（2022高考数学一轮复习(全品版)）增分微课（四）数据分析中的开放性问题.pptx

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3、出来,从茎叶图中可以很清晰地看到 第二种生产方式效率更高,这一结论可以体现在完成工作的大部分时间(如75%的时间)集 中的区域,第一种生产方式至少为80分钟,第二种生产方式至多为79分钟,也可以从中位数 进行判断分析,还可以从数据的分布情况进行判断. 例1 2018全国卷改编 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产 任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组, 每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产 任务的工作时间(单位:分钟)绘制了如图所示的茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的

4、效率更高?并说明理由; 解:第二种生产方式的效率更高. 理由如下: (i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少为 80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多为79分钟.因 此第二种生产方式的效率更高. (ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用 第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的 效率更高. 解: (iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分 钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需

5、时间低于80分钟.因此第二种生产 方式的效率更高. (iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最 多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间 分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种 生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高. (以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 例1 2018全国卷改编 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种

6、 新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人 用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:分钟)绘制 了如图所示的茎叶图: (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人 数填入下面的列联表: 超过m不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 超过m不超过m 第一种生产方式155 第二种生产方式515 =P(K2k)0.050.010.001 k3.8416.63510.828 总结反思 根据样本数据分析相关的情况,一般要借助茎叶图、频率分布直方图 等

7、工具,从数据的集中程度、分布情况以及中位数、众数、极值、最值、百分位 数等方面进行相关的分析判断. 类型二根据概率判断 例2 2020北京丰台区二模 为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹 克精神,北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为 了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在北京市中小 学学校中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如图所示. (1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查,求选出的2所学校 参与越野滑轮的人数都超过40的概率. 例2 2020北京丰台区二模 为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹克 精神,北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的

8、活动.为了了 解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在北京市中小学学校 中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如图所示. (2)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导,记X为教练选中参加旱地 冰壶人数在30以上的学校个数,求X的分布列和数学期望. X012 P 例2 2020北京丰台区二模 为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹 克精神,北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了 了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在北京市中小学 学校中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如图所示. (3)某校聘请了一名越野滑轮教练,对高山滑降、转弯

9、、八字登坡滑行这3个动作进行技术指 导.规定:这3个动作中至少有2个动作达到“优”,则总考核记为“优”.在指导前,该校甲同学 3个动作中每个动作达到“优”的概率都为0.1,且彼此独立.在指导后的考核中,甲同学总考核 成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由. 例2 2020北京丰台区二模 为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹克 精神,北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了 解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在北京市中小学学校 中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如图所示. (3)某校聘请了一名越野滑轮教练,对高山滑降、

10、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定:这3个动作中至少有2个动作达到“优”,则总考核记为“优”.在指导前,该校甲同学3个动 作中每个动作达到“优”的概率都为0.1,且彼此独立.在指导后的考核中,甲同学总考核成绩为 “优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由. 总结反思 解决此类问题的关键是能够根据有关的知识和方法求出相应的概率, 并结合题意进行判断.常见的求解概率的类型有古典概型、二项分布、超几何分 布、正态分布、事件间的关系等. 类型三根据期望(均值)方差判断 例3 2020海口一模 据统计,仅在北京每天就有500万单快递等待派送,近5万多名快递员

11、奔跑 在一线,快递网点人员流动性也较强,各快递公司需要经常招聘快递员,保证业务的正常开展.下 面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员每天的送货单数统计表: 已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为:甲公司规定底薪60元,每单抽成1元;乙公司 规定底薪80元,每日前40单无抽成,超过40单的部分每单抽成t元. (1)分别求甲、乙快递公司快递员的日工资y1,y2(单位:元)与送货单数n的函数关系式. 思路点拨 根据题意可得y1=60+n,nN*,y2利用分段函数进行表示. 送货单数30405060 天数 甲10102010 乙515255 例3 2020海口一模 据统计,仅在北京每天就有500

