（2022高考数学一轮复习(全品版)）第61讲　随机事件的概率与古典概型.pptx

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3、在条件S下,一定会发生的事件叫作 相对于条件S的必然事件 不可能事件 在条件S下,一定不会发生的事件叫 作相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下,的事件叫作相对于条件S 的随机事件 频率fn(A) 常数 3.事件的关系与运算 包含 A=B BA 定义 符号表 示 包含关系 若事件A发生,事件B一定发生,则称事件B 事件 A(或称事件A包含于事件B) (或 AB) 相等关系 若BA且AB,则称事件A与事件B相等 并事件 事件A发生 定义符号表示 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此 事件为事件A与事件B的(或和事件) AB (或A+B) 交事件 (积事件

4、) 若某事件发生当且仅当且, 则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) AB (或AB) 互斥事件 若AB为不可能事件,则称事件A与事件B互斥AB= 对立事件 若AB为不可能事件,AB为必然事件,则称事件A与事 件B互为对立事件 AB=且 P(AB)= P(A)+P(B)=1 事件B发生 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:. (2)必然事件的概率P(E)=. (3)不可能事件的概率P(F)=. (4)若事件A与事件B互斥,则P(AB)= . 若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=. 0P(A)1 1 0 P(A)+P(B) 1-P(B) 5.基本事件的特点 (1)任何两个

5、基本事件是的. (2)任何事件都可以表示成 的和(除不可能事件). 互斥 基本事件 6.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件. (2)每个基本事件出现的可能性. (3)如果每一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都 相等,那么每一个基本事件的概率都是;如果某个事件A包括的结果 有m个,那么事件A的概率P(A)=. 只有有限个 相等 题组一常识题 1.教材改编 在天气预报中,有“降水概率预报”.例如,预报“明天降水概率为85%”, 对这句话理解正确的说法序号是. 明天该地区有85%的地区降水,其他15%的地区不

6、降水; 明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水; 气象台的专家中,有85%的专家认为明天该地区会降水,另外15%的专家认为明天该地 区不降水; 明天该地区降水的可能性为85%. 解析 概率的本质是事件发生的可能性大小,因此正确. 2.教材改编 已知随机事件A,B 互斥,且P(A+B)=0.8,P(A)=0.3,则 P(B)=. 解析 随机事件A,B互 斥,P(A+B)=P(A)+P(B),P(B)= 0.8-0.3=0.5. 0.5 3.教材改编 管理人员从池塘内捞 出30条鱼,做上标记后放回池塘,10 天后,又从池塘内捞出100条鱼,其中 有标记的有2条.根据以上数据可以 估计该池塘

7、内共有条鱼. 1500 4.教材改编 袋中装有3个白球,2 个黄球,1个黑球,从中任取2个球, 则取出的2个球中有黑球的概率 为,2个球不同色的概率 为. 4.教材改编 袋中装有3个白球,2 个黄球,1个黑球,从中任取2个球, 则取出的2个球中有黑球的概率 为,2个球不同色的概率 为. 6.甲、乙、丙三人参加某抽奖活动,幸运的是他们都得到了一件精美的礼 物.他们的抽奖过程是这样的:墙上挂着两串礼物(如图10-61-1所示),每次 只能从其中一串的最下端取一件礼物,直到礼物取完为止.甲第一个取得 礼物,然后乙、丙依次取得第二件、第三件礼物.事后他们打开这些礼物 仔细比较发现礼物B最精美,那么取得

8、礼物B的可能性最大的人是 . 解析 由于礼物的分配共有三种情况:(1)甲C,乙A,丙B;(2)甲A,乙B,丙C;(3)甲 A,乙C,丙B.故取得礼物B的可能性最大的人是丙. 丙 题组二常错题 索引:求所有可能情况时出错;确定对立事件时出错;基本事件计数错误;搞错题中的研 究对象. 7.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A=抽到一等品,事件B=抽到二等品, 事件C=抽到三等品,且P(A)=0.65, P(B)=0.25,P(C)=0.1,则事件“抽到的不 是一等品”的概率为. 解析 将分别“抽到的不是一等品” 的对立事件是“抽到的是一等品”, 且P(A)=0.65,所以“抽到的不是一等 品”的

9、概率为1-0.65=0.35. 8.现有7名成绩优秀者,分别用A1,A2,A3, B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩 优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成 绩优秀.从数学、物理、化学成绩优秀的 人中各选1人,组成一个小组代表学校参加 竞赛,则A1和B1中有且仅有1人被选中的概 率为. 探究点一随机事件 角度1 随机事件的频率与概率 例1 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率. 电影类型第一类第二类

10、第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 例1 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率. 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 例1 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (2)随机选取1部电影,估计这部电影没

11、有获得好评的概率. 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 例1 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化. 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电 影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最 大?(只需写出结论) 思路点拨 (3)增加电影部数多的好评率,减少电

12、影部数少的好评率即可. 解:增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率. 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 总结反思 (1)计算简单随机事件的频率或概率的解题思路: 计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数. 由频率公式得所求,由频率估计概率. (2)求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键是由所给频 率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频 数. 变式题 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未 售出的酸奶降价

13、处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与 当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区 间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计 划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 天数216362574 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),

