， 则线段 AB 的长为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 16 5 解析法一如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 ADl 交 l 于点 D，由抛物 线的定义知，|AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点，知|AD|2|MF|2p，所以 2p 4，解得 p2，所以抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p 2x 114，所以 x13，可

31、得 y12 3， 所以 A(3，2 3)，又 F(1，0)，所以直线 AF 的斜率 k 2 3 31 3，所以直线 AF 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程 y24x 得 3x210 x30，所以 x1x2 10 3 ，|AB|x1x2p16 3 . 法二设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p 2x 114，所以 x13，又 x1x2p 2 4 1，所以 x21 3，所以|AB|x 1x2p31 32 16 3 . 法三因为 1 |AF| 1 |BF| 2 p， |AF|4， 所以|BF| 4 3， 所以|AB|AF|BF|4 4 3 16 3 . 17已知 A(8，0

32、)，B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动，并且满足AB BP0， BC CP， (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、 N 两点， 且满足QM QN 97， 其中 Q(1，0)，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 解(1)设 B(0，b)，C(c，0)，P(x，y)； 则AB (8，b)，BP(x，yb)， BC (c，b)，CP(xc，y) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享

33、 AB BP8xb(yb)0. 由BC CP，得 cxc， by， by 代入得 y24x. 动点 P 的轨迹方程为 y24x. (2)当直线 l 的斜率不存在时，x8 与抛物线没有交点，不符合题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k， 则 l：yk(x8) 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则QM (x11，y1)， QN (x21，y2)， 由QM QN 97， 得(x11)(x21)y1y297. 即 x1x2x1x21k2(x18)(x28)97， (1k2)x1x2(18k2)(x1x2)164k297. 将 yk(x8)代入 y24x 得 k2x2(416k2

34、)x64k20. 直线 l 与 y24x 交于不同的两点， (416k2)24k264k20，即 2 4 k 2 4 ， 由根与系数的关系得 x1x216k 24 k2 ，x1x264. 代入式得： 64(1k2)(18k2)16k 24 k2 164k297. 整理得 k21 4，k 1 2. k1 2 2 4 ， 2 4 ， 这样的直线 l 不存在 18(2021浙江名校新高考研究联盟三联)已知抛物线 E：y22px 上一点(m，2) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854

35、期待你的加入与分享 到其准线的距离为 2. (1)求抛物线 E 的方程； (2)(一题多解)如图 A，B，C 为抛物线 E 上的三个点，D(8，0)，若四边形 ABCD 为菱形，求四边形 ABCD 的面积 解(1)由已知可得 42mp， mp 22， 消去 m 得 p24p40，p2. 抛物线 E 的方程为 y24x. (2)设 A(x1，y1)，C(x2，y2)， 菱形 ABCD 的中心 M(x0，y0)， 当 ACx 轴时，则 B 在原点， M(4，0)，|AC|8，|BD|8， 菱形的面积 S1 2|AC|BD|32. 法一当 AC 与 x 轴不垂直时， 设直线 AC 方程为 xtyb，

36、t0， 则直线 BD 的斜率为t， 由 y24x， xtyb，消去 x 得 y 24ty4b0， y1y24t， y1y24b， x1x2y 2 1y22 4 （y1y2） 22y1y2 4 4t22b，x02t2b，y02t， M 为 BD 的中点， B(4t22b8，4t)，点 B 在抛物线上，且直线 BD 的斜率为t， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 16t24（4t22b8） ， 2t 2t2b8t（t0） ， 解得 b4，t1. B(4，4)，|BD|4 2， |AC| 1t2|y1y2| 1t216t216b 2 16644 10， 四边形 ABCD 的面积 S1 2|AC|BD|16 5. 综上，S32 或 16 5. 法二设 B(a2，2a)， 直线 BD 的斜率为 k(k0)，则 k 2a a28， M a28 2 ，a ，直线 AC 的斜率为1 k， 可以设直线 AC：xa 28 2 k(ya)， 由 xa 28 2 k（ya） ， y24x， 消去 x 得 y24ky4ka2a2160， y1y22y02a， 4k2a，ka 2. 解方程a 2 2a a28(a0)， 解得 a2，k1， 下同法一