12、万单快递等待派送,近5万多名快递员奔跑 在一线,快递网点人员流动性也较强,各快递公司需要经常招聘快递员,保证业务的正常开展.下 面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员每天的送货单数统计表: 已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为:甲公司规定底薪60元,每单抽成1元;乙公司 规定底薪80元,每日前40单无抽成,超过40单的部分每单抽成t元. (1)分别求甲、乙快递公司快递员的日工资y1,y2(单位:元)与送货单数n的函数关系式. 送货单数30405060 天数 甲10102010 乙515255 例3 2020海口一模 据统计,仅在北京每天就有500万单快递等待派送,近5万多名快递员奔跑在

13、一线,快 递网点人员流动性也较强,各快递公司需要经常招聘快递员,保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙 两家快递公司的快递员每天的送货单数统计表: 已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为:甲公司规定底薪60元,每单抽成1元;乙公司规定底薪 80元,每日前40单无抽成,超过40单的部分每单抽成t元. (2)若将频率视为概率,回答下列问题: 记甲快递公司快递员的日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望; X90100110120 P0.20.20.40.2 送货单数30405060 天数 甲10102010 乙515255 例3 2020海口一模 据统计,仅在北京每天就有500万单快

14、递等待派送,近5万多名快递员奔跑在一线,快 递网点人员流动性也较强,各快递公司需要经常招聘快递员,保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙 两家快递公司的快递员每天的送货单数统计表: 已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为:甲公司规定底薪60元,每单抽成1元;乙公司规定底薪 80元,每日前40单无抽成,超过40单的部分每单抽成t元. (2)若将频率视为概率,回答下列问题:小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作,如果 仅从日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他做出选择,并说明理由. 送货单数30405060 天数 甲10102010 乙515255 总结反思 期望和方差

15、是进行判断时所依据的主要数字特征.具体解题时不但要 记准期望(均值)公式和方差公式,而且要能够充分理解二者的意义:期望(均值)体现 了数据的平均水平;方差(标准差)描述了数据针对平均水平的波动情况,通常方差 越大波动幅度越大,反之越小. 题组训练 1.某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组,每组12人.每首参赛歌曲都需 要24位评委打分(满分为10分,且各评委打分相互独立).从专业评委组的12个 分数中去掉一个最高分和一个最低分,可求出剩余10个有效得分的平均数P. 按照同样的方法可以得到业余评委组10个有效得分的平均数Q.参赛选手该 歌曲的最终得分为0.6P+0.4Q.在该比赛中,对某选手在

16、初赛中参赛歌曲的得 分进行整理,得到如图所示的茎叶图(茎为8,叶为4表示得分为8.4分). 解: 因为sBsA,所以B组更有可能是专业评委组. x0=0.68+0.47=7.6. (2)专业评委组由于其专业性,有效打分通常比较集中;业余评委组由于水平不一,有效打分 通常比较分散.利用(1)的计算结果推断A,B两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组?请说 明理由. 在的推断下,计算此选手初赛歌曲的最终得分x0. 1.某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组,每组12人.每首参赛歌曲都 需要24位评委打分(满分为10分,且各评委打分相互独立).从专业评委组的 12个分数中去掉一个最高分和一个最低分,

17、可求出剩余10个有效得分的平 均数P.按照同样的方法可以得到业余评委组10个有效得分的平均数Q.参赛 选手该歌曲的最终得分为0.6P+0.4Q.在该比赛中,对某选手在初赛中参赛歌 曲的得分进行整理,得到如图所示的茎叶图(茎为8,叶为4表示得分为8.4分). (3)若(2)的推断正确,且该选手成功进入复赛,复赛中24位评委所打分数大致服从正态分 布N(x0+0.4,(sA+sB)2),试估计24位评委中,打分在9分以上的人数. 附:若XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954,P(-3X+3)0.997. 2.2020南昌模拟 某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合

18、格,从中随 机抽测120个零件的长度(单位:分米),将所得数据按1.2,1.3,(1.3,1.4,(1.4,1.5, (1.5,1.6,(1.6,1.7,(1.7,1.8分成6组,得到如图所示的频率分布直方图,其中长度大 于或等于1.59分米的零件有20个,其长度分别为1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63, 1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74.以这120个零件的 长度在各组的频率估计整批零件的长度在各组的概率.记零件的长度为Y. (1)求这批零件的长度大于1.6分米的频