14、当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. 角度2随机事件之间关系的判断 例2 (1)(多选题) 对空中飞行的飞机连续射 击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A=两 次都击中飞机,事件B=两次都没击中飞 机,事件C=恰有一次击中飞机,事件 D=至少有一次击中飞机,下列关系中正 确的是( ) A.AD B.BD= C.AC=D D.AC=BD 思路点拨 根据所给的事件逐个判断即 可. 解析 事件D包括“恰有一次击中飞机” 和“两次都击中飞机”,所以AD,故A正 确. 由于事件B,D不能同时发生,故BD=,B 正确.由题意知C正确. 因为AC=D=至少有一次

15、击中飞机,不 是必然事件,BD为必然事件,所以 ACBD,故D不正确.故选ABC. ABC (2)已知100件产品中有5件次品,从这100 件产品中任意取出3件,设E表示事件“3 件产品全不是次品”,F表示事件“3件 产品全是次品”,G表示事件“3件产品 中至少有1件是次品”,则下列结论中正 确的是 () A.F与G互斥 B.E与G互斥但不对立 C.E,F,G任意两个事件均互斥 D.E与G对立 思路点拨 根据互斥事件和对立事件的定 义判断即可. 解析 由题意得事件E与事件F不可能同 时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能 同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事 件G一定发生,所以事件F与事

16、件G不是互 斥事件,故A,C错误.事件E与事件G中必有 一个发生,所以事件E与事件G对立,故B错 误,D正确. D 总结反思 判断互斥事件、对立事件时一般用定义,不可能同时发生的两个事件 为互斥事件;若两个事件中有且仅有一个发生,则这两个事件互为对立事件.对立事 件一定是互斥事件. 角度3利用互斥、对立事件求概率 例3 (1)某工厂生产了一批节能灯泡,这 批产品按质量分为一等品、二等品、 三等品.从这批产品中随机抽取一件产 品进行检测,已知抽到一等品或二等品 的概率为0.86,抽到二等品或三等品的 概率为0.35,则抽到二等品的概率为 . 0.21 总结反思 求复杂事件的概率的两种方法: (1

17、)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用互斥事件的概率加法公 式求解概率. (2)若将一个较复杂的事件转化成几个彼此互斥事件的和事件时分类太多,而其对 立面的分类较少,可考虑先求其对立事件的概率,即“正难则反”.常用此方法求 “至少”“至多”型事件的概率. 变式题(1)2020吴起高级中学模拟 抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上 的点数分别为1,2,3,4,5,6),事件A为 “正面朝上的点数为3”,事件B为 “正面朝上的点数为偶数”,则 P(A+B)=. D 思路点拨 根据组合知识得出所有基本事件的 总个数以及满足条件的基本事件的个数,再由古 典概型概率公式求解即可; B B 思路点

18、拨 应用树状图列出所有的基本 事件,再找出组成的两位数为奇数所包含 的基本事件. A C 探究点三古典概型与统计的综合应用 例5 2020甘肃会宁模拟 为了加强对国产核动力航母动力系统的研发力量,用分层抽样 的方法从A,B,C三所动力研究所的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表: (1)求x,y. 研究所相关人数抽取人数 A18x B362 C54y 思路点拨 记从研究所B抽取的2人为b1,b2,从研究所C抽取的3人为c1,c2,c3,则列举出从研 究所B,C抽取的5人中选2人进行专题发言包含的所有样本点,再找出选中的2人都来自研 究所C包含的样本点,然后利用古典概型的概率计算公

19、式求解即可. 例5 2020甘肃会宁模拟 为了加强对国产核动力航母动力系统的研发力量,用分层抽样 的方法从A,B,C三所动力研究所的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表: (2)若从研究所B,C抽取的人中选2人进行专题发言,求这2人都来自研究所C的概率. 研究所相关人数抽取人数 A18x B362 C54y 例5 2020甘肃会宁模拟 为了加强对国产核动力航母动力系统的研发力量,用分层抽样 的方法从A,B,C三所动力研究所的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表: (2)若从研究所B,C抽取的人中选2人进行专题发言,求这2人都来自研究所C的概率. 研究所相关人数抽取人

20、数 A18x B362 C54y 总结反思 古典概型常常与统计、几何等知识综合考查.解决古典概型与其 他知识的交汇问题的关键是找出所求事件包含的样本点,然后利用古典概型 的概率计算公式求解概率. 变式题 (1)2020濮阳一模 2020年 的2月2日,用数字记法就是 20200202,左右对称,古人称回文数, 印度人称花环数,类似上面的日子 称作花环日.下一个只包含两个数 的花环日是91年后的21111112.若 从由数字1和2组成的八位回文数 中任选2个,则这2个均为花环日的 概率是. (2)2020诸暨模拟 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数abcde,从中随机取 一个五位数,满

21、足条件|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|6的概率为. 【备选理由】例1考查随机事件的概率及意义;例2考查互斥事件、对立事件的 概率问题;例3考查古典概型的概率计算;例4考查古典概型与直线、圆的交汇问 题. 例1 配合例2、例5使用 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样,样 本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: (1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率; 赔付金额01000200030004000 车辆数500130100150120 例1 配合例2、例5使用 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样,样 本车辆中每辆车的赔付结果统

22、计如下: (2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司 机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率. 赔付金额01000200030004000 车辆数500130100150120 例2 配合例3使用 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保 险但不购买甲种保险的概率为0.3.则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的 概率为 ,该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 . 解析 记事件A为该车主购买甲种保险,事件B为该车主购买乙种保险但不购买甲种保险, 事件C为该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种,事件D为该车主甲、乙两种保险都 不购买. 由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=AB, 所以P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8. 因为事件D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 0.80.2 D 例4 补充使用 已知实数a,b-2,-1,1,2,求直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点 的概率.