（2022 高考数学一轮复习(全品版)）第16讲导数与不等式 第1课时 导数方法证明不等式.pptx

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2、如您遇到有关课件技术方面的问题，请打开网页 或致电010-58818058；有关内容方面的问题，请致电010-58818084。 新高考2 课堂考点探究教师备用习题 第二单元 函数、导数及其应用 第 16 讲导数与不等式 / 第1课时导数方法证明不等式 / 取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构” 构造辅助函数; (4)构造双函数,若直接构造函数求导,难以判断符号,导函数零点也不易求得, 因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解 (2014全国卷21). 提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧: (1)舍去一些

3、正项(或负项); (2)在和或积中换大(或换小)某些项; (3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母); (4)构造基本不等式(通常结合代换法,注意对指数的变换). 探究点一利用导数证明一元不等式 思路点拨 先代入m=1,对f(x)求导,再算出 f(1),f(1),进而可得曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的 切线方程. 角度1直接构造函数证明不等式 例1 2020黑龙江大庆四中月考 已知函数f(x)=mex-ln x-1. (1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程; 思路点拨 方法一:思路一,先构造函数g(x)=ex-ln x-2,利用g(x)的导数可得g(x) 的

4、最小值,进而可证当m1时,f(x)1;思路二,先证明exx+1(xR),再证明(x+1)- ln x-20,进而得证.方法二:先证明exx+1(xR),且ln xx-1(x0).再证明mex- ln x-20,而x0,m1,且exx+1与ln xx-1不同时取等号,所以mex-ln x-2m(x+1)- (x-1)-2=(m-1)(x+1)0,从而得证. 例1 2020黑龙江大庆四中月考 已知函数f(x)=mex-ln x-1. (2)当m1时,证明:f(x)1. 证明:方法一:当m1时,f(x)=mex-ln x-1ex-ln x-1.要证明f(x)1,只需证明ex-ln x- 20.以下给

5、出两种思路证明ex-ln x-20. 设F(x)=ex-x-1,则F(x)=ex-1.因为当x0时,F(x)0时,F(x)0, 所以当x0时,函数F(x)单调递增. 所以F(x)F(0)=0,即exx+1(当且仅当x=0时取等号). 由exx+1,得ex-1x(当且仅当x=1时取等号), 所以ln xx-1(x0)(当且仅当x=1时取等号). 再证明mex-ln x-20.因为x0,m1,且exx+1与ln xx-1不同时取等号, 所以mex-ln x-2m(x+1)-(x-1)-2=(m-1)(x+1)0.综上可知,当m1时,f(x)1. 总结反思 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,

6、可以直接构造“左减 右”的函数,即若证明f(x)g(x)在区间D上恒成立,则构造函数h(x)=f(x)-g(x),再 根据函数h(x)的单调性,证明h(x)0在区间D上恒成立. 变式题 已知函数f(x)=3x2+(6-a)x-aln x(aR且a0). (1)求函数f(x)的单调区间; 变式题 已知函数f(x)=3x2+(6-a)x-aln x(aR且a0). (2)当a=1时,证明:对任意的x0,都有f(x)+ex3x2+5x+2. 角度2放缩后构造函数证明不等式 思路点拨 求得函数的定义域,由导函数的符号, 判断出函数的单调区间. 总结反思 导数方法证明不等式时,最常见的是ex和ln x与

7、其他代数式结合的难 题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构建函 数进行证明.常见的放缩公式如下: (1)ex1+x,当且仅当x=0时取等号; (2)exex,当且仅当x=1时取等号; (3)ln xx-1,当且仅当x=1时取等号. 角度3构造双函数证明不等式 总结反思 当直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证不等式进行变形,构造 两个都便于求导的函数,即转变为两个函数之间最值的比较,从而找到可以传递 的中间量,达到证明的目的. 探究点二双变量不等式的证明 思路点拨 当a=1时f(x)=ln x,求出f(e),f(e),即 可写出切线的点斜式方程. 例4 2020江苏泰州期末 已知函 数f(x)=aln x. (1)当a=1时,求函数f(x)的图像在 x=e处的切线方程; 例4 2020江苏泰州期末 已知函数f(x)=aln x. (2)设h(x)=f(x)-x,若存在不相等的实数x1,x2,使得h(x1)=h(x2),证明:0a0.