19、率,并求频率分布直方图中m,n,t的值. 2.2020南昌模拟 某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽 测120个零件的长度(单位:分米),将所得数据按1.2,1.3,(1.3,1.4,(1.4,1.5,(1.5,1.6, (1.6,1.7,(1.7,1.8分成6组,得到如图所示的频率分布直方图,其中长度大于或等于 1.59分米的零件有20个,其长度分别为1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65, 1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74.以这120个零件的长

20、度在各组的频率 估计整批零件的长度在各组的概率.记零件的长度为Y. (2)若从这批零件中随机选取3个,记X为抽取的零件中长度在(1.4,1.6内的个数,求X的分布列和数学期望. X0123 P0.0270.1890.4410.343 2.2020南昌模拟 某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随 机抽测120个零件的长度(单位:分米),将所得数据按1.2,1.3,(1.3,1.4,(1.4,1.5, (1.5,1.6,(1.6,1.7,(1.7,1.8分成6组,得到如图所示的频率分布直方图,其中长度大 于或等于1.59分米的零件有20个,其长度分别为1.59,1.59,1.61,

21、1.61,1.62,1.63, 1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74.以这120个零 件的长度在各组的频率估计整批零件的长度在各组的概率.记零件的长度为Y. 解:由题意可知=1.5,=0.1.则P(-Y+)=P(1.4Y1.6)=0.7, P(-2Y+2)=P(1.3Y1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95. 因为|0.7-0.683|=0.0170.05,|0.95-0.954|=0.0040.05,所以这批零件的长度满足近似于正 态分布N(1.5,0.01)的概率分

22、布,应认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收. (3)若变量S满足|P(-S+)-0.683|0.05且|P(-2S+2)-0.954|0.05,则称变量S满足近似于正 态分布N(,2)的概率分布.如果这批零件的长度(单位:分米)满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率 分布,则认为这批零件是合格的,将顺利被签收;否则,公司将拒绝签收.试问该批零件能否被签收? 3. 某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖,甲种瓷砖的标准规格长宽为600 mm600 mm, 乙种瓷砖的标准规格长宽为900 mm400 mm,根据长期的检测结果发现,两种规格瓷砖每片的 质量x(kg)都服从正态分布N(,2

23、),质量在(-3,+3)之外的瓷砖为废品,废品销毁不流入市场, 其他质量的瓷砖为正品. (1)在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取10片进行检测,求至少有1片为废品的概率. 解:由正态分布的性质可知,抽取的一片瓷砖的质量在(-3,+3)之内的概率约为0.997,则这 10片瓷砖的质量全都在(-3,+3)之内(即没有废品)的概率约为0.997100.970 4, 则这10片中至少有1片是废品的概率约为1-0.970 4=0.029 6. 已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.12,“二级品”的利润率为0.08,“合 格品”的利润率为0.02,经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.1

24、0,“二级品”的 利润率为0.05,“合格品”的利润率为0.02,将频率视为概率. (i)若经销商在甲、乙两种瓷砖上各投资10万元,用X1和X2分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获 得的利润,求X1和X2的数学期望和方差,并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊. (i)由利润率和投资额可得X1可能的取值为1.2万元,0.8万元,0.2万元,X2可能的取值为1万 元,0.5万元,0.2万元,由直方图可得对应的频率分别为0.3,0.5,0.2和0.2,0.8,0. 所以随机变量X1的分布列为 E(X1)=1.20.3+0.80.5+0.20.2=0.8, D(X1)=(1.2-0.8)20.3+(0.8-0

25、.8)20.5+(0.2-0.8)20.2=0.12. X11.20.80.2 P0.30.50.2 随机变量X2的分布列为 E(X2)=10.2+0.50.8+0.20=0.6,D(X2)=(1-0.6)20.2+(0.5-0.6)20.8=0.04. 由以上数据可知,经销商经销甲瓷砖的平均利润0.8万元大于经销乙瓷砖的平均利 润0.6万元,但经销甲瓷砖的方差0.12也大于经销乙瓷砖的方差0.04,所以经销甲瓷砖 的平均利润大,相对不稳定,而经销乙瓷砖的平均利润小,但相对稳定. X210.50.2 P0.20.80 (ii)若经销商在甲、乙两种瓷砖上总投资10万元,则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时, 可使得投资所获利润的方差和最小?